2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第四篇 組合 第28章 操作聞?lì)}和邏輯推理聞?lì)}試題 新人教版.doc
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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第四篇 組合 第28章 操作聞?lì)}和邏輯推理聞?lì)}試題 新人教版28.1.1* 在黑板上記上數(shù)1,2,現(xiàn)允許選擇任意兩個(gè)數(shù)。換成其和或差(絕對(duì)值),經(jīng)過次操作,黑板上只剩下1個(gè)數(shù)問對(duì)于什么樣的,才可能讓這最后一個(gè)數(shù)為0?解析 顯然,經(jīng)過一次操作,原來的奇數(shù)個(gè)數(shù)要么保持不變,要么減少2,因此奇數(shù)總數(shù)的奇偶性在操作前后保持不變,當(dāng),2()時(shí),奇數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè),不可能減到0個(gè)(0是偶數(shù))因此,要滿足題目要求,一個(gè)必要條件是,3()當(dāng)()時(shí),由于連續(xù)4個(gè)整數(shù)可以得到兩個(gè)1,從而進(jìn)一步得到0,最終可得到一個(gè)0;當(dāng)()時(shí),先取出1、2、3,得到0,其余仍然4個(gè)連續(xù)整數(shù)一組,仍可最終得到0因此答案為,3()28.1.2* 只盤子排成一行,每次操作任取兩只盤子,將它們移到相鄰(或左或右)的位置上,盤子可以重疊,問能否經(jīng)若干次操作后,使6只盤子疊在一起解析 設(shè)想盤子的位置是數(shù)軸上的整數(shù)點(diǎn)1、2、3、4、5、6由于相鄰整數(shù)的奇偶性不同,故每次移動(dòng)改變了兩個(gè)位置的奇偶性原來有奇數(shù)個(gè)盤子在奇數(shù)位置,每次移動(dòng)有三種可能:()將兩個(gè)奇數(shù)位置的盤子移到偶數(shù)位置;()將兩個(gè)偶數(shù)位置的盤子移到奇數(shù)位置;()將一個(gè)奇數(shù)位置的盤子移到偶數(shù)位置,將一個(gè)偶數(shù)位置的盤子移到奇數(shù)位置無論哪種情況,每次移動(dòng)后仍有奇數(shù)個(gè)盤子在奇數(shù)位置上,這就表明不能把6只盤子重疊在一起(因?yàn)?只盤子疊在一起時(shí),奇數(shù)位置的盤子是偶數(shù)(6或0個(gè))28.1.3* 黑板上寫有1,每次操作可以從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)、,刪去、并在黑板上寫上數(shù),問經(jīng)過99次操作后,黑板上剩下的數(shù)是幾?解析 因?yàn)椋悦看尾僮髑昂筒僮骱?,黑板上的每個(gè)數(shù)加l后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為,則,得,于是28.1.4* 在正方形的3個(gè)頂點(diǎn)處各有一只螞蚱,現(xiàn)在每次有一只螞蚱從另一只螞蚱背上跳過,落到對(duì)稱的位置問是否在經(jīng)過幾次跳躍之后,有一只螞蚱跳到了正方形的第4個(gè)頂點(diǎn)上?解析 不能不妨設(shè)原來3只螞蚱所在位置是(0,0),(1,0),(0,1)由中點(diǎn)坐標(biāo)易見,每次跳躍之后,對(duì)稱位置的橫、縱坐標(biāo)的奇偶性與原先起跳點(diǎn)的一樣,而原先沒有一只螞蚱在奇數(shù)格點(diǎn)(即兩坐標(biāo)都是奇數(shù))上,因此也就沒有一只螞蚱會(huì)跳到奇數(shù)格點(diǎn)上,當(dāng)然也就不會(huì)落到(1,1)上28.1.5* 中國(guó)象棋中的馬,每步由12格的一個(gè)頂點(diǎn)跳到其對(duì)角頂點(diǎn)求證:該馬從棋盤上任意一點(diǎn)出發(fā)要跳到它的相鄰格,必須經(jīng)過奇數(shù)步解析 賦象棋盤每個(gè)格點(diǎn)(,)以數(shù),馬每跳一步,必在行和列中,一種增減2,另一種增減1,即乘以所以,馬跳步后,到它的相鄰格點(diǎn)時(shí),必有,故,故為奇數(shù)28.1.6* 一個(gè)箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)黑球,箱子旁邊還有一堆黑球從箱子里取出兩球:如果這兩個(gè)球是同顏色的,則從箱外取出一個(gè)黑球放回箱子里;如果這兩個(gè)球是異色的,則把其中的白球放回箱子這個(gè)過程一直重復(fù)到最后一對(duì)球從箱子取出,并且最后一個(gè)球放回箱子試問最后一對(duì)球有沒有可能是白色的?并說明理由解析 若在白球上記上數(shù)字1,黑球上記上數(shù)字0,則任何時(shí)候箱中的白球數(shù)就等于箱內(nèi)所有球的數(shù)字之和,并且開始時(shí)總和為,如果取的兩個(gè)球是白色,則放回一個(gè)黑球,故總和變成如果取的兩個(gè)球是黑色,則放回一個(gè)黑球,故總和是如果取出的兩球是一黑一白,則放回這個(gè)白球,故總和也是由此可知,每完成一個(gè)過程,箱子里球的數(shù)字之和或者不變,或者減少2,即變換前后的奇偶性不變故為偶數(shù)時(shí),最終將變成0(黑球);為奇數(shù)時(shí),最后必將是1(自球)28.1.7* 一堆火柴共1000根,兩人輪流拿走根火柴,其中戶為質(zhì)數(shù),”為非負(fù)整數(shù),規(guī)定誰取到最后一根火柴誰就獲勝,證明:先取者必勝解析 在正確的玩法下,第一人將取勝由于他在每次執(zhí)步中,可以取走1、2、3、4或5根火柴,所以他可以執(zhí)行這樣的策略:即不論第二個(gè)人如何動(dòng)作,他都應(yīng)在自己執(zhí)步之后,給對(duì)方留下能被6整除的火柴數(shù)目這樣,在經(jīng)過有限次執(zhí)步之后,他將給第二人留下6根火柴因而在第二人動(dòng)作之后,他即可取走所有剩余的火柴而結(jié)束游戲28.1.8* 甲、乙兩個(gè)人取數(shù),若已有的最后一個(gè)數(shù)為,則可以取至中任一個(gè)數(shù)若甲先取,開始已有數(shù)2,取到xx為勝,問甲必勝還是乙必勝?