靜態(tài)場及其邊值問題的解.ppt
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1,第6章靜態(tài)場邊值問題的解,本節(jié)內(nèi)容6.1邊值問題的類型6.2唯一性定理,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程,,,,,2,6.1邊值問題的類型,已知場域邊界面S上的位函數(shù)值，即,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,已知場域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,,,,,3,自然邊界條件（無界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如,,,,,4,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,,,,,5,在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有唯一值。,6.2唯一性定理,唯一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的條件,為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),唯一性定理的表述,,,,,6,唯一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不唯一，則有兩個位函數(shù)和在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S上有,令，則在場域V內(nèi),且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件。,或,或,,,,,7,由格林第一恒等式,可得到,,,,對于第一類邊界條件：,,,,,對于第二類邊界條件：若和取同一點Q為參考點，則,對于第三類邊界條件：,,,,,,,8,本節(jié)內(nèi)容6.3.1鏡像法的基本原理6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像6.3.3點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像6.3.4線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像6.3.5導(dǎo)體球面的鏡像6.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像,6.3鏡像法,,,,,9,,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,1.問題的提出,幾個實例,6.3.1鏡像法的基本原理,,,,,接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,10,接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。,,,q,非均勻感應(yīng)電荷,,q′,等效電荷,,,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？,,,,,11,2.鏡像法的原理,用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將邊界面移去，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,,,,,12,3.鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的唯一性定理,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)唯一性定理，只要找出的解答滿足在同一給定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是唯一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。,13,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”。,4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點,5.確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。,,,,,14,1.點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,,滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z=0時，,,,,,15,上半空間(z≥0）的電位函數(shù),導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,,,,,16,2.線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),當(dāng)z=0時，,,,,,,17,例6-7一水平架設(shè)的雙線傳輸線，距地面的高度為h，兩線間的距離為d，導(dǎo)線的半徑為a，如圖所示。求雙線傳輸線單位長度的電容。設(shè)d>>a,h>>a。,解：把地面作為無限大導(dǎo)體平面，電位為0，因為a<<(d,h)，所以可近似把及看作是分別處在傳輸線軸線上，采用鏡像法求解。鏡像電荷的分布如圖所示。地面上部空間任一點P的電位就等于這四個線電荷所產(chǎn)生的電位之和，即,導(dǎo)線1的電位,18,19,20,3.點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。,顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。,對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2),對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2),只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。,電位函數(shù),,,,,21,例6.3.1一個點電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？,解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠時電場力所做的功。,,,由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷替代。當(dāng)電荷q移至x時，像電荷應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場強度,,,,,22,6.3.3點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點：在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，距分界平面為h，求空間各點的電位。,分析方法：計算電介質(zhì)1中的電位時，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,,,,,23,介質(zhì)1中的電位為,計算電介質(zhì)2中的電位時，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為,,,,,24,可得到,說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件,,,,,25,特點：在直線電流I產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。,問題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。,分析方法：在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,6.3.4線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像,,,,,26,因為電流沿y軸方向流動，所以矢量磁位只有y分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點的矢量磁位分別為,在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。,,,,,27,相應(yīng)的磁場可由求得。,,可得到,故,利用矢量磁位滿足的邊界條件,,,,,28,6.3.5導(dǎo)體球面的鏡像,1.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點電荷q與球心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定和q′。,問題：,,,,,29,令r＝a，由球面上電位為零，即?＝0，得,此式應(yīng)在整個球面上都成立。,,,,,為了確定和，可在球面上取過的直徑的兩端點，對于這兩端點的電位式為,30,由以上兩方程解得,31,可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,,,,,32,點電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，點電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d|q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑b無關(guān)（為什么？）,,,,,與點荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到,33,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為,可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,,,,,34,2.點電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時的特點：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；,球面上既有感應(yīng)負電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零。,采用疊加原理來確定鏡像電荷,點電荷q位于一個半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。,,,,,35,然后斷開接地線，并將電荷－q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即,球外任意點的電位為,,,,,36,6.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,,,,,,,,,,,,,,問題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。,1.線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,37,由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù),,由于上式對任意的都成立，因此，將上式對求導(dǎo)，可以得到,,,,,38,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由時，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,,,,,,39,2.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖2所示。,問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷和。,,,,,40,通常將帶電細線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？,,,,,導(dǎo)體圓柱外任一點的電位為,41,6.4分離變量法,本節(jié)內(nèi)容6.4.1分離變量法解題的基本原理6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法6.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法6.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法,,,,,42,將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數(shù)表示成n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。,分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法,分離變量法的理論依據(jù)是唯一性定理,分離變量法解題的基本思路：,6.4.1分離變量法解題的基本原理,,,,,43,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為,6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法,將?(x,y)表示為兩個一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x)Y(y)，有,,,,,44,若取λ＝－k2，則有,,當(dāng),,,當(dāng),,,,,,45,將所有可能的?(x,y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即,若取λ＝k2，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,,,,,46,例6.4.1無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,,因?(0,y)＝0、?(a,y)＝0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為,,,,,47,,確定待定系數(shù),,,,,,,,,,,,48,,,,,將U0在（0,a）上按展開為傅里葉級數(shù)，即,其中,,,,,49,,由,故得到,,,,,50,6.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,令其解為,代入方程，可得到,由此可將拉普拉斯方程分離為兩個常微分方程,在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為,通常?(ρ,?)隨變量?的變化是以2?為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù)k應(yīng)為整數(shù)，即k＝n(n＝0,1,2,…)。,,,,,51,當(dāng)n=0時,考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式,,當(dāng)n≠0時,,,,,,52,解選取圓柱坐標(biāo)系，令z軸為圓柱軸線，電場強度的方向與x軸一致，即,當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z無關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個邊界條件：,例6.4.2均勻外電場中，有一半徑為a、介電常數(shù)為ε的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)、外的電位函數(shù)和電場強度。,,,,,53,①由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即,②無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應(yīng)為,那么，根據(jù)應(yīng)滿足的邊界條件即可求得系數(shù)C1、D1應(yīng)為,,此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為cos?的函數(shù)，可見系數(shù)，且。因此電位函數(shù)為,,,,,54,代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為,則圓柱外電場強度為,圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如圖所示。,圓柱表面的電荷分布,,,,,55,6.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，得,與前同理，?的解應(yīng)為,且,,,,,56,上式中第一項僅為r的函數(shù)，第二項與r無關(guān)。因此，與前同理第一項應(yīng)為常數(shù)。為了便于進一步求解，令,式中n為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為,且,令，則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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