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用配置空間的方法對注塑模冷卻系統(tǒng)進行設計
c.g.李， c.l.李*
香港城市大學制造工程及工程管理部，香港
2007年5月3日收到; 2007年11月18日接納
摘要
注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質量影響是非常重要的。盡管已有各種針對冷卻系統(tǒng)的分析、優(yōu)化和制作的研究，但冷卻系統(tǒng)的布局設計方面并沒有得到很好的發(fā)展。在規(guī)劃設計階段，我們主要關注的是冷卻系統(tǒng)的可行性和其他模具組件插入是否發(fā)生干預。本文介紹了利用配置空間（C空間）的方法來解決這一重要問題。然而高維配置空間方法一般需要處理一個如冷卻系統(tǒng)般復雜的系統(tǒng)，冷卻系統(tǒng)的特殊特點設計目前正在探索研究中，利用C空間在三維空間或更低維空間計算和存儲的特別技術也在發(fā)展中。這種新方法是由作者對以前啟發(fā)式方法的改善，因為C空間的代表性能使自動布局設計系統(tǒng)在所有可行的設計中進行更系統(tǒng)的搜索。自動生成候選布局設計的一個簡單的遺傳算法是C空間代表性的實施和綜合。遺傳算法所產生的設計實例，給這
種方法提供了可行性證明。 c 2007 Elsevier公司有限公司，保留所有權利。
關鍵詞: 冷卻系統(tǒng)設計；注塑模具；配置空間的方法
1.導言
注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質量影響是非常重要的。大量涉及對冷卻系統(tǒng)分析[ 1,2 ] ，及商業(yè)CAE系統(tǒng)，如Moldflow [ 3 ]和moldex3d [ 4 ] 的研究被廣泛應用于工業(yè)。以優(yōu)化某一特定的冷卻系統(tǒng)的研究技術亦已報道[ 5-8 ] 。最近，通過使用新形式的制造技術以建立更好的冷卻系統(tǒng)的研究已被報告。徐等人[ 9 ]報道了他們的模具意念：保持一定距離的冷卻水道的設計和制作。孫等人[ 10,11 ]用數控銑床銑削生產U形槽冷卻渠道和俞[ 12 ]提出了一個棚架形冷卻結構的設計。
盡管各種研究的重點主要集中在冷卻系統(tǒng)的初步設計過程中冷卻系統(tǒng)的功能實現問題，布局設計階段過程中沒有得到很好發(fā)展的冷卻系統(tǒng)的可行性和可制造性設計問題。關注的重點主要是：在初步設計階段冷卻系統(tǒng)的可行性且與其他的模具部件是否干預。如圖1所示 。從中可以看到注塑模的各子系統(tǒng)許多不同的組成部分，如噴射器的管腳，滑塊等等，都必須裝入模具中。為每個回路冷卻水道尋找最佳位置以優(yōu)化冷卻性能并避免與其他組件干擾不是一項簡單的任務。另一個讓規(guī)劃布局設計更復雜的問題是，單獨的冷卻水道需要和出水道和進水道連接而形成一條環(huán)形水道。因此，改變一條水道的位置，其他水道可能也需要改變。 在圖 2所示 。優(yōu)化冷卻系統(tǒng)的每個水道的理想位置都如圖2（a）所示 。假設當冷卻系統(tǒng)及其他模具組件都裝入模具內部時，模具組件O1和水道C1是干擾的。因為C1與其他組件可能的干擾而無法移到附近的一個位置，它必須被縮短長度。因此， 通過移動C2和延長C3使他們保持連接，如圖2（b）所示?；谄湫碌拈L度， C3又與其他模具組件O2發(fā)生干擾，進一步修改是必要的，最后的設計結果如圖2（c）所示 。鑒于一個典型的注塑模具可能有10條以上的冷卻水道，每個水道與其他模具組件都可能存在著潛在的干擾，手工找出一個優(yōu)化布置設計是非常繁瑣的。 本文介紹了一種在設計過程中支持自動布局的新技術。對于這種新技術，配置空間（C空間）的方法是用來在所有可行的設計中提供一個簡潔的有代表性的布圖設計。C空間的代表性是通過利用解決布局設計問題這個特殊特點的有效方法構建的，而不是采用啟發(fā)式規(guī)則來生成的布局設計，這就就好比以前作者開發(fā)的自動布局設計系統(tǒng) [ 13,14 ] ，這個新的C空間方法能使自動布局設計系統(tǒng)在所有可行的布圖設計中進行更系統(tǒng)的搜索。