解析 甲必勝甲可依次取3、7、15、31、62、125、250、501、1002、xx這一列數(shù)中,后一個(gè)數(shù)要么是前一個(gè)數(shù)的2倍,要么是2倍加上1現(xiàn)在說明只要取到前一個(gè)數(shù),就必可取到后一個(gè)數(shù),從而必可取到xx事實(shí)上,若甲取到的數(shù)為,則乙可取至中任一數(shù)而,且,故當(dāng)乙取完后,甲必可取或28.1.9* 兩個(gè)相同的齒輪,各有14個(gè)齒,一個(gè)平放在另一個(gè)的上面,使得它們的齒重合現(xiàn)在去掉4對(duì)重合的齒是否總可以旋轉(zhuǎn)上面的那個(gè)齒輪,使得它們的共同投影是一個(gè)完整的齒輪若兩個(gè)齒輪各有13個(gè)齒,結(jié)論如何?解析 14個(gè)齒時(shí)可以設(shè)去掉的齒為,0,1,13),兩兩的差有4312種,取,(),則轉(zhuǎn)過6個(gè)齒后,投影為完整的齒輪至于13個(gè)齒,則不一定,如去掉的齒為0、1、3、9,即為反例28.1.10* 正方形的頂點(diǎn)處放有火柴,開始在某一點(diǎn)放根火柴,其他三頂點(diǎn)則空著現(xiàn)允許從某個(gè)頂點(diǎn)移走任意根火柴,然后在其兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)各放上移走火柴數(shù)目?jī)杀兜幕鸩癞?dāng),3時(shí),問是否可以經(jīng)過若干次這樣的操作,使得各頂點(diǎn)處的火柴數(shù)依次為1、9、8、9?解析 設(shè)頂點(diǎn)處火柴數(shù)依次為、,考慮數(shù)和,易知每經(jīng)過一次操作,都有(),(),但是,1+9+8+92(),19+893(),之所以取“”,是因?yàn)橐婚_始的因3根火柴的位置不同而可能不同因此當(dāng),3時(shí),不可能經(jīng)過有限步操作后變?yōu)?、9、8、928.1.11* 將(1)個(gè)數(shù)排在一個(gè)圓周上,每個(gè)數(shù)都是+1或1,現(xiàn)在同時(shí)將每個(gè)數(shù)都乘以它的右邊的數(shù),將所得到的數(shù)替換原來的數(shù),稱為一次操作證明:經(jīng)過有限次操作后,每個(gè)數(shù)都成為+1解析 設(shè)這個(gè)數(shù)往右依次為,下證:經(jīng)過次操作后,在位置上的數(shù)為,這里當(dāng)下標(biāo)大于時(shí),認(rèn)為模同余的下標(biāo)則為同一個(gè)數(shù)當(dāng)時(shí),第一次操作后,第個(gè)位置數(shù)為,第二次操作后,第個(gè)位置上數(shù)為,即時(shí)成立;若經(jīng)過次操作后,第個(gè)位置上數(shù)為,故再經(jīng)過次操作即共次操作后第個(gè)數(shù)為,因此對(duì)一切均成立于是,經(jīng)過次操作后,第個(gè)位置上數(shù)為,即所有數(shù)均為+128.1.12* 在黑板上寫出三個(gè)整數(shù),然后擦去一個(gè)換成其他兩數(shù)的和減去1,這樣繼續(xù)下去,最后得到17、1967、1983問原來的三個(gè)數(shù)能否為(1)2、2、2;(2)3、3、3解析 (1)不能為2、2、2因?yàn)?、2、2是三個(gè)偶數(shù),按規(guī)則,第一次換數(shù)后,三個(gè)偶數(shù)就變成兩偶一奇第二次換數(shù)時(shí),若擦去的是偶數(shù),則換上的仍是偶數(shù);若擦去的是奇數(shù),則換上的仍是奇數(shù),同樣保持兩偶一奇第一次換數(shù)后,以后三個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)保持兩偶一奇不變,而19、1967、1987三個(gè)數(shù)都是奇數(shù),這種情況決不會(huì)出現(xiàn)所以,原來的三個(gè)數(shù)不能是2、2、2(2)能為3、3、3具體做法如下:首先按下法作8次變換3、3、33、3、53、5、73、7、93、9、113、11、133、13、153、15、1717、15、31再注意到196712216+15,198312216+31,便知只要由17、15、31再按“17、17、”作122次變換,即可得到17、1967、198328.1.13* 任意(,6,偶數(shù))的棋盤可以被12的骨牌覆蓋,使得任一條非邊界的棋盤網(wǎng)格線必穿過任何骨牌解析 圖()表明,如何鋪滿矩形56和88(在鋪滿矩形88的情形中利用了矩形56的鋪設(shè)法)現(xiàn)在只需證明,如果可以鋪滿矩形,那么就可以鋪滿矩形()為此,需要把已鋪滿骨牌的矩形分成兩部分,而不分割骨牌,因此需要右邊部分向右邊移動(dòng)距離2并且用水平骨牌填滿間隔(圖()28.1.14* 在的方格表中任意填上l或,為奇數(shù),在每一列下及每一行右寫下該列或該行所有數(shù)的積,求證:這個(gè)乘積的和不為0解析 設(shè),為每行之積,為每列之積,易知,于是在,中有個(gè),中有個(gè),則若個(gè)乘積之和為0,則,得為偶數(shù),矛盾28.1.15* 