2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題21 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).doc

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專題21 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】近幾年高考在對三角恒等變換考查的同時，對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將三角恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象，難度仍然以中低檔為主，重在對基礎(chǔ)知識的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法，其中對函數(shù) 的圖象要求會用五點(diǎn)作圖法作出，并理解它的性質(zhì)： （1）函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個周期；（2）函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對稱中心，相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個周期；.zk5u./（3）函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的與x軸的交點(diǎn)間的距離為其函數(shù)的個周期.1、正弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點(diǎn)）： （5）對稱中心（零點(diǎn)）：，其中是對稱中心，故也是奇函數(shù)（6）單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間：2、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點(diǎn)）：其中是對稱軸，故也是偶函數(shù)（5）對稱中心（零點(diǎn)）： （6）單調(diào)增區(qū)間： ,單調(diào)減區(qū)間：3、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱中心： （5）零點(diǎn)：（6）單調(diào)增區(qū)間： 注：正切函數(shù)的對稱中心由兩部分構(gòu)成，一部分是零點(diǎn)，一部分是定義域取不到的的值4、的性質(zhì)：與正弦函數(shù)相比，其圖像可以看做是由圖像變換得到（軸上方圖像不變，下方圖像沿軸向上翻折），其性質(zhì)可根據(jù)圖像得到：（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸： （5）零點(diǎn)：（6）單調(diào)增區(qū)間：,單調(diào)減區(qū)間：5、的性質(zhì)：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標(biāo)變換所得，通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計(jì)算所得。所涉及的性質(zhì)及計(jì)算方法如下：（1）定義域：（2）值域：（3）周期： （4）對稱軸（最值點(diǎn)），對稱中心（零點(diǎn)），單調(diào)區(qū)間需通過換元計(jì)算所求。通常設(shè)，其中，則函數(shù)變?yōu)椋谇笠陨闲再|(zhì)時，先利用正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像寫出所滿足的條件，然后將還原為再解出的值（或范圍）即可注：1、余弦函數(shù)也可看做的形式，即，所以其性質(zhì)可通過計(jì)算得到。2、對于某些解析式的性質(zhì)（如對稱軸，單調(diào)區(qū)間等）可根據(jù)解析式的特點(diǎn)先變形成為，再求其性質(zhì)【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)II，文3】函數(shù)的最小正周期為（ ）A. B. C. D. 【答案】C 例2.【2017課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是Af(x)的一個周期為2By=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱Cf(x+)的一個零點(diǎn)為x=Df(x)在(,)單調(diào)遞減【答案】D【解析】例3. 已知函數(shù)fx=sinx+0的部分圖象如圖所示，下面結(jié)論正確的個數(shù)是( )函數(shù)fx的最小正周期是2；函數(shù)fx在區(qū)間12,6上是增函數(shù)；函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=12對稱；函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)gx=sin2x的圖象向左平移3個單位長度得到A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(x+)(0)的部分圖象知，T2=3(6)=2,T=2=，=2；根據(jù)五點(diǎn)法畫圖知,2(6)+=0,解得=3；f(x)=sin(2x+3)；對于,函數(shù)f(x)的最小正周期是T=，錯誤；對于,x12,6時,2x+32,23，f(x)在12,6上是減函數(shù)，錯誤；對于,x=12時,2x+3=2，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=12對稱，正確；對于,由f(x)=sin(2x+3)=sin2(x+6)知，函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移6個單位長度得到，錯誤；綜上，正確的命題是.故選：C.例4.【2017天津，文理】設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則（A），（B），（C），（D），【答案】 例5.【2017課標(biāo)II，理14】函數(shù)（）的最大值是 .【答案】1【解析】【名師點(diǎn)睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析.例6. 已知函數(shù)f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x-4,4時,f(x)-12.【答案】（1）；（2）見解析.(2)證明因?yàn)?4x4,所以-62x+356.-10分所以sin2x+3sin-6=-12.所以當(dāng)x-4,4時,f(x)-12._14分例7. 設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期（）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是.【解析】試題分析：（1）由二倍角公式將式子化簡，再由周期的公式得到結(jié)果；（2），, ，進(jìn)而得到最值.解析：，即，當(dāng)時， 的最大值是，最小值是例8.【2018屆浙江省部分市學(xué)校高三上9+1聯(lián)考】設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若角滿足， ， 的面積為，求的值.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】試題分析：（1）函數(shù)解析式利用三角恒等變換化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由及的解析式求出的值，再利用三角形面積公式及，求出，然后根據(jù)余弦定理即可求出的值.試題解析：（1） ，令， ，得， .又，化簡得，則.例9.【2018屆山東省棗莊市第三中學(xué)高三一調(diào)模擬】已知向量，函數(shù).（1）求的對稱中心；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（1）由，令即可得對稱中心；（2）由，得，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得最值.（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，所以時，即， 的最大值為，當(dāng)時，即時， 的最小值為.點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)比較多，主要考查二倍角公式、兩角差的正弦公式及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種：化成的形式利用配方法求最值；形如的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值；型，可化為求最值 .本題是利用方法的思路解答的.例10【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時，fx取得最大值，為3； 時，fx取得最小值，為.