2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì).doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)(圓心)等于定長(zhǎng)(半徑)的點(diǎn)的集合叫圓,圓常被人們看成是最完美的事物,圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙印. 圓的基本性質(zhì)有:一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系,如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等;二是圓的對(duì)稱性,圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,又是一中心對(duì)稱圖形.用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意: 1.熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論: 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和,則∠BAC度數(shù)為 . 作出輔助線,解直角三角形,注意AB與AC有不同的位置關(guān)系. 注: 由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理,垂徑定理是其中比較重要的一個(gè),它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系,應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形,常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié) 合起來(lái). 圓是一個(gè)對(duì)稱圖形,注意圓的對(duì)稱性,可提高解與圓相關(guān)問(wèn)題周密性. 【例2】 如圖,用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形,則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A. B. C. D. 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上,且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn),通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解. ⌒ ⌒ 【例3】 如圖,已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上,AB=BD,BM⊥AC于M,求證:AM=DC+CM. 思路點(diǎn)撥 用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明,證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它. ⌒ 【例4】 如圖甲,⊙O的直徑為AB,過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦C E⊥AB,在CB上取一點(diǎn)D,分別作直線CD、ED,交直線AB于點(diǎn)F,M. (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù); ⌒ (2)求證:△FDM∽△; (3)如圖乙,若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn),點(diǎn)D改取在EB上,仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點(diǎn)F、M,試判斷:此時(shí)是否有△FDM∽△? 證明你的結(jié)論. 思路點(diǎn)撥 (1)在Rt△COG中,利用OG=OA=OC;(2)證明∠=∠FDM,∠CMO= ∠FMD;(3)利用圖甲的啟示思考. 注:善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問(wèn)題的重要技巧,此處,要努力把圓與直線形相合起來(lái),認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問(wèn)題提供新的解題思路,而在解與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似). 【例5】 已知:在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4:3. (1)求證:AF=DF; (2)求∠AED的余弦值; (3)如果BD=10,求△ABC的面積. 思路點(diǎn)撥 (1)證明∠ADE=∠DAE;(2)作AN⊥BE于N,cos∠AED=,設(shè)FE=4x,F(xiàn)D=3x,利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示;(3)尋找相似三角形,運(yùn)用比例線段求出x的值. 注:本例的解答,需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想,綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵. 學(xué)歷訓(xùn)練 1.D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn),且OD=3cm,則過(guò)點(diǎn)D的所有弦中,最小弦AB= . 2.閱讀下面材料: 對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋. 對(duì)于平面圖形A,如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱圖形A被這些圓所覆蓋. 例如:圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋,圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋. 回答下列問(wèn)題: (1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (3)長(zhǎng)為2cm,寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm. 3.世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案,萬(wàn)物才顯得富有生機(jī),以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓:它們看上去多么美麗與和諧,這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性. (1)請(qǐng)問(wèn)以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ,是中心對(duì)稱圖形的有 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a,b,c填空). (2)請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中,按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可,但要盡可能準(zhǔn)確些,美觀些). a.是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形. b.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 4.如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( ) A.12cm B.10cm C. 8cm D.6cm 5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為( ) A.2 B. C.3 D. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6.如圖,在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關(guān)系是( ) A.AB+CD=EF B.AB+CD=F C. AB+CD- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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