在矩形方格表(至少兩行兩列)的每個(gè)小方格中都填上1或,并且l和的個(gè)數(shù)都不少于兩個(gè),求證:存在4個(gè)小方格,其中心是一矩形的頂點(diǎn),且小方格中數(shù)字之和等于0解析 用反證法若不然,如果有一行全為1,那么其他行最多一個(gè),由題設(shè),兩個(gè)分別在不同行中,如這兩個(gè)在同一列中,則任一其他列中的對(duì)應(yīng)數(shù)都是1,于是這樣的矩形存在否則,以這兩格為對(duì)角線的矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)中的數(shù)一定都是1,于是4個(gè)數(shù)字之和仍為0如有一行全為,同理可證于是每一行都既有1,又有,這樣等于只需考慮矩形的兩行,把其他行都忽略(即自此每一列都只包含2個(gè)格子)考慮每一列數(shù)之和,無非是2、0、,顯然若所求矩形不存在,則0最多一個(gè),而2與不能共存,若只有2,那么最多1個(gè),矛盾,若只有,那么1最多一個(gè),亦矛盾因此結(jié)論成立28.1.16* 一個(gè)重40磅的砝碼,由于跌落地面而碎成4塊,每塊的重量都是整數(shù)磅,現(xiàn)在可以用這些砝碼來稱1至40磅之間任意整數(shù)磅的重物,問這4塊砝碼可各重多少磅?解析 問題的答案是:4塊碎片的重量可分別為1,3,9,27磅一般的情況:是否可以用一套磅數(shù)為1,3,9,的砝碼,來稱磅數(shù)為任何正整數(shù),的物體?那就要設(shè)法證明:任何正整數(shù)都是3的有限項(xiàng)不同次冪的代數(shù)和證明如下:以3作除數(shù),應(yīng)用“輾轉(zhuǎn)相除法”,設(shè),此中,(,1,2,),于是有 由于,(,1,2,),即是說,除0外,與(,1,2,)只能取1或2,而,代入式的末端經(jīng)整理便可得到改寫得由此可見,只要把重量為,磅的砝碼放在一個(gè)盤子里,而把磅,磅,磅的砝碼和磅的重物放在另一個(gè)盤子里,天平的左右兩個(gè)盤子重量就相等了,這樣就稱出磅重的物體來28.1.17* 兩個(gè)人做如下游戲:甲先報(bào)一個(gè)數(shù)字,乙則根據(jù)自己的判斷將該數(shù)字代替下面的某個(gè)星號(hào):規(guī)定已經(jīng)改成數(shù)字的不能再動(dòng),而且允許在最高位放0依此類推,共進(jìn)行8次,直到上式所有小星星變成數(shù)為止甲希望所得差盡可能地大,乙希望所得差盡可能地小證明:不管甲報(bào)什么數(shù)字,乙總有辦法使得差不超過4000;不管乙怎樣安排,甲總可使得所得差不小于4000解析 若甲第1次報(bào)的是0、1、2或3,則乙只要將此數(shù)放入被減數(shù)的千位即可若甲第1次報(bào)的是6、7、8或9,乙只需將此數(shù)放入減數(shù)的千位即可這樣所得差小于4000,于是甲只能報(bào)4或5當(dāng)甲報(bào)4時(shí),乙將4放入被減數(shù)的千位,接下來甲只能不斷報(bào)0(否則被乙放入減數(shù)的千位),最終差為4000;同理若甲報(bào)的是5,則乙將5放入減數(shù)的千位,接下來甲只能不斷報(bào)9,最終差為4000乙的策略已經(jīng)找到甲的策略要復(fù)雜一些用、表示從左到右4個(gè)數(shù)位(每個(gè)由上下兩個(gè)數(shù)位組成),甲應(yīng)注意有最小的,在中有一個(gè)數(shù)字和一個(gè),或有兩個(gè)不同的數(shù)字如果,或,甲應(yīng)報(bào)4,如所有數(shù)位都相同或,則可報(bào)任何數(shù)字,比如報(bào)5當(dāng)乙“不得不”頭一次把數(shù)字放到上邊的數(shù)字,甲可報(bào)0,如果是下邊的數(shù)字,甲可報(bào)9,這便是甲的策略28.1.18* 阿里巴巴試圖潛入山洞在山洞入口處有一面鼓鼓的表面有四個(gè)孔,組成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在每個(gè)孔的里面各裝有一個(gè)開關(guān)開關(guān)有“上”“下”兩種狀態(tài)如果四個(gè)開關(guān)的狀態(tài)全都一致,洞門即可打開現(xiàn)允許將手伸入任意兩個(gè)孔,觸摸開關(guān)以了解其狀態(tài),并可隨自己的意思改變或不改變其狀態(tài)但每當(dāng)這樣做了(并伸出手)之后,鼓就要飛快地旋轉(zhuǎn),以至在停轉(zhuǎn)之后無法確認(rèn)剛才觸動(dòng)了哪些開關(guān)證明:阿里巴巴至多需要五次這種步驟就可以進(jìn)入山洞解析 首先容易通過兩次操作把不少于3個(gè)開關(guān)扳為狀態(tài)“上”,如果大門沒有打開,這就意味著第四個(gè)開關(guān)處于狀態(tài)“下”,這時(shí)阿里巴巴應(yīng)該將手伸入對(duì)角線上的兩個(gè)洞,如果碰到向下的開關(guān),那么應(yīng)當(dāng)把它扳為“上”,從而進(jìn)入山洞;如果這一對(duì)開關(guān)均向上,那么把其中之一扳為向下這樣,顯然兩個(gè)相鄰(即正方形某邊的兩端)的開關(guān)向上,另兩個(gè)相鄰的開關(guān)向下然后阿里巴巴沿著正方形的邊伸手;如果兩個(gè)開關(guān)處于同一狀態(tài),他就改變它們狀態(tài)從而進(jìn)入山洞;如果兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)不同,他應(yīng)該都改變狀態(tài),最后一次沿對(duì)角線找到開關(guān),改變里面的開關(guān)狀態(tài),這樣最多五次就可以進(jìn)入山洞28.1.19* 圓周上放了(4)個(gè)和為1的非負(fù)數(shù),求證:相鄰數(shù)乘積之和不大于解析 