2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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2.4.1　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo).3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　拋物線的定義 1．平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 2．定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1∶1)． 知識(shí)點(diǎn)二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 由于拋物線焦點(diǎn)位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)． 現(xiàn)將這四種拋物線對(duì)應(yīng)的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下： 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 1．到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．(　　) 2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(　√　) 3．拋物線的方程都是二次函數(shù)．(　　) 4．拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定．(　√　) 題型一　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，－1)； (2)焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)． 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線的方程 解　(1)因?yàn)辄c(diǎn)(－3，－1)在第三象限， 所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)， 則由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝； 若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)， 則由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝. 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x或x2＝－9y. (2)對(duì)于直線方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4,0)． 當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－3)時(shí)，＝3，所以p＝6， 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y； 當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，＝4，所以p＝8， 此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x. 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x. 反思感悟　用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 注意：當(dāng)拋物線的類型沒(méi)有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程為y＝； (2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線的方程 解　(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且＝，則p＝，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y. (2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y. 題型二　拋物線定義的應(yīng)用 命題角度1　利用拋物線定義求軌跡(方程) 例2　已知?jiǎng)訄AM與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義的直接應(yīng)用 解　設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等． 由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y. 反思感悟　解決軌跡為拋物線問(wèn)題的方法 拋物線的軌跡問(wèn)題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解．后者的關(guān)鍵是找到滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件，有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件． 跟蹤訓(xùn)練2　已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x＝－3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義的直接應(yīng)用 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，⊙M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N， 則|MA|＝|MN|， 即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A(3,0)和定直線l：x＝－3的距離相等， ∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線， ∴＝3，∴p＝6， 故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x. 命題角度2　利用拋物線定義求最值 例3　如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)． 考點(diǎn)　求拋物線的最值問(wèn)題 題點(diǎn)　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 解　將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d， 由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為. 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)． 引申探究 若將本例中的點(diǎn)A(3,2)改為點(diǎn)(0,2)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值． 解　由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離． 由圖可知，P點(diǎn)，A點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小， 所以最小距離d＝＝. 反思感悟　拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等． 跟蹤訓(xùn)練3　已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是(　　) A.B.C．2D.－1 考點(diǎn)　求拋物線的最值問(wèn)題 題點(diǎn)　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 答案　D 解析　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)． 設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d， 由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1， 所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1. 易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離， 故d＋|PF|的最小值為＝， 所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 拋物線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 典例　河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問(wèn)：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開始不能通航？ 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 由題意可知，點(diǎn)B(4，－5)在拋物線上， 故p＝，得x2＝－y. 當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開始不能通航， 設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高為0.75m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航． [素養(yǎng)評(píng)析]　首先確定與實(shí)際問(wèn)題相匹配的數(shù)學(xué)模型．此問(wèn)題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問(wèn)題，操作步驟為： (1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程． (3)計(jì)算：通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (4)求解：求出需要求出的量． (5)還原：還原到實(shí)際問(wèn)題中，從而解決實(shí)際問(wèn)題． 1．拋物線y2＝x的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝B．x＝－C．y＝D．y＝－ 答案　B 解析　拋物線y2＝x的開口向右，且p＝，所以準(zhǔn)線方程為x＝－. 2．已知拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(1,0) B.C.D．(0,1) 考點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo) 答案　C 解析　由拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，可得p＝2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)， 則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選C. 3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為(　　) A．4B．－2C．4或－4D．12或－2 答案　C 解析　由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故＋2＝4， ∴p＝4，∴x2＝－8y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x2＝－8y， 得m＝4. 4．若拋物線y2＝2px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p＝________. 答案　2 解析　因?yàn)閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即＝1，p＝2. 5．若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝________. 答案　2 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x＝－， 因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1(－，0)， 所以－＝－，解得p＝2. 1．焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x＝－；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為y＝－. 2．設(shè)M是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑．若M(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋. 一、選擇題 1．關(guān)于拋物線x＝4y2，下列描述正確的是(　　) A．開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1) B．開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) D．開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 答案　D 解析　由x＝4y2得y2＝x，∴開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案　B 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，由題設(shè)知－＝－1，即p＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A.B．1C．2D．4 答案　C 解析　拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－，它與圓相切，所以必有3－＝4，p＝2. 4．若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,1)和直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．直線 答案　D 解析　方法一　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)． 則＝. 整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0， 即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線． 方法二　顯然定點(diǎn)F(1,1)在直線l：3x＋y－4＝0上，則與定點(diǎn)F和直線l距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是過(guò)F點(diǎn)且與直線l垂直的一條直線． 5．若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值是(　　) A.－1B.－1C．2D.－1 答案　D 解析　設(shè)圓(x－3)2＋y2＝1的圓心為O′(3,0)， 要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值． 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(y，y0)， 則|PO′|＝＝ ＝， ∴|PO′|的最小值為， 從而|PQ|的最小值為－1. 6．拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A.B.C.D．0 答案　B 解析　拋物線方程化為x2＝y(tǒng)，準(zhǔn)線為y＝－，由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以M到準(zhǔn)線的距離也為1，所以M點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于1－＝. 7．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(　　) A.B.C.D．25 答案　A 解析　拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y＝(x－2)． 由得B點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝. ∴AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 8．已知點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為(　　) A．7B．8C．9D．10 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義與其它知識(shí)結(jié)合的應(yīng)用 答案　C 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. ∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，則|PA|＋|PQ|的最小值為9. 二、填空題 9．已知拋物線y2＝2x上一點(diǎn)P(m,2)，則m＝________，點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為________． 答案　2　 解析　將(m,2)代入拋物線中得4＝2m， 得m＝2， 由拋物線的定義可知點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為 2＋＝. 10．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 答案　 解析　如圖所示，由已知，得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為，即B.將其代入y2＝2px，得1＝2p，解得p＝，故點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為＋＝p＝. 11．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________. 答案　8 解析　如圖所示，直線AF的方程為y＝－(x－2)，與準(zhǔn)線方程x＝－2聯(lián)立得A(－2,4)． 設(shè)P(x,4)，代入拋物線方程y2＝8x，得8x＝48，∴x＝6， ∴|PF|＝x＋2＝8. 三、解答題 12．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值，拋物線方程和準(zhǔn)線方程． 解　設(shè)所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 則焦點(diǎn)為F. ∵M(jìn)(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5， ∴解得 ∴m＝2， 拋物線方程為x2＝－8y，準(zhǔn)線方程為y＝2. 13．平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義的直接應(yīng)用 解　方法一　由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1， 由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1， 故當(dāng)x<0時(shí)，直線y＝0上的點(diǎn)適合條件； 當(dāng)x≥0時(shí)，原命題等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x＝－1的距離相等， 故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線， 方程為y2＝4x. 故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝ 方法二　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則有＝|x|＋1， 兩邊平方并化簡(jiǎn)得y2＝2x＋2|x|. ∴y2＝ 即點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝ 14．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 答案　A 解析　由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10. 15.如圖所示，拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在y軸上，準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切． (1)求拋物線C的方程； (2)若點(diǎn)A，B都在拋物線C上，且＝2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線的方程 解　(1)依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準(zhǔn)線l的方程為y＝－. ∵準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切， ∴圓心(0,0)到準(zhǔn)線l的距離d＝0－＝1， 解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 由題意得F(0,1)， ∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)， ∵＝2， ∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)， 即代入②得4x＝8y1＋4， 即x＝2y1＋1， 又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1， 解得y1＝，x1＝， 即點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.