蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件11.4直線與平面的位置關(guān)系.ppt

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通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明線面的平行與垂直問(wèn)題,第4課時(shí)直線與平面的位置關(guān)系,【命題預(yù)測(cè)】1空間中平行關(guān)系的概念性比較強(qiáng)，與前后知識(shí)的聯(lián)系比較緊密，是每年高考考查線面位置關(guān)系及綜合運(yùn)用知識(shí)解答問(wèn)題經(jīng)常涉及的內(nèi)容，試題在考查“四種能力”的同時(shí)，非常重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，試題主要體現(xiàn)立體幾何的通性通法，突出了化歸、轉(zhuǎn)化等思想方法的考查因此，對(duì)這些內(nèi)容要認(rèn)真復(fù)習(xí)，真正學(xué)明白2垂直是直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系中的紐帶，常常起到承上啟下的作用，不少問(wèn)題常常是以垂直為解題的突破口，然后深入進(jìn)行下去在高考中，空間三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化始終是立體幾何考查的重點(diǎn),【應(yīng)試對(duì)策】1對(duì)線面平行、面面平行的認(rèn)識(shí)一般按“定義判定定理性質(zhì)定理應(yīng)用”的順序進(jìn)行，其中定義的條件和結(jié)論是相互等價(jià)的，它既可以作為判定線面平行和面面平行的方法，又可以作為線面平行和面面平行的性質(zhì)來(lái)應(yīng)用2應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外直線平行的直線應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行,3要判定一條直線是否和一個(gè)平面垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)則無(wú)關(guān)緊要4求直線與平面所成的角，一般是作出直線與平面所成的角，并通過(guò)解三角形求出,【知識(shí)拓展】三垂線定理和逆定理(1)三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直其符號(hào)表述為：直線l與平面斜交，l是l在內(nèi)的射影，直線m，mlml.,(2)三垂線定理的基本圖形右圖是三垂線定理的基本圖形，PA，PO是平面的斜線，AO為PO在內(nèi)的射影，直線a在內(nèi)，若aAO，則aPO.(3)三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直,(4)三垂線定理及其逆定理的作用三垂線定理及其逆定理，是立體幾何中的重要定理，是共面兩直線的垂直關(guān)系與空間兩直線的垂直關(guān)系之間相互轉(zhuǎn)化的判定定理，它的實(shí)質(zhì)是通過(guò)線線垂直得到的線面垂直，又轉(zhuǎn)化為線線垂直，它是證明線線垂直的重要方法它的用途：在作圖中，作二面角的平面角；在證明中，證明線線垂直；在計(jì)算中，用歸納法歸攏已知條件，便于計(jì)算,1直線a和平面的位置關(guān)系有、，其中與統(tǒng)稱(chēng)直線在平面外2直線和平面平行的判定(1)定義：如果一條直線a和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，我們就說(shuō)直線a與平面(2)判定定理：a，b，ab；(3)其他判定方法：，a.,平行,相交,在平面內(nèi),平行,相交,平行,a,a,思考：直線與平面平行的判定定理是判斷平行關(guān)系的核心，運(yùn)用此定理應(yīng)注意什么？提示：應(yīng)注意平面外的一條直線和平面內(nèi)的一直線平行才能得到線面平行3直線和平面平行的性質(zhì)定理：a，a，l.4直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a與平面，記作a，直線a叫做平面的，平面叫做直線a的，垂線和平面的交點(diǎn)稱(chēng)為,al,互相垂直,垂線,垂面,垂足,(2)直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線,相交直線,平行,5點(diǎn)面、線面距離及線面角(1)點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和間的距離，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離(2)直線和平面的距離一條直線和一個(gè)平面，這條直線上到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離,垂足,任意一點(diǎn),平行,(3)直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的所成的，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角一條直線平面，則稱(chēng)它們所成的角是直角；一條直線與平面或，則稱(chēng)它們所成的角是0的角.,射影,銳角,垂直于,平行,在平面內(nèi),6平行六面體底面是平行四邊形的四棱柱叫做，側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直，底面是矩形的直平行六面體叫做，棱長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方體叫做,平行六面體,平行六面體,長(zhǎng)方體,正方體,1(2010東臺(tái)中學(xué)高三診斷性試卷)已知球面上有四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則該球的體積等于_答案：2a、b為平面M外的兩條直線，在aM的前提下，ab是bM的_條件解析：ab，ab是bM的充分不必要條件答案：充分不必要條件,3(2010揚(yáng)州中學(xué)高三考試)若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5米、4米、3米，則其外接球的表面積為_(kāi)米2.