中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)37 銳角三角函數(shù)和解直角三角形（含解析）.doc

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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)37銳角三角函數(shù)和解直角三角形一選擇題（共15小題）1（xx柳州）如圖，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，則sinB=（）ABCD【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出AB長，再計(jì)算sinB即可【解答】解：C=90，BC=4，AC=3，AB=5，sinB=，故選：A2（xx孝感）如圖，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，則sinA等于（）ABCD【分析】先根據(jù)勾股定理求得BC=6，再由正弦函數(shù)的定義求解可得【解答】解：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC=6，sinA=，故選：A3（xx大慶）2cos60=（）A1BCD【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而計(jì)算得出答案【解答】解：2cos60=2=1故選：A4（xx天津）cos30的值等于（）ABC1D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接解答即可【解答】解：cos30=故選：B5（xx貴陽）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1，則tanBAC的值為（）AB1CD【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到ABC為等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：連接BC，由網(wǎng)格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，ABC為等腰直角三角形，BAC=45，則tanBAC=1，故選：B6（xx金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得ABC=，ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為（）ABCD【分析】在兩個(gè)直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題；【解答】解：在RtABC中，AB=，在RtACD中，AD=，AB：AD=： =，故選：B7（xx宜昌）如圖，要測量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測得PC=100米，PCA=35，則小河寬PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河寬PA=PCtanPCA=100tan35米故選：C8（xx威海）如圖，將一個(gè)小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4xx2刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球水平距O點(diǎn)水平距離為3mB小球距O點(diǎn)水平距離超過4米呈下降趨勢C小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米D斜坡的坡度為1：2【分析】求出當(dāng)y=7.5時(shí)，x的值，判定A；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B；求出拋物線與直線的交點(diǎn)，判斷C，根據(jù)直線解析式和坡度的定義判斷D【解答】解：當(dāng)y=7.5時(shí)，7.5=4xx2，整理得x28x+15=0，解得，x1=3，x2=5，當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球水平距O點(diǎn)水平距離為3m或5側(cè)面cm，A錯(cuò)誤，符合題意；y=4xx2=（x4）2+8，則拋物線的對(duì)稱軸為x=4，當(dāng)x4時(shí)，y隨x的增大而減小，即小球距O點(diǎn)水平距離超過4米呈下降趨勢，B正確，不符合題意；，解得，則小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米，C正確，不符合題意；斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫，斜坡的坡度為1：2，D正確，不符合題意；故選：A9（xx淄博）一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米在用科學(xué)計(jì)算器求坡角的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是（）ABCD【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.15，然后利用計(jì)算器求銳角【解答】解：sinA=0.15，所以用科學(xué)計(jì)算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時(shí)，按鍵順序?yàn)楣蔬x：A10（xx重慶）如圖，旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角AED=58，升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離DE=7米，升旗臺(tái)坡面CD的坡度i=1：0.75，坡長CD=2米，若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米，則旗桿AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米【分析】如圖延長AB交ED的延長線于M，作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCDJ中求出CJ、DJ，再根據(jù)，tanAEM=構(gòu)建方程即可解決問題；【解答】解：如圖延長AB交ED的延長線于M，作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCJD中， =，設(shè)CJ=4k，DJ=3k，則有9k2+16k2=4，k=，BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在RtAEM中，tanAEM=，1.6=，解得AB13.1（米），故選：B11（xx重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=1：0.75、坡長為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）在E處測得建筑物頂端A的仰角為24，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米【分析】作BMED交ED的延長線于M，CNDM于N首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根據(jù)tan24=，構(gòu)建方程即可解決問題；【解答】解：作BMED交ED的延長線于M，CNDM于N在RtCDN中，=，設(shè)CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四邊形BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在RtAEM中，tan24=，0.45=，AB=21.7（米），故選：A12（xx長春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為，則A、B兩地之間的距離為（）A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，根據(jù)tan=，即可解決問題；【解答】解：在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，tan=，AB=故選：D13（xx