2019年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第5章 分式與分式方程 4 分式方程教案 (新版)北師大版.doc
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4 分式方程 第1課時 分式方程的概念及列分式方程 教學(xué)目標 一、基本目標 1.理解分式方程的概念. 2.能夠根據(jù)實際問題建立分式方程的數(shù)學(xué)模型,并能歸納出分式方程的描述性定義. 3.經(jīng)歷“實際問題——建立分式方程模型”的過程,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識. 二、重難點目標 【教學(xué)重點】 分式方程的概念. 【教學(xué)難點】 根據(jù)題意列分式方程. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P125的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 2.下列方程中,哪些是分式方程?哪些是整式方程? ①=;②+=7;③=;④=-1;⑤=;⑥2x+=10;⑦x-=2;⑧+3x=1. 解:①⑤⑥是整式方程,②③④⑦⑧是分式方程. 3.甲、乙兩人加工同一種服裝,乙每天比甲多加工一件,乙加工服裝24件所用的時間與甲加工服裝20件所用的時間相同.如何用方程來描述其中數(shù)量間的相等關(guān)系? 解:設(shè)甲每天加工服裝x件,可得方程=. 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】下列關(guān)于x的方程中,是分式方程的是( ) A.= B.=+3 C.+1= D.=1- 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)如何判斷一個方程是否是分式方程? 【分析】A、 B中方程分母不含未知數(shù),故不是分式方程;C中方程分母不含表示未知數(shù)的字母,π是常數(shù);D中方程分母含未知數(shù)x,故是分式方程. 【答案】D 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)判斷一個方程是否為分式方程,主要是看分母中是否含有未知數(shù).注意:僅僅是字母不行,必須是表示未知數(shù)的字母. 【例2】某工廠生產(chǎn)一種零件,計劃在20天內(nèi)完成,若每天多生產(chǎn)4個,則15天完成且還多生產(chǎn)10個.設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x個,根據(jù)題意可列分式方程為( ) A.=15 B.=15 C.=15 D.=15 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)題中存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系? 【分析】原計劃每天生產(chǎn)x個,則實際每天生產(chǎn)(x+4)個,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:(原計劃20天生產(chǎn)的零件個數(shù)+10個)實際每天生產(chǎn)的零件個數(shù)=15天,根據(jù)等量關(guān)系列出方程為=15. 【答案】A 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出方程. 活動2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1.下列方程是分式方程的是( A ) A.= B.=-2 C.2x2+x-3=0 D.2x-5= 2.運動會上,八(3)班拉拉隊買了兩種價格的雪糕,其中甲種雪糕共花費40元,乙種雪糕共花費30元,甲種雪糕比乙種雪糕多20根,乙種雪糕的價格是甲種雪糕價格的1.5倍,若設(shè)甲種雪糕的價格為x元,根據(jù)題意可列方程為( B ) A.-=20 B.-=20 C.-=20 D.-=20 3.一個兩位數(shù)的個位數(shù)字是4,如果把個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),那么所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的比值是.如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系? 解:設(shè)對調(diào)前這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x,可得方程=. 4.某校學(xué)生到離學(xué)校15 km處植樹,部分學(xué)生騎自行車出發(fā)40 min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),汽車速度是自行車速度的3倍,全體學(xué)生同時到達.如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系? 解:設(shè)自行車的速度為x km/h,則汽車的速度為3x km/h,可得方程=+. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達標 (學(xué)生總結(jié),老師點評) 1.分式方程的概念 2.列分式方程 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)! 第2課時 分式方程的解法 教學(xué)目標 一、基本目標 1.掌握解分式方程的基本方法和步驟. 2.經(jīng)歷和體會解分式方程的基本步驟,使學(xué)生進一步了解“轉(zhuǎn)化”思想,能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,從而找到解分式方程的方法. 二、重難點目標 【教學(xué)重點】 解分式方程的基本方法和步驟. 【教學(xué)難點】 檢驗分式方程的解. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P126~P127的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.使分式方程分母為零的根,稱為分式方程的增根.產(chǎn)生增根的原因是在方程兩邊同乘了一個使分母為零的整式. 2.解分式方程的一般步驟是:(1)去分母;(2)解整式方程;(3)驗根;(4)小結(jié). 