2.配置空間的方法
一般來說， 一個系統(tǒng)的C空間是當該系統(tǒng)的每個自由度被視為一個層面的結果而導致的空間。配置空間中的區(qū)域被標記為堵塞區(qū)域或自由區(qū)域。在自由地區(qū)的點對應于組件間沒有相互干擾的系統(tǒng)的有效配置。在被堵塞區(qū)域的點對應于組件間相互干擾的系統(tǒng)的無效配置。 C空間最初被洛薩諾-佩雷斯定形 [ 15 ]以解決機器人路徑規(guī)劃的問題和關于這方面的研究一項調查已被明智和鮑耶 [ 16 ] 報道 。C空間的方法也被用來解決定性推理方面的問題（例如，[ 17,18 ] ）和運動裝置的自動化分析與設計（例如， [ 19-21 ] ） 。作者在由多個國家組成的自動設計機構做研究時[ 22 ， 23日]研究了一種C空間的方法。
（a） 冷卻水道C1 和模具組件 （b）c1截短，c2移動，c3延長
O1干擾發(fā)生在理想的位置
（c）c3移動，c2截短從而效果最佳
圖3冷卻系統(tǒng)的自由度
2.1一個冷卻系統(tǒng)的C空間
一個高維C空間可以用來表示給定的某一冷卻系統(tǒng)的初步設計中所有可行的布圖設計。圖3給出了一個例子。冷卻系統(tǒng)的初步設計由4冷卻水道組成。從初步設計中生成一個布局設計，渠道的中心和長度需要被調整。正如圖3所示，該水道c 1的中心可沿著X1 和X 2方向移動，其長度可以沿X 3 方向調整。同樣地，C2長度的可以沿X 4方向調整，而其中心可以按X1 和X 3所描述的調整 ，因此必須與調整C 1保持連接性的情況相同。通過運用類似的觀點對其他水道，可以看出，冷卻系統(tǒng)有5個自由度，它們都是標注為Xi，i= 1 ， 2 ，…… 5 。原則上， C空間是一個五維空間而這個空間的自由區(qū)域中的任何一點都給定了一個對應的坐標值在X i軸上，可以用來界定渠道的幾何位置且沒有與其他模具組件造成干擾。在一個冷卻系統(tǒng)的高維C空間中確定一個自由區(qū)域，第一步是在獨立水道的C空間中構建自由區(qū)域。
2.2 獨立水道的c空間構造
當一個獨立的水道c1被確定為單獨時，它有三個自由度，則X 1和X 2為其中心位置而X 3是它的長度。因為理想的中心位置和長度已經在初步設計中指明，因此假定一個固定的允許最大變化量δ C為X1 ，X2 ，X3是合理的。c1水道的C空間中最初確定的自由區(qū)域，是一個尺寸為δc×δc×δC的三維立方體。為避免與模具組件oi發(fā)生任何可能的干擾當水道通過鉆孔插入模具內部時，鉆頭直徑D和沿X3的鉆孔深度必須考慮。假設直徑D ，Oi開始時用D/2 +M對于O "抵銷，其中M是水道內壁和附近的一個組件間所允許的最短距離。Oi的增長有效的減少了水道Ci的長度對于直線Li來說 。以圖4為例子 。圖4（a）表明了水道Ci和三模具組件O1、O2、O3可能會與Ci發(fā)生干擾。圖4（b）顯示了模具組件O' , O ', O '和O "的偏移及 Ci相對于線段Li的減少量與Ci的x值相符情況。如果Li和模具其他組成部分沒有交匯點，那么，原來的水道Ci將不會與模具組件相交。
（a） 水道Ci和模具的 （b）模具組件和Ci相對Li的偏移
三個組件
（c） 模具組件和Ci相對Pi點的補償 （d）Ci的自由度
（e）Oi相對Pi的減少量 （f）Ci的自由點Fri