香坊區(qū)）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30，看這棟樓底部C的俯角為60，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）A160米B（60+160）C160米D360米【分析】首先過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得BAD=30，CAD=60，AD=120m，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案【解答】解：過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，則BAD=30，CAD=60，AD=120m，在RtABD中，BD=ADtan30=120=40（m），在RtACD中，CD=ADtan60=120=120（m），BC=BD+CD=160（m）故選：C14（xx綿陽）一艘在南北航線上的測量船，于A點(diǎn)處測得海島B在點(diǎn)A的南偏東30方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測得海島B在C點(diǎn)的北偏東15方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：1.732，1.414）A4.64海里B5.49海里C6.12海里D6.21海里【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形知BAC=30、ACB=15，作BDAC于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊，在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15，設(shè)BD=x，則AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，據(jù)此得出AC=2x+2x，根據(jù)題意列出方程，求解可得【解答】解：如圖所示，由題意知，BAC=30、ACB=15，作BDAC于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊，在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15，則BED=30，BE=CE，設(shè)BD=x，則AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，AC=AD+DE+CE=2x+2x，AC=30，2x+2x=30，解得：x=5.49，故選：B15（xx蘇州）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時(shí)的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù)，當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至A處時(shí)，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，測得島嶼P在其北偏西30方向，保持航向不變又航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)海監(jiān)船與島嶼P之間的距離（即PC的長）為（）A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先證明PB=BC，推出C=30，可得PC=2PA，求出PA即可解決問題；【解答】解：在RtPAB中，APB=30，PB=2AB，由題意BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60，C=30，PC=2PA，PA=ABtan60，PC=220=40（海里），故選：D二填空題（共17小題）16（xx北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，BACDAE（填“”，“=”或“”）【分析】作輔助線，構(gòu)建三角形及高線NP，先利用面積法求高線PN=，再分別求BAC、DAE的正弦，根據(jù)正弦值隨著角度的增大而增大，作判斷【解答】解：連接NH，BC，過N作NPAD于P，SANH=2211=AHNP，=PN，PN=，RtANP中，sinNAP=0.6，RtABC中，sinBAC=0.6，正弦值隨著角度的增大而增大，BACDAE，故答案為：17（xx濱州）在ABC中，C=90，若tanA=，則sinB=【分析】直接根據(jù)題意表示出三角形的各邊，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案【解答】解：如圖所示：C=90，tanA=，設(shè)BC=x，則AC=2x，故AB=x，則sinB=故答案為：18（xx泰安）如圖，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），過D作DEBC，垂足為E，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)CD=x，DEF的面積為S，則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=x2【分析】可在直角三角形CED中，根據(jù)DE、CE的長，求出BED的面積即可解決問題【解答】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10x，SBED=（10x）x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，故答案為S=x219（xx無錫）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，則ABC的面積等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延長線）于點(diǎn)D，分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況，先在RtABD中求得AD、BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的長，繼而就兩種情況分別求出BC的長，根據(jù)三角形的面積公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延長線）于點(diǎn)D，如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，則BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)，由知，BD=5，CD=，則BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10綜上，ABC的面積是15或10，故答案為15或1020（xx香坊區(qū)）如圖，在ABC中，AB=AC，tanACB=2，D在ABC內(nèi)部，且AD=CD，ADC=90，連接BD，若BCD的面積為10，則AD的長為5【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和高線DH，設(shè)CM=a，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)表示AC和AM的長，根據(jù)三角形面積表示DH的長，證明ADGCDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根據(jù)AM=AG+MG，列方程可得結(jié)論【解答】解：過D作DHBC于H，過A作AMBC于M，過D作DGAM于G，設(shè)CM=a，AB=AC，BC=2CM=2a，tanACB=2，=2，AM=2a，由勾股定理得：AC=a，SBDC=BCDH=10，=10，DH=，DHM=HMG=MGD=90，四邊形DHMG為矩形，HDG=90=HDC+CDG，DG=HM，DH=MG，ADC=90=ADG+CDG，ADG=CDH，在ADG和CDH中，ADGCDH（AAS），DG=DH=MG=，AG=CH=a+，AM=AG+MG，即2a=a+，a2=20，在RtADC中，AD2+CD2=AC2，AD=CD，2AD2=5a2=100，AD=5或5（舍），故答案為：521（xx眉山）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tanAOD=2【分析】首先連接BE，由題意易得BF=CF