《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.3圓的方程.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.3圓的方程.ppt（30頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)給定的點(diǎn)、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系，能用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．【命題預(yù)測】圓的方程是歷年來高考的一個考點(diǎn)，利用定義和性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)、解析幾何的基本思想，將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化后求解，是今后高考命題的方向．,第3課時圓的方程,【應(yīng)試對策】1．圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且r>0，圓的方程就給定了，這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨(dú)立的條件．注意，確定a，b，r可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來求出．當(dāng)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下條件時，它才表示圓：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即A＝C≠0；(2)沒有xy項(xiàng)，即B＝0；(3)D2＋E2－4AF>0.條件(3)通過將方程兩邊同除以A或C并配方不難得出．,2．一般來說，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程．圓的一般方程中要加限制條件D2＋E2－4F>0.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程；(3)解方程組，求出a，b，r或D，E，F(xiàn)的值，代入所設(shè)方程，就得到要求的方程．,3．根據(jù)條件選擇圓方程的適當(dāng)形式，并會利用待定系數(shù)法進(jìn)行圓的方程的求解，同時，解答圓的問題時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的平面幾何性質(zhì)，簡化計算．,【知識拓展】1．圓系方程(1)同心圓系：圓心為(x0，y0)的圓系方程為：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．(2)過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0及C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的公共點(diǎn)的圓系方程為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0其中若λ≠－1，則此方程表示過兩圓C1與C2的交點(diǎn)的圓；當(dāng)λ＝－1，則此方程表示過兩圓C1與C2交點(diǎn)的直線．,(3)過直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交點(diǎn)的圓系方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.利用圓系可以站在較高的角度來把握有些問題．,1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．圓的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做．其圓心為，半徑為.,(a，b),圓的一般方程,r,3．確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)；(2)；(3)．,根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組,解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,探究：用待定系數(shù)法求圓的方程，如何根據(jù)已知條件選擇圓的方程？提示：當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般式，通過解三元一次方程組求相應(yīng)系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式，對于有些題，設(shè)哪種形式都可以，這就要求根據(jù)條件具體問題具體分析．,4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關(guān)系：(1)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2時，則；(2)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2時，則；(3)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2
4或k4或k0)，由三個條件得到關(guān)于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值．,【例1】求與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長為2的圓的方程．思路點(diǎn)撥：因題中涉及圓心及切線，故設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式解題較簡單．解：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為，∴r2＝()2＋()2，,即2r2＝(a－b)2＋14①由于所求的圓與x軸相切，∴r2＝b2②又因?yàn)樗髨A心在直線3x－y＝0上，∴3a－b＝0③聯(lián)立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.,變式1：根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)P(1,1)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；(2)已知一圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程．,解：(1)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：，即x＋y－1＝0.解方程組，得圓心C的坐標(biāo)為(4，－3)．又圓的半徑r＝|OC|＝5，以所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25.,(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得令①中的x＝0，得y2＋Ey＋F＝0④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的兩根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤解②③⑤組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10 x－8y＋4＝0.,1．求與圓有關(guān)的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．如(1)形如m＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為直線在y(或x)軸上的截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問題．