解析：設(shè)球的半徑為R，則(2R)252423250.S4R250.答案：50,4如圖，BC是RtABC的斜邊，AP平面ABC，連結(jié)PB、PC，作PDBC于D，連結(jié)AD，則圖中共有直角三角形_個(gè)解析：RtPAB、RtPAC、RtABC、RtADP.可證BC平面APD，由BCAD，BCPD.可證RtPBD、RtPDC、RtADB、RtADC共8個(gè)答案：8,5在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，A到平面B1C的距離為_(kāi)，A到平面BB1D1D的距離為_(kāi)，AA1到平面BB1D1D的距離為_(kāi)解析：由正方體性質(zhì)知ABBB1，ABBC，AB平面B1C.又ABa，點(diǎn)A到平面B1C的距離為a.過(guò)點(diǎn)A作AOBD，垂足為O，由正方體性質(zhì)知，BB1面AC，AO面AC，AOBB1.AO平面BB1D1.而AOa，A到平面BB1D1的距離為a.AA1平面BB1D1，AA1到面BB1D1的距離等于A到平面BB1D1的距離為a.答案：aaa,判定直線與平面平行，主要有三種方法：(1)利用定義(常用反證法)(2)利用判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面,【例1】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC有公共邊BC，BECF，BCF90，求證：AE平面DCF.思路點(diǎn)撥:,證明：過(guò)點(diǎn)E作EGCF交CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形又ABCD為矩形，所以ADEG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AEDG.因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF.,變式1：如圖，已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)求證：PD平面MAC.證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)MO，O為BD的中點(diǎn)，又M為PB的中點(diǎn)，MOPD.又MO平面MAC，PD平面MAC，PD平面MAC.,如果已知直線和平面平行，在利用直線與平面平行的性質(zhì)定理時(shí)，常過(guò)此直線作和已知平面相交的輔助平面，完成線面平行向線線平行的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化思想是本章知識(shí)最常用的思想【例2】求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行已知：如圖，=l，a，a.求證：al.,思路點(diǎn)撥：利用直線與平面平行的性質(zhì)，分別在平面、找與a平行的直線證明：過(guò)作平面交平面于b，a，ab.同樣，過(guò)a作平面交平面于c.a，ac.bc.又b，c，b.又平面經(jīng)過(guò)b交于l，bl.又ab，al.,變式2：如圖，設(shè)AB、CD分別是位于平面兩側(cè)的異面線段，且AB，CD，直線AC、AD、BC、BD分別交于點(diǎn)E、F、H、G，求證：EG與FH互相平分證明：ACADA，AC和AD可確定一個(gè)平面CD，平面ACDEF，CDEF.同理，CDHG，EFHG.同理，EHFG.四邊形EFGH為平行四邊形EG與FH互相平分,證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來(lái)證明線線垂直,【例3】如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB，PC的中點(diǎn)(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD.思路點(diǎn)撥：(1)因M為AB中點(diǎn)，只要證ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB.(2)已知MNCD，只需再證MNPC，易看出PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點(diǎn)，可得MNPC.,(1)連結(jié)AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N為PC中點(diǎn)，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，從而在RtPBC中，BN為斜邊PC上的中線，BN=PC.AN=BN，ABN為等腰三角形，又M為底邊的中點(diǎn)，MNAB，又ABCD，MNCD.,(2)連結(jié)PM、MC，PDA=45，PAAD，AP=AD.四邊形ABCD為矩形AD=BC，PA=BC.又M為AB的中點(diǎn)，AM=BM.而PAM=CBM=90，PM=CM.又N為PC的中點(diǎn)，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCD=C，MN平面PCD.,變式3：(2010江蘇省東臺(tái)中學(xué)高三數(shù)學(xué)診斷性試卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)(1)證明CDAE；(2)證明PD平面ABE.證明：(1)在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，ACCD，PAAC=A，CD平面PAC.而AE面PAC，CDAE.,(2)由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PA，E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，ABAD，ABPD.