圖4在一個通道CI自由區(qū)FRi施工的主要步驟
水道是通過鉆孔從對模具的表面插入的，任何如Oi的障礙以及鉆孔深度將會影響水道的構建。鉆孔深度及Oi的補償O"沿鉆孔的方向延伸，直到鉆到模具對應的另一面生成水道為止。Oi相對 Pi沿直線Li的減少至Li的終點。如圖4（c）所示，如果點Pi位于Oi"之外 ，沿Li鉆孔產生水道Ci是可行的。
水道Ci的自由區(qū)域Fri用如下方法取得。首先，初始自由地區(qū)Bi是用如圖4（d）所示的Pi點作為中心構建的。然后插入與模具交叉取得B 0 。 B 0代表Ci所有可能的變化當僅考慮插入的模具幾何形狀時。然后Fri是從所有障礙的Oi中減去Bi獲得。圖4（e）和（f）顯示了這種減法以及這種例子的結果FRi。
2.3 基本接近法構建冷卻系統(tǒng)的C空間
在一個冷卻系統(tǒng)的C空間中確定自由區(qū)域FRF，每個冷卻水道的自由區(qū)域必須以一個適當的方式“交叉”，以使障礙的效果能恰當的通過FRF描繪對于所有水道來說。然而在兩個不同水道之間的自由區(qū)域的標準布爾交叉口無法執(zhí)行，因為他們的C空間在一般跨距于不同的軸線。以圖3為例子 ，C1和C2的C空間分別為（ X1 ， X2 ，X 3 ）和（X 1 ，X3 ，X4 ）。為了更方便在不同的C 空間中的自由區(qū)域之間確定交叉口，從一個渠道和另一個渠道的C空間中推算一個地區(qū)是必要的。以下批注首先介紹了并將用于隨后的討論和其余的文件。
標記法用于描述高維空間
S n是指一個通過坐標定義的n維空間
= {X 1, X 2, . . . , X n}.
Sn是指一個通過坐標定義的m維空間
= {X , X , . . . , X }.
Pn 是指在Sn 的一個點 p n = (x 1, x 2, . . . , x n)
Rn屬于區(qū)間S n(R n S n)
標記法用于描述冷卻系統(tǒng)
n c指在冷卻系統(tǒng)中水道的數目。
n f指冷卻系統(tǒng)總的自由度。
ci指冷卻系統(tǒng)第i個水道。
s i指Ci的C空間。
FRi是指在Si中的自由地區(qū)。也就是說，它是獨立水道Ci的自由區(qū)域。
SF指冷卻系統(tǒng)的C空間。
FRF是指SF中的自由區(qū)域。也就是說，它是冷卻系統(tǒng)的自由區(qū)域。
假設Pn在Sn中，Pm在Sm中，圖5（a）用一唯和三唯的的空間點明了突出的例子
(i) (ii) ；而(iii) ， 且
對(i)Pn 和Pm的坐標是一樣的如果Sn和Sm在同一區(qū)間時。對(ii)和(iii)Pn在區(qū)間Rm中。因為Pm在Rm中，當點位于Sn和Sm中時Pn等于Pm。而對另一坐標Pm其可以是任意值；特別對(ii)和(iii)，假設水道Cn和Cm，因為它們相近所以必須連接。這樣它們的C空間Sn、Sm有相同的坐標值。假設那是一個結論？對應到在S n中一個點P n已選定為Cn。保持連通性，結論呢？ Cm必須被選擇在以使Sm中的相應點Pm與P n共用相同坐標在共同的軸線。這意味著Pm和PN可以是任何點在區(qū)間Sm中，該方法已經在前面予以定義。在區(qū)域Sn和Sm中的一區(qū)域Rn是Rn和Sm中每一點的簡化。圖5（ b ）說明了相應的區(qū)域。投影的正式定義如下面所示。
定義1 （投影）
1.1.如果Xˉ m? Xˉ n, PROJ Sm ( pn )是一個點=(x,x,……,x),因為X = Xj, x = xj
因為i [1,m]。為了在隨后的討論中簡化符號，這一投影是被視為單獨點Pm的區(qū)間。也即是PROJ Sm ( pn )={Pm}。
. 1.2.如果Xˉ m? Xˉ n，PROJ Sm ( pn )是一個區(qū)間{ pm |PROJ Sn ( pm ) = { pn }}.