設(shè)圓周上依次有、四點(diǎn),不妨設(shè)(這樣的、總能找到),顯然有今去掉和,代之以,圓周上的數(shù)減少1個(gè),和仍為1,但相鄰數(shù)乘積之和增大或不減于是在不斷調(diào)整后,圓周上的數(shù)變成只有4個(gè),不妨設(shè)依次為、,而于是結(jié)論成立28.1.20* 在的方格表內(nèi)的每個(gè)小方格中各填入0或1,如某一行與某一列的交點(diǎn)處所填數(shù)是0,則該行與該列的數(shù)之和不小于,求證:表中所有數(shù)之和不小于等解析 考慮所有的行與列,選出0的個(gè)數(shù)最多的行(或列)若在這一行中有個(gè)0和個(gè)1,則由條件知對(duì)應(yīng)于這一行的0所在的列中每列至少有個(gè)1,而在其余的列中每列不少于個(gè)1(由最初那一行的選擇而得)于是,1的總數(shù)不少于28.1.21* 在圓周上均勻地放4枚圍棋子,規(guī)定操作規(guī)則如下:原來相鄰棋子若同色,就在其問放一枚黑子,若異色,就在其間放一枚白子,然后把原來的4枚棋子取走,完成這程序,就算一次操作求證:無論開始時(shí)圓周上的黑白棋子的排列順序如何,只需操作若干次,圓周上就全是黑子解析 據(jù)題意,對(duì)開始時(shí)的第1、2、3、4這四枚棋子,依次地用、表示,且賦值為(,2,3,4)則,且(,2,3,4,)因此,各次操作后,棋子的賦值情況如下:開 始第一次操作后第二次操作后第三次操作后第四次操作后1111這是因?yàn)椋虼?,最多只需操作四次,圓周上全是黑子了28.1.22* 正五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù),使得這五個(gè)整數(shù)的和為正數(shù)若其中三個(gè)相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的整數(shù)依次為、,而中間的,則要進(jìn)行如下的變換:整數(shù)、分別換為、要是所得的五個(gè)整數(shù)中至少還有一個(gè)為負(fù)數(shù),這種變換就繼續(xù)進(jìn)行問:這樣的交換進(jìn)行有限次后是否必定終止?解析 不妨設(shè)圓周上五個(gè)數(shù)依次為、,且,變換后得到、,其和不變現(xiàn)考慮五個(gè)數(shù)的平方及每相鄰兩數(shù)和的平方之和那么變換后與前之差是因此,這一和(一個(gè)正整數(shù))每經(jīng)過一次變換都至少要減少2由于正整數(shù)不能無限減小,所以該變換必定有終止的時(shí)候28.1.23* 給定4個(gè)全等的直角三角形紙片,進(jìn)行如下操作:每次可選一個(gè)直角三角形并將它沿斜邊上的高剪開成兩個(gè)直角三角形求證:無論經(jīng)過多少次操作,在所得到的三角形中總有兩個(gè)全等(不包括重疊情形)解析 用反證法即存在4個(gè)全等的直角三角形紙片,經(jīng)過有限次操作可使所得到的直角三角形互不全等設(shè)這樣的操作的最少次數(shù)為,這里操作次可以使得到的直角三角形互不全等且與操作順序無關(guān)開始時(shí)4個(gè)全等直角三角形必須有3個(gè)要沿斜邊上的高剪開不妨設(shè)開頭的3次操作就是剪開這3個(gè)三角形于是得到新的6個(gè)直角三角形可分成兩組,每組3個(gè)直角三角形彼此全等這樣一來,每組3個(gè)全等直角三角形中又都至少剪開兩個(gè)不妨設(shè)第4至第7次操作就是剪開這4個(gè)三角形注意這時(shí)剪開得到的8個(gè)直角三角形中有4個(gè)是全等的(相當(dāng)于兩個(gè)矩形沿它們的一條對(duì)角線剪開)按假設(shè),從這4個(gè)全等的直角三角形出發(fā),只要再操作次就可以得到互不全等的三角形,此時(shí)與的最小性矛盾!這表明無論經(jīng)過多少次操作,總有兩個(gè)三角形全等28.1.24* 3個(gè)數(shù)、圍著一圓周,依次將其改為、,叫做完成一次操作,求證:如果起初的、是非零整數(shù)(或有理數(shù)),則若干次操作后遲早會(huì)出現(xiàn)0,但可以找到3個(gè)實(shí)數(shù)、,使得無論經(jīng)過多少次操作,0都不會(huì)出現(xiàn)解析 用反證法當(dāng)、是整數(shù)時(shí),如果0永遠(yuǎn)不出現(xiàn),考慮每次操作后最大的那個(gè)數(shù),在下一次操作后,至少要減去1,但正整數(shù)是不能無限減少的,因此0必定會(huì)出現(xiàn)至于有理數(shù)情形,只要乘以各分母的最小公倍數(shù),便轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題最后討論實(shí)數(shù)問題,先證明一個(gè)結(jié)論:設(shè)、為整數(shù),且,則為此,只要將兩端平方,即得,但無論是還是,總能得出另外兩個(gè)數(shù)也為0證畢于是令,第一次操作后其中一項(xiàng)為或,即“奇數(shù)1+奇數(shù)+偶數(shù)”,另外兩個(gè)數(shù)分別為“奇數(shù)1+偶數(shù)+奇數(shù)”和“偶數(shù)1+奇數(shù)+奇數(shù)”第二次操作后,這種狀態(tài)不變,因此無論經(jīng)過多少次操作,這種狀態(tài)一直保持不變,由前面的結(jié)論,即知永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)0評(píng)注 對(duì)于一般的圓周上(3)個(gè)數(shù),上述結(jié)論全部成立,不過實(shí)數(shù)情形頗不易處理28.1.25* 沿著圓周放著一些數(shù),如果有相連的4個(gè)數(shù)、滿足不等式,那么就可以交換、的位置,這稱為一次操作(1)若圓周上依次放著數(shù)1、2、3、4、5、6,問是否能經(jīng)過有限次操作后,對(duì)任意相連的4個(gè)數(shù)、都有?