中考數(shù)學模擬試題匯編 圓的有關性質（含解析）.doc

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圓的有關性質 一、單選題 1、下列語句中，正確的是 （） A、長度相等的弧是等弧 B、在同一平面上的三點確定一個圓 C、三角形的內心是三角形三邊垂直平分線的交點 D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等 2、下列說法： ①三點確定一個圓； ②垂直于弦的直徑平分弦； ③三角形的內心到三條邊的距離相等； ④圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． 其中正確的個數(shù)是（ ） A、0 B、2 C、3 D、4 3、如圖，將半徑為6的⊙O沿AB折疊，弧AB與AB垂直的半徑OC交于點D且CD=2OD，則折痕AB的長為（） A、　　 B、 C、6　　　 D、 4、如圖，已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的半圓O與梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切點分別是D、C、E．若半圓O的半徑為2，梯形的腰AB為5，則該梯形的周長是（）. A、9 B、10 C、12 D、14 5、 如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點M，∠A=45，∠AMD=75，則∠B的度數(shù)是（ ） A、15 B、25 C、30 D、75 6、（ 如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B=30，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，則S△ADE：S△CDB的值等于（　　） A、1： B、1： C、1：2 D、2：3 7、 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，F(xiàn)是 上一點，且 = ，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC．若∠ABC=105，∠BAC=25，則∠E的度數(shù)為（　?。? A、45 B、50 C、55 D、60 8、 把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則 的度數(shù)是（　?。? A、120 B、135 C、150 D、165 9、 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（　　） A、45 B、50 C、60 D、75 10、 如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60，則∠BDC的度數(shù)是（ ） A、60 B、45 C、35 D、30 11、如圖，直線AB，AD與⊙O相切于點B，D，C為⊙O上一點，且∠BCD=140，則∠A的度數(shù)是（　?。? A、70 B、105 C、100 D、110 12、如圖，小敏家廚房一墻角處有一自來水管，裝修時為了美觀，準備用木板從AB處將水管密封起來，互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D，E兩點，經(jīng)測量AD=10cm，BE=15cm， 則該自來水管的半徑為（ ）cm． A、5 B、10 C、6 D、8 二、填空題（共5題；共5分） 13、 如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠BCD=110，則∠BAD=________度． 14、 如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，⊙O的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是________． 15、 如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，若AB=6，AD=5，則DE的長為________． 16、 如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點E，若CE：BE=2：3，則AE：DE=________ 17、 如圖1，小敏利用課余時間制作了一個臉盆架，圖2是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子的交點為A，B，AB=40cm，臉盆的最低點C到AB的距離為10cm，則該臉盆的半徑為________cm． 三、解答題 18、已知點P到圓的最大距離為11，最小距離為7，則此圓的半徑為多少？ 19、一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16．求截面圓心O到水面的距離． 四、綜合題 20、 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E． (1)求證：∠1=∠BAD； (2)求證：BE是⊙O的切線． 21、 如圖，已知四邊形ABCD內接于圓O，連結BD，∠BAD=105，∠DBC=75． (1)求證：BD=CD； (2)若圓O的半徑為3，求 的長． 22、 如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O． (1)在圖1中，求證：△ABE≌△ADC． (2)由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120，請你探索在圖2中，∠BOC的度數(shù)，并說明理由或寫出證明過程． (3)填空：在上述（1）（2）的基礎上可得在圖3中∠BOC=________（填寫度數(shù)）． (4)由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數(shù)為________（用含n的式子表示）．  