1.3.如果Xˉ m Xˉn , Xˉ n Xˉm ,并且 Xˉ n∩ Xˉ m , PROJ Sm( pn )是一個區(qū)間Rm = { pm|PROJ SI( pm ) = PROJ SI( pn )},其中Si位于區(qū)間Xˉ n∩ Xˉ m ，如果 n∩ Xˉ m =，PROJ Sm( pn )則定義為Sm。
1.4.ROJSm(Rn) 定義在區(qū)間Rm={Pm|PmPROJ(Pn),PnRn}.
正如在2.1節(jié)所討論的，在FR中的任意點P為冷卻系統(tǒng)的每個自由度給定了一個值，使水道與其他模具組件在幾何空間是不會發(fā)生任何干涉。另一方面， P相對每個點s i的投影是，在Ci的每個自由區(qū)域FR中。因此，FR定義如下。
定義2 （一個冷卻系統(tǒng)C空間的自由區(qū)域）
FRF = { pF | P R O JSi ( pF ) FRi , i ∈ [1, nC ]}
圖 5 點和區(qū)間在Sn至Sm區(qū)間中的投影。
根據定義1.1知道， 從到的區(qū)間投影始終只包含一個單一的點，因為跨距s i始終是s n一個子軸線. Ci的每一個自由區(qū)域FR的構造，已經在第2.2節(jié)中解釋。從FR中找出FRF，下面的定理是很有用的。
定理1 .
這定理很直觀表明為找出，所有的FR首先投影到冷卻系統(tǒng)的C空間. 可以從投影的布爾交叉口得到。定理1的證明和所用的引理，都已在附錄中標出。
2.4.C -空間的表示和計算
為了表示自由區(qū)域和便于在一個高維空間的區(qū)域布爾交叉口之間的計算，我們可以利用類似 [ 21,24 ]中的一種細胞枚舉法?；舅悸肥怯靡桓呔S立方體在中逐漸靠近一高維區(qū)間。每個立方體是通過對每個軸指定間隔來確定的。兩個區(qū)間的交匯點是通過兩個立方塊交匯點所取得的。兩個高維立方體的交叉點只不過是在每個軸的立方體之間間隔的普通交叉點。
假設每個FR是近似由m個三維立方體組成，投影PROJ S（FR）便可近似由維立方體組成。使用定理1對的構建，需要在n-三維立方體中交叉，是用一個n-三維立方體只中的最大值表示。雖然用來代表交叉點中間結果的立方體的數量和 可通過特殊技術減少，可以預料到記憶和計算的要求仍然是這種方法的主要問題。在下一節(jié)中將介紹一種更先進的方法。
（二）在配置空間Si中每個水道的自由區(qū)域。
（一）一個擁有四個水道和四個自由度的簡單冷卻系統(tǒng)
3.C空間構建的一種有效率技術
對的表示和構建時為了避免高的內存和計算的要求，我們選擇不表示和不計算。相反，我們專注于對每一獨立水道的C -空間計算過程是否有效的技術。首先，我們看顯示在圖6的簡化設計例子 。假設在這個例子中模具沿z方向插入時在FR中不存在變異，那么冷卻系統(tǒng)有四個如圖6（ a ）所示的自由度。每個水道的Si是兩維和假設的FR如圖6（ b ）所示。為水道考慮一個簡單的設計方法。首先，點可以從FR中選擇，以使不會和任何障礙發(fā)生干涉。然而，由X 1和X 2確定 ，而X2在S 2中 。因此那些在S 2中的障礙所施加的約束，還必須考慮。為了找出設計的所有可行點，是與 “交叉”。這個“交叉點”結果如圖6（ c ）所示，這是通過移動區(qū)間x 2 < 6得到的 ，因為該自由區(qū)域，× 2[ 6 ， 10 ] ?