(2)若圓周上依次放著數(shù)1,2,xx,問是否能經(jīng)過有限次操作后,對(duì)任意相連的4個(gè)數(shù)、都有?解析 (1)(2)答案是肯定的考慮這xx個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和,開始時(shí)若圓周上相連的4個(gè)數(shù)、滿足不等式,即,交換、位置后,相連的4個(gè)數(shù)為、,于是圓周上相鄰兩數(shù)乘積之和的改變量為,即,所以每作一次操作,乘積和至少減少1,由于相鄰兩數(shù)的乘積和不可能為負(fù)的,故經(jīng)有限次操作后,對(duì)任意相連的4個(gè)數(shù)、,一定有28.2 邏輯推理問題28.2.1* 某班甲、乙兩名同學(xué)因一件事件發(fā)生糾紛老師找了4位在場(chǎng)同學(xué)調(diào)查情況,他們的回答有真有假第1位同學(xué)說:“我只知道甲沒有錯(cuò)”第2位同學(xué)說:“我只知道乙沒有錯(cuò)”第3位同學(xué)說:“前面兩位同學(xué)所說的話至少有一個(gè)是真的”第4位同學(xué)說:“我可以肯定第3個(gè)同學(xué)說的是假話”經(jīng)調(diào)查,證實(shí)第4位同學(xué)說的是真話請(qǐng)問:甲、乙兩人誰有錯(cuò)解析 因已證實(shí)第4位同學(xué)所說屬實(shí),所以第3位同學(xué)所說的話是假話,即“前面兩位同學(xué)所說的話至少有一個(gè)是真的”是假話從而,第1、第2兩位同學(xué)都沒說真話,也就是,甲、乙兩人都有錯(cuò)評(píng)注 如果我們選擇前3位同學(xué)的話作為突破口,進(jìn)行假設(shè)推理將較為困難28.2.2* 某校舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽、五位同學(xué)分獲前5名發(fā)獎(jiǎng)前,老師請(qǐng)他們猜一猜各人名次排列情況說:“第三名,第五名”說:“第四名,第五名”說:“第一名,第四名”說:“第一名,第二名”說:“第三名,第四名”結(jié)果,每個(gè)名次都有人猜對(duì)請(qǐng)問:這五位同學(xué)的名次是怎樣排列的解析 被猜為第二名僅一個(gè)人,因此,為第二名此外,被猜為第一名的有、;被猜為第三名的有、;被猜為第四名的有、;被猜為第五名的有、由第二推知第三,進(jìn)而推知第一,第五,第四評(píng)注 尋找突破口是解決邏輯推理問題的基本技巧,有些問題突破口比較隱蔽,需要對(duì)問題進(jìn)行深入分析以后,再進(jìn)行巧妙的構(gòu)思,方能找到28.2.3* 個(gè)人聚會(huì),已知其中每個(gè)人都至少認(rèn)識(shí)個(gè)與會(huì)者證明:可以從中選出4個(gè)人圍著圓桌坐下,使得每個(gè)人都與熟人為鄰解析 如果這些人兩兩認(rèn)識(shí),結(jié)論顯然成立否則找到、,他們不認(rèn)識(shí)在剩下的個(gè)人中,必定有、與、都認(rèn)識(shí),否則剩下的人數(shù)至少有,矛盾,于是、可依次圍著圓桌坐下而滿足要求28.2.4* 一個(gè)骰子,六個(gè)面的數(shù)字分別為0、1、2、3、4、5開始擲骰子后,當(dāng)擲到的總點(diǎn)數(shù)超過12就停止不擲了請(qǐng)問:這種擲骰子的游戲最可能出現(xiàn)的總點(diǎn)數(shù)是多少?解析 欲使最后一次投擲的點(diǎn)數(shù)和13,倒數(shù)第二次投擲所達(dá)到的點(diǎn)數(shù)和最大數(shù)為12,最小數(shù)為8共有5種情況如果倒數(shù)第二次總點(diǎn)數(shù)等于12,再投一次后可能達(dá)到的(超過12)的總點(diǎn)數(shù)將分別為13、14、15、16、17而且機(jī)會(huì)是均等的;如果倒數(shù)第二次總點(diǎn)數(shù)等于11,再投一次超過12的總點(diǎn)數(shù)的可能值分別為13、14、15、16;依次類推如果倒數(shù)第二次總點(diǎn)數(shù)等于8,再投一次超過12的總點(diǎn)數(shù)只可能是13(此時(shí),最后一次投擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)必須是5)綜上所述可知,超過12的最大可能出現(xiàn)的總點(diǎn)數(shù)值是13(它在每一種情況下都可能出現(xiàn))28.2.5* 有紅、黃、藍(lán)、白、紫五種顏色的珠子各一顆,用紙包好,在桌子上排成一排五個(gè)人猜各包里珠子的顏色甲猜:第二包是紫色,第三包是黃色;乙猜:第二包是藍(lán)色,第四包是紅色;丙猜:第一包是紅色,第五包是白色;丁猜:第三包是藍(lán)色,第四包是白色;戊猜:第二包是黃色,第五包是紫色猜完后,打開紙包一看,每人都猜對(duì)了一種,并且每包都有一個(gè)人猜對(duì)請(qǐng)你也猜一猜,他們各自都猜中了哪一種顏色的珠子?