，ACOBKO，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在RtOBF中，即可求得tanBOF的值，繼而求得答案【解答】解：如圖，連接BE，四邊形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根據(jù)題意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案為：222（xx德州）如圖，在44的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則BAC的正弦值是【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論【解答】解：AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2，ABC為直角三角形，且ACB=90，則sinBAC=，故答案為：23（xx齊齊哈爾）四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，則線段CD=17【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根據(jù)正切的定義分別求出AH、BH，根據(jù)勾股定理求出HD，得到BD，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，設(shè)AH=3x，則BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，則AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案為：1724（xx廣州）如圖，旗桿高AB=8m，某一時(shí)刻，旗桿影子長BC=16m，則tanC=【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可【解答】解：旗桿高AB=8m，旗桿影子長BC=16m，tanC=，故答案為：25（xx棗莊）如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31，AB的長為12米，則大廳兩層之間的高度為6.2米（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長，從而可以解答本題【解答】解：在RtABC中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.5156.2（米），答：大廳兩層之間的距離BC的長約為6.2米故答案為：6.226（xx廣西）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是40m（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=AD，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案【解答】解：由題意可得：BDA=45，則AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案為：4027（xx寧波）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45和30若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點(diǎn)H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為1200（1）米（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】在RtACH和RtHCB中，利用銳角三角函數(shù)，用CH表示出AH、BH的長，然后計(jì)算出AB的長【解答】解：由于CDHB，CAH=ACD=45，B=BCD=30在RtACH中，CAH=45AH=CH=1200米，在RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HBHA=12001200=1200（1）米故答案為：1200（1）28（xx黃石）如圖，無人機(jī)在空中C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60、45，如果無人機(jī)距地面高度CD為米，點(diǎn)A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是100（1+）米（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】如圖，利用平行線的性質(zhì)得A=60，B=45，在RtACD中利用正切定義可計(jì)算出AD=100，在RtBCD中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100，然后計(jì)算AD+BD即可【解答】解：如圖，無人機(jī)在空中C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60、45，A=60，B=45，在RtACD中，tanA=，AD=100，在RtBCD中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B兩點(diǎn)間的距離為100（1+）米故答案為100（1+）29（xx咸寧）如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45，測得底部C的俯角為60，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為300m（結(jié)果保留整數(shù)，1.73）【分析】在RtABD中，根據(jù)正切函數(shù)求得BD=ADtanBAD，在RtACD中，求得CD=ADtanCAD，再根據(jù)BC=BD+CD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可【解答】解：如圖，在RtABD中，AD=90，BAD=45，BD=AD=110（m），在RtACD中，CAD=60，CD=ADtan60=110=190（m），BC=BD+CD=110+190=300（m）答：該建筑物的高度BC約為300米故答案為30030（xx天門）我國海域遼闊，漁業(yè)資源豐富如圖，現(xiàn)有漁船B在海島A，C附近捕魚作業(yè)，已知海島C位于海島A的北偏東45方向上在漁船B上測得海島A位于漁船B的北偏西30的方向上，此時(shí)海島C恰好位于漁船B的正北方向18（1+）n mile處，則海島A，C之間的距離為18n mile【分析】作ADBC于D，根據(jù)正弦的定義、正切的定義分別求出BD、CD，根據(jù)題意列式計(jì)算即可【解答】解：作ADBC于D，設(shè)AC=x海里，在RtACD中，AD=ACsinACD=x，則CD=x，在RtABD中，BD=x，則x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之間的距離為18海里故答案為：1831（xx濰坊）如圖，一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測得島礁P在北偏東30方向，同時(shí)測得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60方向?yàn)榱嗽谂_(tái)風(fēng)到來之前用最短時(shí)間到達(dá)M處，漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行小時(shí)即可到達(dá)（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】如圖，過點(diǎn)P作PQAB交AB延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MNAB交AB延長線于點(diǎn)N，通過解直角AQP、直角BPQ求得PQ的長度，即MN的長度，然后通過解直角BMN求得BM的長度，則易得所需時(shí)間【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PQAB交AB延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MNAB交AB延長線于點(diǎn)N，在直角AQP中，PAQ=45，則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，則BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以 =（小時(shí)）故答案是：32（xx濟(jì)寧）如圖，在一筆直的海岸線l上有相距2km的A，B兩個(gè)觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60的方向上，從B站測得船C在北偏東30的方向上，則船C到海岸線l的距離是km【分析】首先由題意可證得：ACB是等腰三角形，即可求得BC的長，然后由在RtCBD中，CD=BCsin60，求得答案【解答】解：過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在RtCBD中，CD=BCsin60=2=（km）故答案為：三解答題（共18小題）33（xx貴陽）如圖，在RtABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：sinA=，sinB=c=，c=根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)在圖的銳角ABC中，探究、之間的關(guān)系，并寫出探究過程【分析】三式相等，理由為：過A作ADBC，BEAC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，兩者相等即可得證【解答】解： =，理由為：過A作ADBC，BEAC，在RtABD中，sinB=，即AD=csinB，在RtADC中，sinC=，即AD=bsinC，csinB=bsinC，即=，同理可得=，則=34（xx上海）如圖，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求邊AC的長；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值【分析】（1）過A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=，AD=5=，則=35（xx自貢）如圖，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求AC和AB的長【分析】如圖作CHAB于H在Rt求出CH、BH，這種RtACH中求出AH、AC即可解決問題；【解答】解：如圖作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+636（xx煙臺(tái)）汽車超速行駛是交通安全的重大隱患，為了有效降低交通事故的發(fā)生，許多道路在事故易發(fā)路段設(shè)置了區(qū)間測速如圖，學(xué)校附近有一條筆直的公路l，其間設(shè)有區(qū)間測速，所有車輛限速40千米/小時(shí)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：在l上確定A，B兩點(diǎn)，并在AB路段進(jìn)行區(qū)間測速在l外取一點(diǎn)P，作PCl，垂足為點(diǎn)C測得PC=30米，APC=71，BPC=35上午9時(shí)測得一汽車從點(diǎn)A到點(diǎn)B用時(shí)6秒，請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明該車是否超速（參考數(shù)據(jù)：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】先求得AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21，據(jù)此得出AB=ACBC=8721=66，從而求得該車通過AB段的車速，比較大小即可得【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87，在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21，則AB=ACBC=8721=66，該汽車的實(shí)際速度為=11m/s，又40km/h11.1m/s，該車沒有超速37（xx紹興）如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接，圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點(diǎn)A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn)B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點(diǎn)F已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm（1）窗扇完全打開，張角CAB=85，求此時(shí)窗扇與窗框的夾角DFB的度數(shù)；（2）窗扇部分打開，張角CAB=60，求此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離（精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：1.732，2.449）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以解答本題；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意可以求得AB的長，從而可以解答本題【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，四邊形ACDE是平行四邊形，ACDE，DFB=CAB，CAB=85，DFB=85；（2）作CGAB于點(diǎn)G，AC=20，CGA=90，CAB=60，CG=，AG=10，BD=40，CD=10，CB=30，BG=，AB=AG+BG=10+1010+102.449=34.4934.5cm，即A、B之間的距離為34.5cm38（xx臨沂）如圖，有一個(gè)三角形的鋼架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m請計(jì)算說明，工人師傅搬運(yùn)此鋼架能否通過一個(gè)直徑為2.1m的圓形門？【分析】過B作BDAC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人師傅搬運(yùn)此鋼架能通過一個(gè)直徑為2.1m的圓形門，理由是：過B作BDAC于D，ABBD，BCBD，ACAB，求出DB長和2.1m比較即可，設(shè)BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD=BD=xm，AC=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即BD=2m2.1m，工人師傅搬運(yùn)此鋼架能通過一個(gè)直徑為2.1m的圓形門39（xx長沙）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行改建如圖，A、B兩地之間有一座山汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛已知BC=80千米，A=45，B=30（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：141，1.73）【分析】（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，進(jìn)而解答即可；（2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進(jìn)而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程【解答】解：（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BCsin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）cos30=，BC=80（千米），BD=BCcos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米40（xx白銀）隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起高鐵大大縮短了時(shí)空距離，改變了人們的出行方式如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從A地到B地的路程已知：CAB=30，CBA=45，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：