，F在，如圖6（ c ）所以示給定一個與任何障礙不發(fā)生干涉的水道，并在其自由區(qū)間的任何一點的選定，始終為C 2存在著這樣一種設計：例如，它可以連接到（他們都有一個共同的× 2值）并和任何障礙不發(fā)生干涉。然而，這個簡單方法的一個主要問題是在為C 1和C 2進行有效的設計時并不保證冷卻系統(tǒng)其他水道存在有效的設計。例如，如果一個點選定如圖6（d）所示，則× 2 ∈[ 8 ,10 ] ,那么由，× 3 ∈ [6 ，8 ] ，在并沒有有效點和在這個區(qū)間。
上述例證表明，在為水道設計時，只考慮與相鄰并有一個共同軸的的自由區(qū)域和是不恰當的。事實上，其他所有的都必須加以考慮，盡管他們的C 空間并沒有共同軸和（且他們也不和C 1相鄰 ），因為組成冷卻系統(tǒng)的冷卻水道是相接的。一個自由度的選擇會影響冷卻系統(tǒng)另一自由度的選擇。
為每一個獨立水道的C空間發(fā)展一個設計的過程，主要關注的是：在一個水道C的空間選擇一個點后，必須始終存在和所有其他s i相應的點，以使所有的水道可以連接到一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。為解決這一問題，到每個量s i的投影是必要的。
（c）在與相交以后的自由區(qū)間 （d）為C1和C2設計的一個有效點P1使C4成為無效的設計。
圖6
定義3 。定義為到投影
= PRO ()
顯然，對在選定的任何點，始終存在著相應的點在中 ，因為和都是點在的投影，在中選中的任何點，很明顯總是有一些相應的設計對應其他所有的渠道以使這些水道可以連接在一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。因此，為了保證冷卻系統(tǒng)能有效的設計，的構建是很重要的。根據定理3，為到投影。然而，如在第2.4節(jié)所討論的，我們并不想構建基于大容量空間和繁瑣計算要求。另一種可供選擇的更有效的方法是直接構建。而不是作用在高維空間，這個方法通過一個工作在空間三維或更少維數的序列運行來建構。
該方法正式介紹之前，在圖6所舉的例子再次被使用來說明這種方法的基本概念。為了開始一個設計過程，在的點P 1 =（× 1，× 2 ）首先被選擇如圖7所示 。因為 有一點在中 ，必須有一個值，以使我們可以找到=（× 2 ，× 3 ）在。又有一個坐標在，坐標必須有一個值，以使我們可以找到=（× 3 ，× 4 ）在 。此外，因為在有和 ，=（，）必須在。圖7顯示了為水道構建一個有效設計的點、、和的順序。
上述例子顯示，為了在代表所有的有效設計的中確定有效的區(qū)間，自由區(qū)域應首先考慮。的影響應該可以 “促使”以確定有效的區(qū)間在中，然后是，最后是。在的有效區(qū)域產生的結果包括、、、的所有影響。為達到這一目的，組合的運作正式被界定。
定義4 （組成）
對于在一個冷卻系統(tǒng)里的兩個相鄰水道和，他們從到的自由區(qū)域的組合，標注為，而他們從到自由區(qū)域的組合，標注為，定義如下：
(b)FRi每個通道的自由地區(qū)Si的配置空間
圖6冷卻系統(tǒng)設計的一個簡化的例子
對于冷卻系統(tǒng)一個水道{Ci}序列的構成， 從到自由區(qū)域的組成，標注為，定義如下文。
如果
如果
如果