解析 畫出如表1所示,第一行表示珠子的顏色,表中的數(shù)字表示各個(gè)人所猜的包數(shù),第一列表示五個(gè)人由于題目條件申明每人都猜對(duì)了一種;每包都有一個(gè)人猜對(duì),因此,表中每一行的兩個(gè)數(shù)有且僅有一個(gè)正確;表中所標(biāo)志出的10個(gè)數(shù)中,1,2,3,4,5各有且僅有一個(gè)是正確的,每一列中的兩個(gè)數(shù)中,有且僅有一個(gè)是正確的注意到,包數(shù)1在表中只出現(xiàn)1次(丙猜第1包是紅色)按條件,這個(gè)猜測(cè)應(yīng)是正確的,以此為突破口,展開推理表1紅藍(lán)黃白紫甲32乙42丙15丁34戊25表2我們用“”表示“正確”;用“”表示“不正確”,用“”表示推理的路線在數(shù)字上畫一個(gè)圖表示推理的出發(fā)點(diǎn),表2即可清晰簡(jiǎn)明地表現(xiàn)出推理的過程通過表上推理知,甲猜中第3包是黃色,乙猜中第2包是藍(lán)色,丙猜中第1包是紅色,丁猜中第4包是白色,戊猜中第5包是紫色28.2.6* 四位運(yùn)動(dòng)員分別來自北京、上海、浙江和吉林在游泳、田徑、乒乓球和足球四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中,每人只參加一項(xiàng),且四人的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目各不相同除此以外,只知道:(1)張明是球類運(yùn)動(dòng)員,不是南方人;(2)胡純是南方人,不是球類運(yùn)動(dòng)員;(3)李勇和北京運(yùn)動(dòng)員、乒乓球運(yùn)動(dòng)員三人同住一個(gè)房間;(4)鄭路不是北京運(yùn)動(dòng)員,年齡比吉林運(yùn)動(dòng)員和游泳運(yùn)動(dòng)員都??;(5)浙江運(yùn)動(dòng)員沒有參加游泳比賽根據(jù)這些情況,你能否斷定,這四名運(yùn)動(dòng)員各來自什么地方?各參加什么運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目?解析 這個(gè)問題涉及三種“對(duì)象”姓名、運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目及籍貫所知情況很“零碎”我們?cè)O(shè)計(jì)下面表格,在表格中進(jìn)行推理顯然,每一個(gè)人只能參加一個(gè)項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng),只有一種籍貫我們用“”表示肯定的判斷,用“”表示否定的判斷由(1)、(2)、(3)、(4)得表1表1游泳田徑乒乓足球北京上海浙江吉林張胡李鄭從而推知,張明是北京運(yùn)動(dòng)員,李勇是吉林運(yùn)動(dòng)員(表2)表2游泳田徑乒乓足球北京上海浙江吉林張胡李鄭由(3)知張明(北京運(yùn)動(dòng)員)不是乒乓球運(yùn)動(dòng)員,從而他是足球運(yùn)動(dòng)員,鄭路是乒乓球運(yùn)動(dòng)員(表3)表3游泳田徑乒乓足球北京上海浙江吉林張胡李鄭由(4)知,李勇(吉林運(yùn)動(dòng)員)不是游泳運(yùn)動(dòng)員,從而胡純是游泳運(yùn)動(dòng)員,李勇是田徑運(yùn)動(dòng)員(表4)表4游泳田徑乒乓足球北京上海浙江吉林張胡李鄭由(5)知,胡純不是浙江運(yùn)動(dòng)員,從而他是上海運(yùn)動(dòng)員,鄭路是浙江運(yùn)動(dòng)員(表5)表5游泳田徑乒乓足球北京上海浙江吉林張胡李鄭最后一個(gè)表格顯示:張明是北京的足球運(yùn)動(dòng)員,胡純是上海的游泳運(yùn)動(dòng)員,李勇是吉林的田徑運(yùn)動(dòng)員,鄭路是浙江的乒乓球運(yùn)動(dòng)員28.2.7* 三個(gè)整數(shù)、滿足條件把它們分別寫在三張卡片上、三人進(jìn)行某種游戲每次各摸取一張卡片,然后按卡片上寫的數(shù)走步在進(jìn)行(2)次摸取后,已走了20步,走了10步,走了9步已知最后一次走了步,問第一次誰走了步?解析 按題意,每次摸取后,三人共走了()步所以,次摸取后共走了,由于2及,所以,由于三次走了20步,因而7若,那么三次所走步數(shù)只能是(從而),這與矛盾!從而由三次走10步且最后一次走(7)步,因,1,必有8,因此,所以,或,兩種可能但是,三次走20步,所以現(xiàn)將已推算出各次每人走的步數(shù)列表于下:人走的步數(shù)次數(shù)一81二814三481由表知,第一次走()步的是28.2.8* 甲、乙、丙、丁四人比賽羽毛球每人與對(duì)手各賽一場(chǎng)結(jié)果:甲勝丁,甲、乙、丙三人所勝場(chǎng)次相同請(qǐng)問:丁勝幾場(chǎng)?解析 四人比賽,共賽6場(chǎng)由于甲、乙、丙所勝場(chǎng)次相同且甲已勝丁,不難推知,甲、乙、丙各勝兩場(chǎng)我們由記號(hào):“”表示“勝”(也即“輸”)畫一個(gè)圖進(jìn)行推算共賽6場(chǎng)若甲、乙、丙各勝1場(chǎng),則丁勝3場(chǎng),與甲勝丁矛盾若甲、乙、丙各勝3場(chǎng),則總賽場(chǎng)次為9(6)場(chǎng),矛盾所以,甲、乙、丙各勝2場(chǎng)甲勝2場(chǎng),不妨設(shè)甲勝乙由甲引出甲乙,甲丁,從而乙丙,乙丁又從而丙甲,丙丁所以,丁勝零場(chǎng)28.2.9* 從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這13個(gè)數(shù)中最多可以選出多少個(gè)數(shù),使它們中任意兩個(gè)數(shù)之差既不等于5,也不等于8解析 我們首先將這13個(gè)數(shù)按以下規(guī)則排成一個(gè)圈;相鄰兩個(gè)數(shù)差不是5就是8,按順時(shí)針方向1的旁邊放6,6的旁邊放11(兩數(shù)差為5),在11的旁邊放3(兩數(shù)差為8)(如圖)從圓圈上的13個(gè)數(shù)中,每隔一個(gè)數(shù)選出一個(gè),共可選出6個(gè)數(shù),它們之間任意兩個(gè)數(shù)之差既不等于5也不等于8另外,至多也只能選出6個(gè)數(shù)先任意選定一個(gè)數(shù),不妨設(shè)它是1,在剩下的12個(gè)數(shù)中,與1相鄰的兩個(gè)數(shù)6、9不能再選于是只剩下10個(gè)數(shù),我們將這10個(gè)數(shù)按相鄰關(guān)系分成5組,每組中最多只能再選一個(gè)數(shù),所以在這圓圈上最多只能選出1+56個(gè)數(shù),它們之間的差既不等于5也不等于8先選數(shù)不是1則同樣處理例如這6個(gè)數(shù)可以是1、11、8、5、2、12當(dāng)然,這種選法不是唯一的28.2.10* 、五支球隊(duì)進(jìn)行比賽,任意兩支隊(duì)恰好比賽一場(chǎng)當(dāng)比賽進(jìn)行到一定階段時(shí),、各已比賽了4、3、2、1場(chǎng),問哪些球隊(duì)已經(jīng)比賽過,已經(jīng)比賽過幾場(chǎng)?