3.解方程:=. 解:x=9. 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】解方程: (1)=; (2)=-3. 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)將分式方程化為一元一次方程進行求解. 【解答】(1)方程兩邊同乘x(x-2), 得5(x-2)=7x,解得x=-5. 檢驗:把x=-5代入最簡公分母, 得x(x-2)≠0,∴x=-5是原方程的解. (2)方程兩邊同乘(x-2), 得1=x-1-3(x-2),解得x=2. 檢驗:把x=2代入最簡公分母, 得x-2=0,∴原方程無解. 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)解分式方程的步驟:(1)去分母;(2)解整式方程;(3)檢驗;(4)寫出方程的解.注意檢驗有兩種方法,一是代入原方程,二是代入去分母時乘的最簡公分母,一般是代入最簡公分母檢驗. 活動2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1.若方程=+有增根,則增根為( A ) A.0 B.2 C.0或2 D.1 2.如果關(guān)于x的分式方程=1-有增根,則m的值為( B ) A.-3 B.-2 C.-1 D.3 3.關(guān)于x的方程=1的解是正數(shù),則a的取值范圍是 a<-1且a≠-2. 4.解方程: (1)=; (2)=+1; (3)=; (4)-=0. 解:(1)x=1. (2)x=-. (3)原方程無解. (4)x=. 活動3 拓展延伸(學(xué)生對學(xué)) 【例2】若關(guān)于x的分式方程+=無解,求m的值. 【互動探索】先把分式方程化為整式方程,再分兩種情況討論求解:一元一次方程無解與分式方程有增根. 【解答】方程兩邊都乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2),即(m-1)x=-10. ①當(dāng)m-1=0時,此方程無解,此時m=1. ②方程有增根,則x=2或x=-2. 當(dāng)x=2時,代入(m-1)x=-10,得(m-1)2=-10,m=-4. 當(dāng)x=-2時,代入(m-1)x=-10,得(m-1)(-2)=-10,解得m=6. ∴m的值是1,-4或6. 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的.分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數(shù),分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數(shù),而且還包括分式方程化為整式方程后,使整式方程無解的數(shù). 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達標 (學(xué)生總結(jié),老師點評) 1.分式方程的解法 方程兩邊同乘最簡公分母,化為整式方程求解,再檢驗. 2.分式方程的增根 (1)解分式方程會產(chǎn)生增根的原因; (2)分式方程檢驗的方法. 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)! 第3課時 分式方程的應(yīng)用 教學(xué)目標 一、基本目標 1.通過創(chuàng)設(shè)日常生活中的情境,經(jīng)歷探索分式方程應(yīng)用的過程,會檢驗根的合理性. 2.經(jīng)歷“實際問題情境——建立分式方程模型——解分式方程——檢驗解的合理性”的過程,進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 二、重難點目標 【教學(xué)重點】 分式方程的應(yīng)用. 【教學(xué)難點】 在實際問題中建立分式方程的模型. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P129的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1列分式方程解應(yīng)用題的步驟: (1)審題; (2)設(shè)未知數(shù); (3)找出相等關(guān)系,列出分式方程; (4)解這個分式方程; (5)檢驗,看方程的解是否滿足方程并符合題意; (6)寫出答案. 2.某單位向一所希望小學(xué)贈送1080件文具,現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝,已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具,單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用12個.設(shè)B型包裝箱每個可以裝x件文具,根據(jù)題意列方程為?。剑?2 . 3.某市政府打算把一塊荒地建成公園,動用了一臺甲型挖土機,4天挖完了這塊地的一半.后又加一臺乙型挖土機,兩臺挖土機一起挖,結(jié)果1天就挖完了這塊地的另一半.乙型挖土機單獨挖這塊地需要幾天? 甲型挖土機4天完成了一半,那么甲型挖土機每天挖4=,如果設(shè)乙型挖土機單獨挖這塊地需要x天,那么一天挖;兩臺挖土機一天共挖+;兩臺一天完成另一半.所以列方程為+=;解得x=,即乙單獨挖需天. 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】抗洪搶險時,需要在一定時間內(nèi)筑起攔洪大壩,甲隊單獨做正好按期完成,而乙隊由于人少,單獨做則超期3個小時才能完成.現(xiàn)甲、乙兩隊合作2個小時后,甲隊又有新任務(wù),余下的由乙隊單獨做,剛好按期完成.求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時? 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)設(shè)甲隊單獨完成需要x小時,則乙隊需要(x+3)小時,根據(jù)等量關(guān)系“甲工作效率2+乙工作效率甲隊單獨完成需要時間=1”列方程. 【解答】設(shè)甲隊單獨完成需要x小時,則乙隊需要(x+3)小時. 由題意,得+=1.解得x=6. 經(jīng)檢驗x=6是方程的解.∴x+3=9. 故甲單獨完成全部工程需6小時,乙單獨完成全部工程需9小時. 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)解決工程問題的思路方法:各部分工作量之和等于1,常從工作量和工作時間上考慮相等關(guān)系. 