圖8顯示了促使 構建的組合序列。第一步是要構建，就像圖8（a）所示這已被給定在=PROJ(FR)FR， 。然后如在圖8（b）所示CR的構建由公式CR=PROJ()FR得。最后，CR，由CR=PROJ( CR)FR。如圖8（c）所示。從圖8（c）很明顯的得出，CR對組成冷卻系統(tǒng)的所有水道的自由區(qū)域存在著影響。因此，對于CR中的任意一點，可以保證冷卻系統(tǒng)的一個有效設計可以被構造。
通過組合序列的運用，一個有效的設計可以通過在每個中選擇點獲得。在其他所有水道的自由區(qū)域已經組合到中時。不過，我們也想確保沒有將有效的設計從自由區(qū)域中排除，當組合序列被應用以后。否則，有些可能提供更佳的冷卻性能的有效設計將不能用這個方法得到。以C的設計為例，圖8（c）的CR不僅僅代表著C一部份有效設計，而且代表著C所有的有效設計，這對C來說尤為重要。為了解決這一問題，我們提出以下定理：應用水道{C}的一個序列{C},i[1,]到冷卻系統(tǒng)。
定理2
定理2說明代表水道C所有有效的設計PR，可以通過和之間的一個布爾交點得到。這定理的一個重要特點是PR可以在三維立體空間中計算得到，因和都在S中，所以交點在S中。此外和也可以通過在中的區(qū)間相交得到。這樣，PR可以通過在三維立體空間的序列得到。如果在第2.4節(jié)中的假設說明再次被使用，即是說如果每個通過M個三維立方體近似得到，那么和PR也可以用M個三維立方體表示。所以，nm所有的三維立方體需要代表所有的PR。因此可以證明三維立方體之間的交點O需要產生所有的PR。因此，使用定理2可以防止在高維空間存儲區(qū)域的需要，并可以避免高容量和繁瑣計算的要求如在定理1所證明的。
圖8 CR構建所用的序列
以下給出了定理2的證明 。它由兩部分組成：
該引理中所使用的證明如附錄所示。
3.1定理2證明
（1） 為了證明：
（i） 由p
因為p
和 有相同的坐標在和
用同樣的方法，我們可以確定一點以使和具有相同的坐標在和。 使用這種方法，我們也可以確定一系列點，k[1,i -1],以使，那么和
具有相同的坐標在軸線和。
（ii）
（b）由PROJ()構建
用類似的方法，我們可以確定另一系列點，k[i+1,],以使，那么和
具有相同的坐標在軸線和。
由（i）及（ii）知，我們確定了一系列的點，k[1,],以使，在連續(xù)的任何兩個相鄰的點具有相同的坐標在他們的共同軸線。
對于由一系列冷卻水道{}構成的冷卻系統(tǒng)，在兩相鄰水道和的C空間和總是存在著一些共同的軸線由于它們之間的空間聯系。此外，如果在和的C空間有一個公共軸，也必須存在于和間所有水道的C 空間。所以，由上述方法構建的一系列點，k[1,]將為的每個軸提供唯一的坐標。令為由坐標構建的點。很明顯：
（c）由PROJ()構建
用類似的方法，可以得到：
初始設計
給定一個為冷卻系統(tǒng)指定一系列水道和他們理想幾何尺寸的初步設計，第一步是為每個水道建構一個。然后，每個水道的可以通過應用定理2的組合操作得到。為冷卻系統(tǒng)產生初始設計的一個方法是，是要從中選出一套坐標。為了簡化解釋，假設每個水道詞擁有自由度和，而和相鄰的水道有著相同的坐標。為了生成一個設計，在的點（，）必須被選擇。然后，點被選擇為了讓（，）在中。此選擇
4．候選設計產生