解析 五支球隊(duì)單循環(huán)比賽時(shí),其中每隊(duì)至多比賽4場(chǎng)已賽過4場(chǎng),可以斷定與、各賽了1場(chǎng),由已知只賽過一場(chǎng),因、已賽1場(chǎng),所以不能再與、比賽過因賽過3場(chǎng),已賽過的一場(chǎng)是(、),所以另兩場(chǎng)只能是(,),(,)(如圖)這時(shí)恰滿足隊(duì)賽過2場(chǎng),隊(duì)賽過1場(chǎng)的條件從圖中可見,隊(duì)賽過的2場(chǎng)為:(,)、(,),另外,已證、沒有比賽過假設(shè)、賽過,則將與隊(duì)只賽過2場(chǎng)相矛盾所以判定隊(duì)賽過且只賽過(,)、(,)兩場(chǎng)所以,已賽過的隊(duì)是(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)其中已賽過2場(chǎng)28.2.11* 世界杯足球賽,每個(gè)小組有4支球隊(duì),每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間各賽一場(chǎng)。勝者得3分,負(fù)者不得分,平局兩隊(duì)各得1分每個(gè)小組總分最多的兩個(gè)隊(duì)出線(1)有人說:“得6分的隊(duì)一定出線,得2分的隊(duì)一定不出線”請(qǐng)判斷并說明對(duì)錯(cuò);(2)如果在小組比賽中有一場(chǎng)平局,那么上述說法是否正確解析 (1)如果小組賽中無一場(chǎng)平局,那么得6分的隊(duì)不一定出線設(shè)某小組有、四支球隊(duì),如果勝,勝,勝,并且、都勝,這時(shí)、三隊(duì)均積6分,隊(duì)積分為零,因此,、三隊(duì)將根據(jù)凈勝球等規(guī)則來確定其中兩隊(duì)出線,必有一隊(duì)不能出線(2)如果小組賽中有平局,那么得2分的隊(duì)不一定不出線設(shè)某小組有、四支球隊(duì),如果全勝,得9分;、三隊(duì)互相均踢平,各積2分,這時(shí)、三隊(duì)仍將根據(jù)凈勝球等規(guī)則來確定其中一個(gè)隊(duì)與隊(duì)一起出線(3)如果在小組中有一場(chǎng)平局,那么得6分的隊(duì)一定出線因?yàn)閱窝h(huán)賽4個(gè)隊(duì)之間共賽6場(chǎng),所以各隊(duì)積分總和不超過3618(分)如果有一場(chǎng)平局,那么各隊(duì)積分總和不超過18117(分)由于某隊(duì)得6分,于是其他三個(gè)隊(duì)積分之和不超過17611(分),這時(shí)至少有兩個(gè)隊(duì)積分少于6分(否則,若存在兩隊(duì)積分不低于6分,則僅此兩隊(duì)積分之和已經(jīng)超過11分,這是不可能的),這兩個(gè)隊(duì)不能出線,故得6分的隊(duì)一定出線28.2.12* 有個(gè)砝碼,每個(gè)重量都是正有理數(shù),若任意取出一個(gè)砝碼,剩下的砝碼總可以分成兩批,每批各個(gè)砝碼,且重量之和相等,求證:所有這些砝碼的重量是相等的解析 設(shè)這個(gè)砝碼的重量乘一系數(shù)后分別為正整數(shù),于是任取一數(shù),剩下的數(shù)之和為偶數(shù),即+偶數(shù),故而,具有相同的奇偶性若,均為偶數(shù),則定義,仍是滿足要求的砝碼重量,若,均為奇數(shù),則定義,亦是滿足條件的砝碼重量由于,為正整數(shù),若有反例,假定“最小”的一組反例為,所謂“最小”,是指為最小,若,均為偶數(shù),則,不全相等,要為更小反例若,均為奇數(shù),由于,僅當(dāng)時(shí)取,由定義,必須,與,不全相等矛盾,故結(jié)論成立28.2.13* 能否把l,2,10這10個(gè)數(shù)分別放在圓周上,使得任意相鄰兩數(shù)之差的絕對(duì)值為3、4或57把10改成13、14,結(jié)論分別如何?解析 10個(gè)數(shù)時(shí)不能辦到,因?yàn)?、2、3、9、10這5個(gè)數(shù)字中任意兩數(shù)不能相鄰,于是只能一個(gè)隔一個(gè)地放在圓周上,接下來考慮數(shù)字8,易知它只能與上述諸數(shù)中的3相鄰,但它不可避免地再與1、2、9、10這4個(gè)數(shù)中的一個(gè)相鄰,導(dǎo)致矛盾13個(gè)數(shù)也不行,因?yàn)?