【名師點(diǎn)睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘： 【精選精練】1函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的一個表達(dá)式為（ ）A. B. C. D. 【答案】A點(diǎn)睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題 為振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即，通常通過圖象我們可得和， 稱為初象，通常解出， 之后，通過特殊點(diǎn)代入可得，用到最多的是最高點(diǎn)或最低點(diǎn).2【2018屆河北省衡水金卷一?！恳阎瘮?shù)fx=-2cosx0的圖象向左平移00,0)的圖象求解析式(1)|A|=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)由函數(shù)的周期T求,T=2.(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.3【2018屆廣東省佛山市高三檢測（二）】已知函數(shù)fx=sinx-4(0)的圖象在區(qū)間1,2上不單調(diào),則的取值范圍為( )A. 38,+ B. 38,3478,+ C. 38,7874,+ D. 34,+【答案】B【解析】因?yàn)閤(1,2)時x-4(-4,2-4)，因此的取值范圍為(38,34)(78,74)(118,114)(4k+38,4k+34)=(38,34)(78,+)，選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)y=Asin(x+)+B(A0,0)的性質(zhì)(1)ymax=A+B，ymin=A-B.(2)周期T=2.(3)由 x+=2+k(kZ)求對稱軸(4)由-2+2kx+2+2k(kZ)求增區(qū)間; 由2+2kx+32+2k(kZ)求減區(qū)間4【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高考模擬（三）】已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(0,02) f(x1)=2,f(x2)=0，若|x1-x2|的最小值為12，且f(12)=1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. -16+2k,56+2k,kZ B. -56+2k,16+2k,kZ.C. -56+2k,16+2k,kZ D. 16+2k,76+2k,kZ【答案】B【解析】分析：易知|x1-x2|的最小值為T4，從而得，再將f(12)=1代入求解的=3，令-2+2kx+32+2k,kZ，即可得解.詳解：由f(x1)=2,f(x2)=0，且|x1-x2|的最小值為12，可知：T4=12，T=2=，又f(12)=1，則=3+2k,kZ，點(diǎn)睛：研究三角函數(shù)f(x)=Asin(x+)的性質(zhì)，最小正周期為2|，最大值為|A|.求對稱軸只需令x+=2+2k,kZ，求解即可，求對稱中心只需令x+=k,kZ，單調(diào)性均為利用整體換元思想求解.5【2018屆內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗高三下學(xué)期二?！亢瘮?shù)fx=1-3sin2x+6的值域?yàn)開【答案】-2,4【解析】-1sin(2x+6)1-3-3sin(2x+6)3-21-3sin(2x+6)4函數(shù)fx=1-3sin2x+6的值域?yàn)?2,4.6【2018屆四川省雅安市高三下學(xué)期三診】函數(shù)f(x)=3sin(2x+3)的圖象在區(qū)間(0,2)上的對稱軸方程為_【答案】x=127【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】已知函數(shù)fx=sinx+74+cos(x-34)(）求f(x)的最小正周期和最大值;()求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)減區(qū)間【答案】（）最小正周期是2，最大值是2（）(54+2k，94+2k)(kz) 【解析】試題分析：1利用兩角和與差的余弦公式，二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34)，再求單調(diào)區(qū)間解析：（）因?yàn)閟in(x74)cos(x34），所以f(x)2sin(x74）=-2sin(x+34).所以函f(x)的最小正周期是2，最大值是2（）因?yàn)閒(-x)=2sin(x-34)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為(54+2k，94+2k)(kz)8【浙江省臺州中學(xué)2018屆第三次統(tǒng)練】已知向量, ，記(1) 若 ，求的值；(2) 在銳角 中，角 的對邊分別是 且滿足 ，求 的取值范圍【答案】（1）；(2) .點(diǎn)評：1.本題考查解三角形，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，繼而求出的值；高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是 “變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.9.【2018屆四川省雅安市高三下學(xué)期三診】已知函數(shù)fx=2cos2x+sin76-2x-1 xR.（1）求函數(shù)fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知fA=12，若b+c=2a，且ABAC=6，求a的值.【答案】（1）最小正周期：T=，單調(diào)遞增區(qū)間為：k-3,k+6(kZ)；（2）a=23.【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角恒等變換可得f(x)=sin(2x+6)，從而可得函數(shù)fx的最小正周期，再根據(jù)2k-22x+62k+2(kZ)可解得單調(diào)增區(qū)間；（2）由fA=12，可得A的值，再根據(jù)b+c=2a及ABAC=6，即可解得bc，結(jié)合余弦定理，即可求得a的值.試題解析：（1）f(x)=sin(76-2x)-2sin2x+1=-12cos2x+32sin2x+cos2x=12cos2x+32sin2x =sin(2x+6).最小正周期：T=22=， A=3 又2a=b+c， ABAC=bccosA=12bc=6bc=12，cosA=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a224-1=a28-1a=23.10【2018屆北京市京源學(xué)校高三十月月考】 已知函數(shù), .（）求函數(shù)的最大正周期與單調(diào)增區(qū)間值;（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（）最小正周期是: ,；（）最小值為0，最大值為1.【解析】試題分析：（）利用降冪公式及兩角和的正弦公式可將函數(shù)化為 ，故而可得周期，解不等式可得單調(diào)增區(qū)間；（）根據(jù)的范圍，計(jì)算出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其最值.試題解析：（） 所以,即,所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時, 取最小值, ,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取最大值, .11.【2017浙江，18】已知函數(shù)f（x）=sin2xcos2x sin x cos x（xR）（）求的值（）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（）2；（）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】（）由與得【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性，是高考中的常考知識點(diǎn)；對于三角函數(shù)解答題中，當(dāng)涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等都屬于三角函數(shù)的性質(zhì)，首先都應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解12【2018屆廣西陸川縣中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù).（）求函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間；（）在銳角中，內(nèi)角， ， ，的對邊分別為， ， ，已知， ， ，求的面積.【答案】（1）和；（2）.試題解析：（）由已知得 .， 又函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間為和. （）由（1）知銳角， 又，即.又 .