答案解析部分 一、單選題 【答案】D 【考點】圓的認識，確定圓的條件，三角形的外接圓與外心，三角形的內切圓與內心 【解析】 【解答】A、能完全重合的弧才是等弧，故錯誤； B、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤； C、三角形的內心到三邊的距離相等，是三條角平分線的交點，故錯誤； D、三角形的外心是外接圓的圓心，到三頂點的距離相等，故正確； 故選D． 【分析】確定圓的條件及三角形與其外心和內心之間的關系解得即可． 【答案】C 【考點】垂徑定理，確定圓的條件，切線的性質，三角形的內切圓與內心 【解析】【解答】解：不共線的三點確定一個圓，所以①錯誤； 垂直于弦的直徑平分弦，所以②正確； 三角形的內心到三條邊的距離相等，所以③正確； 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，所以④正確． 故選C． 【分析】根據(jù)確定圓的條件對①進行判斷；根據(jù)垂徑定理對②進行判斷；根據(jù)三角形內心的性質對③進行判斷；根據(jù)切線的性質對④進行判斷． 【答案】B 【考點】勾股定理，垂徑定理，翻折變換（折疊問題） 【解析】【解答】延長CO交AB于E點，連接OB， ∵CE⊥AB， ∴E為AB的中點， ∵OC=6，CD=2OD， ∴CD=4，OD=2，OB=6， ∴DE=（2OC-CD)=（62-4)=8=4， ∴OE=DE-OD=4-2=2， 在Rt△OEB中， ∵OE2+BE2=OB2 ∴ ∴AB=2BE= 故選B. 【分析】根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵。延長CO交AB于E點，連接OB，構造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的長。 【答案】D 【考點】直角梯形，切線長定理 【解析】 【解答】根據(jù)切線長定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周長是52+4=14．故選D． 【分析】由切線長定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周長=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半徑，由此可求出梯形的周長． 【答案】C 【考點】三角形的外角性質，圓周角定理 【解析】【解答】解：∵∠A=45，∠AMD=75， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75﹣45=30， ∴∠B=∠C=30， 故選C． 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度數(shù)，再由圓周角定理可求∠B的度數(shù)．本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關鍵． 【答案】D 【考點】圓周角定理，相似三角形的判定與性質 【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵∠B=30， ∴ ， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ ， ∴AD= AB，BD= AB， 過C作CE⊥AB于E，連接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ = ， ∴OE⊥AB， ∴OE= AB，CE= AB， ∴S△ADE：S△CDB=（ AD?OE）：（ BD?CE）=（ ）：（ ）=2：3． 故選D． 【分析】由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)三角形的角平分線定理得到 ，求出AD= AB，BD= AB，過C作CE⊥AB于E，連接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE= AB，CE= AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．本題考查了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計算，直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵． 【答案】B 【考點】圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，圓內接四邊形的性質 【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=105， ∴∠ADC=180﹣∠ABC=180﹣105=75． ∵ = ，∠BAC=25， ∴∠DCE=∠BAC=25， ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75﹣25=50． 故選B． 【分析】先根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質即可得出結論．本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵． 【答案】C 【考點】圓心角、弧、弦的關系，翻折變換（折疊問題） 【解析】【解答】解：如圖所示：連接BO，過點O作OE⊥AB于點E，由題意可得：EO= BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30， 故∠BOD=30， 則∠BOC=150， 故 的度數(shù)是150． 故選：C． 【分析】直接利用翻折變換的性質結合銳角三角函數(shù)關系得出∠BOD=30，再利用弧度與圓心角的關系得出答案．此題主要考查了翻折變換的性質以及弧度與圓心角的關系，正確得出∠BOD的度數(shù)是解題關鍵． 