由于冷卻系統(tǒng)初始設計對水道系列和它們的理想幾何結構進行了具體化，第一步要做的是為每個水道建立FRi，然后通過將復合應用應用到定理2中得到每個水道的PRi。一個產生冷卻系統(tǒng)候選設計的方法是從如后PRi系列中選出坐標系。為簡化闡述，假設每個水道C的自由度為和，被鄰近水道共用。為得到一個設計，選擇了PR1中的一個點（X1，X2），然后，選擇一個X3使（X3，X2）在PR2內。這個選擇過程在下一個水道PR坐標中重復，直到確定所有的自由度時停止。此方法的一個重要的特點是在一個步進中無論坐標值如何選取，后續(xù)步驟中總存在一個下一坐標可選有效值。
5．應用源運算法則的自動化設計過程
為測試C-空間方法在支持自動化布局設計過程時的可行性，在C-空間建立項目中插入與應用了一個簡單源運算法則（GA）[25]。在實施GA時候用到了一個簡單的染色體結構，它由一系列nF真值[g1g2…gnF]組成，其中gi的真值在0～1之間，nF冷卻系統(tǒng)的自由度。為得帶一個形狀設計，用到了前面部分提到的方法和應用g作為一個百分比值來選擇坐標。例如，中坐標的有效值的在區(qū)間和，其中，就得的選取值為，（也就是在第一區(qū)間）否則就設置為（也就是在第二區(qū)間內）一個單點交叉操作，一個轉化操作和轉跡線輪選擇方法[26]被用于GA過程中。之前研究中提到的模糊記值方法[13,14]對相對于機構的候選設計的適合性進行快速評定。必須注意的是在在GA過程開始之前，建立起每個水道的，經過一次建立得到，因此不會影響GA演變過程的計算時間。下一部分給出了一些由GA過程得到的布局設計實例。
6.實例研究
圖9（a）顯示出了實例部分的2個觀察結果。圖9（b）顯示了當只考慮系統(tǒng)冷卻效果時，具體給出每個冷卻水道的理想位置的冷卻系統(tǒng)的初始設計。（為了便于表征，只給出了行腔部分冷卻系統(tǒng)的圖示）。在理想位置上，水稻C5和模具組成發(fā)生干涉現象。用提出的方法進行布局設計，自動化，就建立起了每個水道的。例如，圖9（g）和（h）顯示了水道的和。值得注意的是是通過將和其他復合得到，因此是亞設置，如數據明顯指出。在所有的計算完成之后，GA過程開始調用，圖9（j）顯示了演變過程中得到的初始設計最大適合值。最大適合值在產生值接近600時開始收斂。如圖9（c）所示，冷卻系統(tǒng)由15個自由度組成，他們的值在表1中列出。叫“初始設計”的行顯示初始設計的值。下一行顯示設計1的值，它是GA過程在1000生產后得到最好的設計。如表中明顯之處，涉及1通過減小1.21mm得到。圖9（d）顯示設計1，這個調整對應于沿著Z方向減小以消除和之間的干涉。這個調整對水道和到也適用。表1也顯示設計1中所有其它的值都保持在規(guī)定初始至0.2mm誤差以內。
為更好的表征C-空間方法，模成分沿著Y方向移動同相截，如圖9（e）所示。這個新障礙增加了自由區(qū)域的約束以至于方向體移動性受到很大限制。這個效應在更新中顯示出來，如圖9（i）所示，其中只有的上部分在圖9（h）中顯示出來。以所有水道新的再次調用GA過程以獲得設計2。適合值在圖9（k）中顯示。值得注意的是最佳適合值比設計1中獲得的要小。這很合理，因為約束的增加，偏移量與真實值的差距很大。又GA過程獲得的值在表1的最后一行中顯示出來。如表中所示，調整5mm以清除同的干涉。這同沿Z方向移動水道到相對應。現在和截面不能通過調整使其光亮。而調整和，相應地將沿-Y方向移動2.94mm，沿-X方向移動6.22mm如圖9（e）所示。為保持連結性，和也作相應的調整。設計2顯示，當一個水道的約束數（如）變化時，提出C-空間方法很好的將這個效應傳播到其它水道（如和）中去，以至于所有這些水道的可行設計組得到相應的調整。