、2、3、11、12、13中無兩數(shù)可相鄰現(xiàn)考慮4,它只能與其中的1相鄰,10只能與其中的13相鄰由于l、2、3、11、12、13分布在圓周上,6個(gè)“空隙”處,5個(gè)放一數(shù),1個(gè)放兩數(shù),即只能是4與10,但1046,矛盾14個(gè)數(shù)時(shí)可以,如圖所示28.2.14* 任何12個(gè)人中,必定有兩個(gè)人(甲和乙),使得剩下的10個(gè)人中,至少有5個(gè)人,他們中的每個(gè)人都認(rèn)識(shí)甲和乙,或都不認(rèn)識(shí)甲和乙解析 用反證法,先任意選出二人和,再在其余10個(gè)人中選出這樣一些人,來他們中的每一個(gè)都剛好認(rèn)識(shí)和的一個(gè)人,假設(shè)6因?yàn)槿绻?,則人群中就會(huì)有5人滿足題目要求我們來用兩種不同方式計(jì)算3人組,的數(shù)目首先,我們一共有個(gè)不同的兩人對(duì),而每一對(duì)都對(duì)應(yīng)著不少于6個(gè)人,所以666而另一方面,可以將固定,而找出與他對(duì)應(yīng)的所有兩人對(duì),他在這些對(duì)中都剛好認(rèn)識(shí)一個(gè)人如果有個(gè)熟人,那么與他相應(yīng)的這種兩人對(duì)共有()30對(duì)我們可以有12種選擇的辦法,由此知3012360660于是,一方面有666,一方面又有660,這是矛盾的28.2.15* 用18張12的紙牌隨意地拼成66的方格表(紙牌橫放豎放都可以)求證:必存在一條直線把分成非空的兩塊,且此直線不穿過任何一張紙牌解析 考察把劃分成方格的5條水平線和5條豎直線,如果它們都至少穿過一張紙牌,由于這些直線中的每一條都是把劃分成有偶數(shù)個(gè)方格的非空的兩塊,所以它們中的每一條都穿過偶數(shù)張紙牌(否則劃分的兩塊各有奇數(shù)個(gè)方格),再由所設(shè)知,每條直線至少要穿過2張紙牌又因?yàn)檫@些直線中任兩條不會(huì)穿過同一塊紙牌,這樣中至少有52+5220張紙牌,導(dǎo)致矛盾28.2.16* 在一個(gè)圓上有六個(gè)點(diǎn),它們之間可以連一些線段那么至少連多少條線段,可以使得這六個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)之間都至少有一條線段?請(qǐng)說明理由解析 不妨設(shè)這三個(gè)點(diǎn)中連出線段最少的是點(diǎn)(1)若點(diǎn)與其他點(diǎn)沒有連線(孤立點(diǎn)),為了保證任意三點(diǎn)之間都至少有一條線段,所以其他五點(diǎn)之間必須兩兩連線,此時(shí)至少需要連(條)線段(2)若點(diǎn)連出線段恰好一條,設(shè)為,此時(shí)點(diǎn)與其他四點(diǎn)無線段連結(jié),類似(1)的情況,這四點(diǎn)之間必須兩兩連線,這樣至少需要連(條)線段(3)若點(diǎn)連出線段恰好二條,此時(shí)其他點(diǎn)連出線段至少二條,于是這六個(gè)點(diǎn)連出線段總和至少有(條)下面我們給出滿足題意的6條連線的方法(如圖所示)(4)若點(diǎn)連出線段至少三條,此時(shí)每個(gè)點(diǎn)連出線段至少三條,于是這六個(gè)點(diǎn)連出線段總和至少有(條)綜上所述,至少需連6條線段才能滿足題意評(píng)注 圓上任意三點(diǎn)都不在同一直線上,因此圓上六點(diǎn)之問所連線段都不會(huì)出現(xiàn)重疊現(xiàn)象本題的解答應(yīng)用了極端性原理28.2.17* ,這個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(全部比賽過程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng))當(dāng)比賽進(jìn)行到一定階段時(shí),統(tǒng)計(jì),這球隊(duì)已經(jīng)賽過的場(chǎng)數(shù)為:隊(duì)場(chǎng),隊(duì)場(chǎng)隊(duì)1場(chǎng),請(qǐng)你判定哪些球隊(duì)之間已經(jīng)互相比賽過,其中隊(duì)比賽過多少場(chǎng)?解析 本題可借助表格進(jìn)行分析求解表中數(shù)字的填寫規(guī)律為:我們約定與未賽過這個(gè)矩陣應(yīng)是對(duì)稱矩陣,表中最右邊的數(shù)字為對(duì)應(yīng)球隊(duì)已經(jīng)比賽過的場(chǎng)數(shù)考慮,它賽過了場(chǎng),故應(yīng)有個(gè)1,故外,其余皆為1這時(shí)已賽足故其余都是0再考慮,它賽了場(chǎng),已經(jīng)有了兩個(gè)0,故其余應(yīng)填上1這時(shí)已賽足,故其余為001111110110111000111000021000001111000由此可知,對(duì)于這一行的前面?zhèn)€數(shù)(除外),將是前面若干個(gè)為1,后面若干個(gè)為0,并且1與0首尾搭配當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),從而有個(gè)1,個(gè)0,即當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù)考慮,由已知它應(yīng)賽過場(chǎng)但它并不與,各隊(duì)比賽,而與,僅賽了場(chǎng),故還有一場(chǎng),顯然它應(yīng)與比賽過,從而與,比賽過,綜上所述,可知28.2.18* 若兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)、使得和都是有理數(shù),則稱數(shù)對(duì)(,)是“和諧”的(1)試找出一對(duì)無理數(shù)、,使得(,)是“和諧”的;(2)證明:若(,)是“和諧”的,且是不等于1的有理數(shù),則、都是有理數(shù);(3)證明:若(,)是“和諧”的,且詈是有理數(shù),則、都是有理數(shù)解析 (1)不難驗(yàn)證(,)是和諧的(2)由已知有理數(shù),是有理數(shù),因此,解得是有理數(shù),當(dāng)然也是有理數(shù)(3)若,則是有理數(shù),因此也是有理數(shù)若,由已知是有理數(shù),也是有理數(shù),因此,故是有理數(shù),因此也是有理數(shù)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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