【答案】C 【考點】平行四邊形的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質 【解析】【解答】解：設∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β； ∵四邊形ABCO是平行四邊形， ∴∠ABC=∠AOC； ∵∠ADC= β，∠AOC=α；而α+β=180，∴ ， 解得：β=120，α=60，∠ADC=60， 故選C． 【分析】設∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β，由題意可得 ，求出β即可解決問題．該題主要考查了圓周角定理及其應用問題；應牢固掌握該定理并能靈活運用． 【答案】D 【考點】圓周角定理 【解析】【解答】解：連結OC，如圖， ∵ = ， ∴∠BDC= ∠AOB= 60=30． 故選D． 【分析】本題考查了圓周角定理定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑．直接根據(jù)圓周角定理求解． 【答案】C 【考點】圓周角定理，圓內接四邊形的性質，切線的性質 【解析】【解答】解：過點B作直徑BE，連接OD、DE． ∵B、C、D、E共圓，∠BCD=140， ∴∠E=180-140=40． ∴∠BOD=80． ∵AB、AD與⊙O相切于點B、D， ∴∠OBA=∠ODA=90． ∴∠A=360-90-90-80=100． 故選C． 【分析】過點B作直徑BE，連接OD、DE．根據(jù)圓內接四邊形性質可求∠E的度數(shù)；根據(jù)圓周角定理求∠BOD的度數(shù)；根據(jù)四邊形內角和定理求解．此題考查了切線的性質、圓內接四邊形性質、圓周角定理、四邊形內角和定理等知識點，難度中等．連接切點和圓心是解決有關切線問題時常作的輔助線． 【答案】A 【考點】根與系數(shù)的關系，三角形的內切圓與內心，切線長定理 【解析】【解答】解：連接OD，OE， x2-25x-150=0， （x-10）（x-15）=0， 解得：x1=10，x2=15， ∴設AD=10，BE=15，設半徑為x， ∴AB=AD+BE=25， ∴（AD+x）2+（BE+x）2=AB2 ， ∴（10+x）2+（15+x）2=252 ， 解得：x=5， 故選A． 【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程，得出AD=10，BE=15，再利用切線長定理得出AB=25，進而求出即可．此題主要考查了三角形內切圓的性質以及切線長定理，根據(jù)已知得出（AD+x）2+（BE+x）2=AB2是解題關鍵． 二、填空題 【答案】70 【考點】圓周角定理，圓內接四邊形的性質 【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形， ∴∠BCD+∠BAD=180（圓內接四邊形的對角互補）； 又∵∠BCD=110， ∴∠BAD=70． 故答案為：70． 【分析】根據(jù)圓內接四邊形的對角互補求∠BAD的度數(shù)即可．本題主要考查了圓內接四邊形的性質．解答此題時，利用了圓內接四邊形的對角互補的性質來求∠BCD的補角即可． 【答案】3π 【考點】圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算 【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠C=60， 根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=2∠C=120， ∴陰影部分的面積是 =3π， 故答案為：3π． 【分析】根據(jù)等邊三角形性質及圓周角定理可得扇形對應的圓心角度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式計算可得．本題主要考查扇形面積的計算和圓周角定理，根據(jù)等邊三角形性質和圓周角定理求得圓心角度數(shù)是解題的關鍵． 【答案】 【考點】勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質 【解析】【解答】解：如圖，連接BD， ∵AB為⊙O的直徑，AB=6，AD=5， ∴∠ADB=90， ∴BD= = ， ∵弦AD平分∠BAC， ∴ ， ∴∠DBE=∠DAB， 在△ABD和△BED中， ， ∴△ABD∽△BED， ∴ ，即BD2=EDAD， ∴（ ）2=ED5， 解得DE= ． 故答案為： ． 【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，以及圓周角定理，解答此題的關鍵是作輔助線，構造出△ABD∽△BED．連接BD，由勾股定理先求出BD的長，再判定△ABD∽△BED，根據(jù)對應邊成比例列出比例式，可求得DE的長． 【答案】2：3 【考點】相交弦定理 【解析】【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于點E， ∴AE?BE=CE?DE， ∴AE：DE=CE：BE=2：3， 故答案為：2：3． 【分析】根據(jù)相交弦定理得到AE?BE=CE?DE，于是得到結論．此題考查了相交弦定理，熟練掌握相交弦定理是解題的關鍵． 【答案】25 【考點】垂徑定理的應用 【解析】【解答】解；如圖，設圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點D，設⊙O半徑為R， ∵OC⊥AB， ∴AD=DB= AB=20，∠ADO=90， 在RT△AOD中，∵OA2=OD2+AD2 ， ∴R2=202+（R﹣10）2 ， ∴R=25． 故答案為25． 【分析】設圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點D，設⊙O半徑為R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解決問題．