又ABAE=A，綜上得PD平面ABE.,【規(guī)律方法總結(jié)】1空間直線和平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線和平面平行，直線和平面相交了解空間直線和平面位置關(guān)系的畫(huà)法，掌握它們的特征，即直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，直線和平面平行無(wú)公共點(diǎn)，直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)2直線和平面平行時(shí)，直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，直線與平面內(nèi)的直線只有兩種位置關(guān)系：平行或異面直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡(jiǎn)述為“若線面平行，則線線平行”，它實(shí)際上是兩直線平行的判定定理,3直線與平面垂直的判定方法：定義；判定定理由直線和平面垂直的判定定理知，把線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面垂直關(guān)系4直線和平面垂直的性質(zhì)定理是由線面垂直關(guān)系到線線垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)換，掌握性質(zhì)，關(guān)鍵明確平面的垂線應(yīng)用時(shí)，只要找到這個(gè)平面的兩條垂線就可以了.,【高考真題】【例4】(2009遼寧卷)如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)(1)若平面ABCD平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線,分析：對(duì)于第(1)問(wèn)可以根據(jù)線面角的概念作出線面角，在已知條件“平面ABCD平面DCEF”下，這個(gè)線面角很容易作出來(lái)，然后解一個(gè)直角三角形即可；第(2)問(wèn)明確用反證法證明，反設(shè)結(jié)論，根據(jù)線面位置關(guān)系進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾結(jié)果,規(guī)范解答：(1)如右圖所示，取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，則MGCD，MG=2，NG=.因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MNG是MN與平面DCEF所成的角因?yàn)镸N=，所以sinMNG=為MN與平面DCEF所成角的正弦值,(2)證明：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以ABEN.又ABCDEF，所以ENEF，這與ENEF=E矛盾，故假設(shè)不成立所以ME與BN不共面，它們是異面直線,【全解密】,【命題探究】本題考查線面角的計(jì)算及用反證法證明兩條直線異面，試題的核心部分就是用反證法證明兩直線異面，既考查空間線面位置關(guān)系的應(yīng)用又考查重要的數(shù)學(xué)方法反證法，是高考中立體幾何解答題的一個(gè)創(chuàng)新，值得關(guān)注,【課本探源】本題第(1)問(wèn)給出的關(guān)系是非?；镜?，兩個(gè)正方形所在的平面互相垂直，這個(gè)關(guān)系就是將正方體的一個(gè)側(cè)面與一個(gè)底面單獨(dú)“摘出來(lái)”，正方體模型是立體幾何中最重要的模型之一，是各個(gè)版本的教材都很重視使用的，可以說(shuō)本題第(1)問(wèn)是教材上這個(gè)特點(diǎn)的反映,【方法探究】反證法是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具，很多看上去很困難的問(wèn)題使用反證法往往很奏效，反證法證明問(wèn)題的基本思想是：反設(shè)結(jié)論、導(dǎo)出矛盾，這里的矛盾可以是與具體題目中的已知矛盾，也可以是與已知的數(shù)學(xué)公理、定理矛盾，也可以與明顯的事實(shí)矛盾(如得出12,30等)，用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就是要根據(jù)題目中相關(guān)的信息，使用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)出這個(gè)矛盾，這是反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在.,1如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：BC1平面AB1D1；(2)若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點(diǎn)，則EF平面ADD1A1.分析：本題要證明線面平行，可以緊緊圍繞著線面平行的判定定理來(lái)考慮，尋求相關(guān)的線線平行,證明：(1)BC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1AD1，BC1平面AB1D1.(2)連接AC，如圖，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，ACBD=F，又點(diǎn)E為D1C的中點(diǎn)，EFAD1.EF平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，EF平面ADD1A1.,2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：B1O平面PAC.分析：要證B1O平面PAC，根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證B1O垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線即可,證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)其棱長(zhǎng)為2a，連接OP，B1D1.BB1平面AC，且AC平面AC，BB1AC.又O是正方形ABCD的中心，ACBD，AC平面B1BO，B1OAC.又B1OPO.又POACO，B1O平面PAC.,