1.7，1.4）【分析】過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD及AD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論【解答】解：過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，在RtADC和RtBCD中，CAB=30，CBA=45，AC=640，CD=320，AD=320，BD=CD=320，BC=320，AC+BC=640+3201088，AB=AD+BD=320+320864，1088864=224（公里），答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里41（xx隨州）隨州市新水一橋（如圖1）設(shè)計(jì)靈感來源于市花蘭花，采用蝴蝶蘭斜拉橋方案，設(shè)計(jì)長度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車斜拉橋又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔AB和斜拉索（圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC）均在同一水平面內(nèi)，BC在水平橋面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的長；（2）求最長的斜拉索AC的長【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算DE的長；（2）作AHBC于H，如圖2，由于BD=DE=3，則AB=3BD=15，在RtABH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可計(jì)算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到AC的長【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE為等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的長為3m；（2）作AHBC于H，如圖2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最長的斜拉索AC的長為30m42（xx遵義）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時(shí)，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64，吊臂底部A距地面1.5m（計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)sin640.90，cos640.44，tan642.05）（1）當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時(shí)，吊臂AB的長為11.4m（2）如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？（吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計(jì)）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可；（2）過點(diǎn)D作DH地面于H，利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可【解答】解：（1）在RtABC中，BAC=64，AC=5m，AB=（m）；故答案為：11.4；（2）過點(diǎn)D作DH地面于H，交水平線于點(diǎn)E，在RtADE中，AD=20m，DAE=64，EH=1.5m，DE=sin64AD200.918（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m43（xx資陽）如圖是小紅在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的風(fēng)箏線（整個(gè)過程中風(fēng)箏線近似地看作直線）與水平線構(gòu)成30角，線段AA1表示小紅身高1.5米（1）當(dāng)風(fēng)箏的水平距離AC=18米時(shí)，求此時(shí)風(fēng)箏線AD的長度；（2）當(dāng)她從點(diǎn)A跑動(dòng)9米到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離CF=10米，這一過程中風(fēng)箏線的長度保持不變，求風(fēng)箏原來的高度C1D【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；（2）設(shè)AF=x米，則BF=AB+AF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE=18+x，由cosCAD=可建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的長，繼而根據(jù)CD=ADsinCAD求得CD從而得出答案【解答】解：（1）在RtACD中，cosCAD=，AC=18、CAD=30，AD=12（米），答：此時(shí)風(fēng)箏線AD的長度為12米；（2）設(shè)AF=x米，則BF=AB+AF=9+x（米），在RtBEF中，BE=18+x（米），由題意知AD=BE=18+x（米），CF=10，AC=AF+CF=10+x，由cosCAD=可得=，解得：x=3+2，則AD=18+（3+2）=24+3，CD=ADsinCAD=（24+3）=，則C1D=CD+C1C=+=，答：風(fēng)箏原來的高度C1D為米44（xx山西）祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成，全橋共設(shè)13對(duì)直線型斜拉索，造型新穎，是“三晉大地”的一種象征某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間借助該橋斜拉索完成了實(shí)地測量測量結(jié)果如下表項(xiàng)目內(nèi)容課題測量斜拉索頂端到橋面的距離測量示意圖說明：兩側(cè)最長斜拉索AC，BC相交于點(diǎn)C，分別與橋面交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C在同一豎直平面內(nèi)測量數(shù)據(jù)A的度數(shù)B的度數(shù)AB的長度3828234米（1）請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求斜拉索頂端點(diǎn)C到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin380.6，cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）（2）該小組要寫出一份完整的課題活動(dòng)報(bào)告，除上表的項(xiàng)目外，你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目（寫出一個(gè)即可）【分析】（1）過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D解直角三角形求出DC即可；（2）還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為：測量工具，計(jì)算過程，人員分工，指導(dǎo)教師，活動(dòng)感受等【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D設(shè)CD=x米，在RtADC中，ADC=90，A=38，在RtBDC中，BDC=90，B=28，AD+BD=AB=234，解得x=72答：斜拉索頂端點(diǎn)C到AB的距離為72米（2）還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為：測量工具，計(jì)算過程，人員分工，指導(dǎo)教師，活動(dòng)感受等（答案不唯一）45（xx常德）圖1是一商場的推拉門，已知門的寬度AD=2米，且兩扇門的大小相同（即AB=CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉(zhuǎn)37，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin370.6，cos370.8，1.4）【分析】作BEAD于點(diǎn)E，作CFAD于點(diǎn)F，延長FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，則EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度，進(jìn)而可得出EF的長度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的長，此題得解【解答】解：作BEAD于點(diǎn)E，作CFAD于點(diǎn)F，延長FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，如圖所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四邊形BEMC為平行四邊形，BC=EM，CM=BE在RtMEF中，EF=ADAEDF=0.5，F(xiàn)M=CF+CM=1.3，EM=1.4，B與C之間的距離約為1.4米46（xx臺(tái)州）圖1是一輛吊車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，其轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4m當(dāng)起重臂AC長度為9m，張角HAC為118時(shí)，求操作平臺(tái)C離地面的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位：參考數(shù)據(jù)：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】作CEBD于F，AFCE于F，如圖2，易得四邊形AHEF為矩形，則EF=AH=3.4m，HAF=90，再計(jì)算出CAF=28，則在RtACF中利用正弦可計(jì)算出CF，然后計(jì)算CF+EF即可【解答】解：作CEBD于F，AFCE于F，如圖2，易得四邊形AHEF為矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAHHAF=11890=28，在RtACF中，sinCAF=，CF=9sin28=90.47=4.23，CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m），答：操作平臺(tái)C離地面的高度為7.6m47（xx岳陽）圖1是某小區(qū)入口實(shí)景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖已知入口BC寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的O點(diǎn)處裝有一盞路燈，點(diǎn)O與地面BC的距離為3.3米，燈臂OM長為1.2米（燈罩長度忽略不計(jì)），AOM=60（1）求點(diǎn)M到地面的距離；（2）某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進(jìn)入時(shí)，貨車需與護(hù)欄CD保持0.65米的安全距離，此時(shí)，貨車能否安全通過？若能，請通過計(jì)算說明；若不能，請說明理由（參考數(shù)據(jù)：1.73，結(jié)果精確到0.01米）【分析】（1）構(gòu)建直角OMN，求ON的長，相加可得BN的長，即點(diǎn)M到地面的距離；（2）左邊根據(jù)要求留0.65米的安全距離，即取CE=0.65，車寬EH=2.55，計(jì)算高GH的長即可，與3.5作比較，可得結(jié)論【解答】解：（1）如圖，過M作MNAB于N，交BA的延長線于N，RtOMN中，NOM=60，OM=1.2，M=30，ON=OM=0.6，NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即點(diǎn)M到地面的距離是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，HB=3.92.550.65=0.7，過H作GHBC，交OM于G，過O作OPGH于P，GOP=30，tan30=，GP=OP=0.404，GH=3.3+0.404=3.7043.703.5，貨車能安全通過48（xx徐州）如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732【分析】利用銳角三角函數(shù)，在RtCDE中計(jì)算出壩高DE及CE的長，通過矩形ADEF利用等腰直角三角形的邊角關(guān)系，求出BF的長，得到壩底的寬【解答】解：在RtCDE中，sinC=，cosC=DE=sin30DC=14=7（m），CE=cos30DC=14=712.12412.12，四邊形AFED是矩形，EF=AD=6m，AF=DE=7m在RtABF中，B=45DE=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）答：該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m49（xx河南）“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競技項(xiàng)目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答如圖所示，底座上A，B兩點(diǎn)間的距離為90cm低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角CAE為82.4，高杠的支架BD與直線AB的夾角DBF為80.3求高、低杠間的水平距離CH的長（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.850）【分析】利用銳角三角函數(shù)，在RtACE和RtDBF中，分別求出AE、BF的長計(jì)算出EF通過矩形CEFH得到CH的長【解答】解：在RtACE中，tanCAE=，AE=21（cm）在RtDBF中，tanDBF=，BF=40（cm）EF=EA+AB+BF21+90+40=151（cm）CEEF，CHDF，DFEF四邊形CEFH是矩形，CH=EF=151cm答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm50（xx嘉興）如圖1，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為PDE，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，DPE=20，當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí)，點(diǎn)D與C重合（圖2）根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與PE垂直時(shí)，遮陽效果最佳（1）上午10：00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為65（圖3），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（2）中午12：00時(shí)，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）【分析】（1）只要證明CFP1是等腰直角三角形，即可解決問題；（2）解直角三角形求出CP2的長即可解決問題；【解答】解：（1）如圖2中，當(dāng)P位于初始位置時(shí)，CP0=2m，如圖3中，上午10：00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為65，上調(diào)的距離為P0P11=90，CAB=90，ABE=65，AP1E=115，CP1E=65，DP1E=20，CP1F=45，CF=P1F=1m，C=CP1F=45，CP1F是等腰直角三角形，P1C=m，P0P1=CP0P1C=20.6m，即為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)0.6m（2）如圖4中，中午12：00時(shí)，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P調(diào)到P2處P2EAB，CP2E=CAB=90，DP2E=20，CP2F=70，作FGAC于G，則CP2=2CG=1cos700.68m，P1P2=CP1CP2=0.680.7m，即點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0.7m