【例2】從廣州到某市,可乘坐普通列車或高鐵,已知高鐵的行駛路程是400千米,普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍. (1)求普通列車的行駛路程; (2)若高鐵的平均速度(千米/時)是普通列車平均速度(千米/時)的2.5倍,且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時,求高鐵的平均速度. 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(1)根據(jù)高鐵的行駛路程是400千米和普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍,兩數(shù)相乘即可;(2)設(shè)普通列車的平均速度是x千米/時,根據(jù)乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時,列出分式方程,然后求解即可. 【解答】(1)根據(jù)題意,得4001.3=520(千米). 故普通列車的行駛路程是520千米. (2)設(shè)普通列車的平均速度是x千米/時,則高鐵的平均速度是2.5x千米/時. 根據(jù)題意,得-=3,解得x=120. 經(jīng)檢驗,x=120是原方程的解. 則高鐵的平均速度是1202.5=300(千米/時). 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)解決問題的關(guān)鍵是分析題意,找到關(guān)鍵描述語和合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵. 活動2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1.小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家,她去時經(jīng)過環(huán)灣高速公路,全程約84千米,返回時經(jīng)過跨海大橋,全程約45千米.小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的1.2倍,所用時間卻比返回時多20分鐘.求小麗所乘汽車返回時的平均速度. 解:設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時. 根據(jù)題意,得-=. 解得x=75, 經(jīng)檢驗,x=75是原方程的解. 故小麗所乘汽車返回時的平均速度是75千米/時. 2.某廠原計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺,由于改進了技術(shù),每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%,結(jié)果提前兩天完成任務(wù).求改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺. 解:設(shè)改進技術(shù)前每天生產(chǎn)x臺. 根據(jù)題意,得=+2. 解得x=10. 經(jīng)檢驗,x=10是原方程的解,則1.5x=15. 所以改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備15臺. 3.一列火車從車站開出,預(yù)計行程為450千米,當(dāng)它出發(fā)3小時后,因特殊情況而多停一站,因此耽誤30分鐘,后來把速度提高了20%,結(jié)果準時到達目的地,求這列火車原來的速度. 解:設(shè)這列火車原來的速度為x千米/時. 根據(jù)題意,得=3++. 解得x=75. 經(jīng)檢驗,x=75是原方程的解. 所以這列火車原來的速度為75千米/時. 4.甲、乙兩人準備整理一批新到的實驗器材,若甲單獨整理需要40分鐘完工,若甲、乙共同整理20分鐘后,乙需要再單獨整理20分鐘才能完工. (1)乙單獨整理需要多少分鐘完工? (2)若乙因工作需要,他的整理時間不超過30分鐘,則甲至少整理多少分鐘才能完工? 解:(1)設(shè)乙單獨整理需要x分鐘完工. 根據(jù)題意,得+=1. 解得x=80. 經(jīng)檢驗,x=80是原分式方程的解. 故乙單獨整理需要80分鐘完工. (2)設(shè)甲至少整理y分鐘才能完工. 根據(jù)題意,得+≥1. 解得y≥25. 故甲至少整理25分鐘才能完工. 活動3 拓展延伸(學(xué)生對學(xué)) 【例3】佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售,第一次用1200元購進若干千克,并以每千克8元出售,很快售完.由于水果暢銷,第二次購買時,每千克的進價比第一次提高了10%,用1452元所購買的數(shù)量比第一次多20千克,以每千克9元售出100千克后,因出現(xiàn)高溫天氣,水果不易保鮮,為減少損失,便降價50%售完剩余的水果. (1)第一次水果的進價是每千克多少元? (2)該果品店在這兩次銷售中,總體上是盈利還是虧損?盈利或虧損了多少元? 【互動探索】(1)根據(jù)第二次購買水果數(shù)多20千克,可列出方程,解方程即可得出答案;(2)先計算兩次購買水果的數(shù)量,賺錢情況:銷售的水果量(實際售價-當(dāng)次進價),兩次合計,就可以求得是盈利還是虧損了. 【解答】(1)設(shè)第一次購買的單價為x元,則第二次的單價為1.1x元. 根據(jù)題意,得-=20. 解得x=6. 經(jīng)檢驗,x=6是原方程的解. 故第一次水果的進價為每千克6元. (2)第一次購買水果12006=200(千克). 第二次購買水果200+20=220(千克). 第一次賺錢為200(8-6)=400(元), 第二次賺錢為100(9-6.6)+120(90.5-6.6)=-12(元). 所以兩次共盈利400-12=388(元). 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點評)本題具有一定的綜合性,應(yīng)該把問題分解成購買水果和賣水果兩部分分別考慮. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達標 (學(xué)生總結(jié),老師點評) 列分式方程解應(yīng)用題的步驟—— 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)!- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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