2．特別要注意下面兩個代數(shù)式的幾何意義：表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的直線斜率，表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離．,【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．,解：原方程化為(x－2)2＋y2＝3，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓，(1)設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時，解之得k＝.故的最大值為，最小值為－.(2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當(dāng)y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時，即b＝－2.故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.,(3)x2＋y2表示圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知它在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.,變式2：已知點(diǎn)P(x，y)是圓(x＋2)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)．(1)求P點(diǎn)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．解：(1)圓心C(－2,0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離為d＝∴P點(diǎn)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為d＋r＝＋1＝，最小值為d－r＝－1＝.,(2)設(shè)t＝x－2y，則直線x－2y－t＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，∴≤1.∴－－2≤t≤－2，∴tmax＝－2，tmin＝－2－.故x－2y的最大值為－2，最小值為－2－.(3)設(shè)k＝，則直線kx－y－k＋2＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，,求與圓有關(guān)的軌跡問題，充分利用圓的幾何特征，借助圖形，尋找動點(diǎn)滿足的幾何條件．【例3】(2010山東煙臺模擬)過點(diǎn)A(a,0)引圓x2＋y2＝a2的弦交圓于P1點(diǎn)，求弦P1A的中點(diǎn)M的軌跡方程．思路點(diǎn)撥：有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，大多利用中點(diǎn)與圓心連線垂直于弦的性質(zhì)解決．,解：如右圖，∵M(jìn)是弦AP1的中點(diǎn)，∴OM⊥AM，∴M在以O(shè)A為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則M滿足2＋y2＝.∵M(jìn)在圓x2＋y2＝a2的內(nèi)部，∴x≠a，故弦P1A的中點(diǎn)M的軌跡方程為2＋y2＝(x≠a)．,變式3：由動點(diǎn)P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB＝60，則動點(diǎn)P的軌跡方程為______________．解析：由題意可知，OA＝1，∠APB＝60?∠APO＝30，則PO＝＝2，設(shè)P(x，y)，則＝2?x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝4,【規(guī)律方法總結(jié)】1．求一個圓的方程需要三個獨(dú)立的條件，待定系數(shù)法是求圓的方程的基本方法，應(yīng)熟練掌握，如果由已知條件易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要圓心坐標(biāo)列方程，常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果所求圓與圓心、半徑關(guān)系不密切時(如已知圓過三點(diǎn)等條件)，常選用圓的一般方程．2．與圓有關(guān)的軌跡問題，可根據(jù)題設(shè)條件選擇適當(dāng)方法(如直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法等)，有時還需要結(jié)合其他方法，如交軌法、消參法．,3．處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化.,【例4】求圓心在直線5x－3y＝8上，且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【錯因分析】本題可以設(shè)出圓心坐標(biāo)、圓的半徑，通過建立方程組解決．圓與兩坐標(biāo)軸相切實(shí)際上是給出了圓心和半徑所滿足的兩個幾何條件，即圓心到坐標(biāo)軸的距離等于圓的半徑并且圓心的縱橫坐標(biāo)的絕對值相等，本題容易出錯的地方就是把這個條件理解錯，以為只要圓心的縱橫坐標(biāo)相等即可，這樣就漏掉了一個解．,【答題模板】解：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵圓與兩坐標(biāo)軸相切，∴a＝b，r＝|a|.又∵圓心(a，b)在直線5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8，,∴所求圓的方程為：(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.,【狀元筆記】確定圓的要素是圓心和半徑，求圓的方程時只要把圓心和半徑求出來即可，一般是根據(jù)題目給出的已知條件通過聯(lián)立關(guān)于圓心坐標(biāo)和半徑的方程組解決．解題時注意把幾何條件轉(zhuǎn)化為方程組時要準(zhǔn)確無誤，幾何條件和代數(shù)方程要等價，在列出方程組后，解方程組要準(zhǔn)確，防止計算結(jié)果出錯.,1．已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程．分析：方法一：從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)法解決．方法二：直接利用結(jié)論寫出圓的方程．,解：解法一：設(shè)圓心C(a，b)，半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得a＝＝5，b＝＝6.又由兩點(diǎn)間的距離公式得r＝|CP1|＝＝，∴所求圓的方程為(x－5)2＋(y－6)2＝10.解法二：以P1P2為直徑的圓的方程為(x－4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0，即(x－5)2＋(y－6)2＝10.,2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示圓．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求該圓半徑r的取值范圍；(3)求圓心的軌跡方程．分析：(1)已知方程是圓，則滿足D2＋E2－4F>0，利用此不等式可列出關(guān)于m的不等式，從而求出m的取值范圍；(2)利用公式求出半徑r，再利用二次函數(shù)求出r的取值范圍；(3)利用圓心的公式求出圓心的坐標(biāo)，再消去參數(shù)m，即得圓心的軌跡方程．,解：(1)由D2＋E2－4F>0即4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，所以－
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