C-模型冷卻分析用于分析設計得到的布局圖。從圖10（a）到（d）可見，兩個設計中，冷卻時間為20s時，最高模-壁溫度在以上。它們的最大溫度偏差小于，這表明兩種情形下，提出的方法能夠得到滿意的設計布局。從圖10（c）和（d）觀察得到，同設計2比較，涉及1中工件大部分沒有產生變色。這表明在設計1中很多工件的溫度偏差在以內。這是因為在設計2中，隨著空腔中的水道向模壓移動了5mm，冷卻效果變得不均勻，這表示當施加很多約束時，保持初始理想冷卻效果很困難。它也解釋了為什么設計2的最大適切性稍微小于設計1的最大適切性。
（a）示例零件
（b）冷卻系統(tǒng)的初始設計
（a）冷卻系統(tǒng)的15個自由度
（b）設計1
（b）移動和相交
（b） 設計2
圖9 分層設計
表1.冷卻系統(tǒng)的自由度
7．討論與結論
在執(zhí)行C-空間方法中，一個單元列舉方案被用于簡化這個方法的執(zhí)行，在目前的執(zhí)行中，C-空間一維分辨率為0.15mm。對冷卻系統(tǒng)設這個分辨率是足夠的，因為對一個好的調整，如0.01mm，冷卻系統(tǒng)的功能變化是很難發(fā)現的，然而，該研究中所發(fā)展的理論與方法并不局限于相應的表現項目。實際上，基于理論2的方法，所有C-空間計算和存儲都在3維空間內完成，因此標準校核模型技巧可以應用。
該研究的一個主要貢獻是發(fā)展了一個特別的支持布局設計的C-空間方法。應用這個C-空間方法，所有的可行布局設計很好的被顯示出來。同時我們得出了該方法不僅可以用于冷卻系統(tǒng)設計的優(yōu)化設計支持，還可以用于生產制造。該方法克服特殊啟發(fā)產生布局設計的局限，如前面的方法[13，14]。這個C-空間方法能夠獨立作為一個系統(tǒng)去支持互動布局設計。它使設計者在不用檢查冷卻系統(tǒng)截面和其它模型插件能夠開發(fā)出設計方法。
該研究主要目的集中在冷卻系統(tǒng)設計的幾何形狀構成方面。在設計冷卻系統(tǒng)時，其它參數如冷流率，冷卻時間，包裝時間，擠出時間都需要被考慮進來。一個可行的方法就是將這些所有參數進行考慮插入配備更復雜的GA的C-空間方法，如[8]報道所示。需要對該方法進一步研究，其他研究方向包括C-空間方法處理冷卻系統(tǒng)拓撲變化和具體設計約束，如初始設計選擇水道之間的變化幾何形狀和拓撲約束扽。
鳴謝
該文章中所完成的工作得到香港城市大學戰(zhàn)略研究部（項目No.7001775）的大力支持。
（a）設計1的模具溫度 （b）設計2的模具溫度
（c）設計1零件的不同溫度 （d）設計2零件的不同溫度
圖10。用CAE模具冷卻分析系統(tǒng)比較這兩個布圖設計
引理2
在中給定兩個區(qū)間和。如果，那么
引理3
在中給定，那么
引理4
在中給定任意兩個和。如果，則它們對的投影滿足：
引理5
給定兩個區(qū)間和滿足。則在中的區(qū)間滿足：
引理6
給定三個區(qū)間、和滿足和。則在中的區(qū)間滿足：
引理7
引理8
給定兩個區(qū)間和滿足，其中點在中，點在中，如果
那么：
定理1
參考文獻：