本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用勾股定理列方程解決問題，屬于中考?？碱}型． 三、解答題 【答案】解:如圖，分兩種情況： ①當點P在圓內時，最近點的距離為7，最大距離為11，則直徑是18，因而半徑是9； ②當點P在圓外時，最近點的距離為7，最大距離為11，則直徑是4，因而半徑是2； 故答案：圓的半徑為2或9.圓 【考點】點與圓的位置關系 【解析】【分析】點P應分為位于圓的內部或外部兩種情況討論.當點P在圓內時，點到圓的最大距離與最小距離的和是直徑；當點P在圓外時，點到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解. 【答案】解：過O作OC⊥AB垂足為C， ∵OC⊥AB ∴BC=8cm 在RT△OBC中，由勾股定理得， OC= = =6， 答：圓心O到水面的距離6． 【考點】垂徑定理的應用 【解析】【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AB=2BC，再根據(jù)勾股定理求出BC的長，進而可得出答案． 四、綜合題 【答案】 （1）證明：∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠1=∠BDA， ∴∠1=∠BAD； （2）證明：連接BO， ∵∠ABC=90， 又∵∠BAD+∠BCD=180， ∴∠BCO+∠BCD=180， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠CBO+∠BCD=180， ∴OB∥DE， ∵BE⊥DE， ∴EB⊥OB， ∵OB是⊙O的半徑， ∴BE是⊙O的切線． 【考點】圓周角定理，三角形的外接圓與外心，切線的判定 【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質和圓周角定理得出即可；（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質，切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵． 【答案】 （1）證明：∵四邊形ABCD內接于圓O， ∴∠DCB+∠BAD=180， ∵∠BAD=105， ∴∠DCB=180﹣105=75， ∵∠DBC=75， ∴∠DCB=∠DBC=75， ∴BD=CD； （2）解：∵∠DCB=∠DBC=75， ∴∠BDC=30， 由圓周角定理，得， 的度數(shù)為：60， 故 = = =π， 答： 的長為π． 【考點】圓內接四邊形的性質，弧長的計算 【解析】【分析】此題主要考查了弧長公式應用以及圓周角定理等知識，根據(jù)題意得出∠DCB的度數(shù)是解題關鍵．（1）直接利用圓周角定理得出∠DCB的度數(shù)，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出 的度數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案． 【答案】 （1）證明：如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠DAC=∠BAE， ∴△ABE≌△ADC （2）證明：如圖2，∠BOC=90，理由是： ∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ADC≌△ABE， ∴∠BEA=∠DCA， ∵∠EAC=90， ∴∠AMC+∠DCA=90， ∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA， ∴∠BOC=90 （3）72 （4） 【考點】全等三角形的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，正多邊形的性質 【解析】【解答】證明：（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEM=∠DCA， ∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC， ∵正五邊形ACIGE， ∴∠EAC=180﹣ =108， ∴∠DCA+∠AMC=72， ∴∠BOC=72； 故答案為：72； 4）如圖4，∠BOC的度數(shù)為 ，理由是： 同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEA=∠DCA， ∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC， ∵正n邊形AC…E， ∴∠EAC=180﹣ ， ∴∠DCA+∠AMC=180﹣（180﹣ ）， ∴∠BOC= ． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質得∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADC；（2）根據(jù)正方形性質證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內角∠EAC=90和三角形外角和定理得∠BOC=90；（3）根據(jù)正五邊形的性質證明：△ADC≌△ABE，再計算五邊形每一個內角的度數(shù)為108，由三角形外角定理求出∠BOC=72；（4）根據(jù)正n邊形的性質證明：△ADC≌△ABE，再計算n邊形每一個內角的度數(shù)為180﹣ ，由三角形外角定理求出∠BOC= ．本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質，關鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等，運用了類比的方法，同時還要熟練掌握正n邊形每一個內角的求法：可以利用外角和求，也可以利用內角和求；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和列式并綜合對頂角相等分別得出結論．