2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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2.2.1　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形． 知識點(diǎn)一　橢圓的定義 1．我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的定義用集合語言敘述為： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}． 3．2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表： 條件 結(jié)論 2a>|F1F2| 動點(diǎn)的軌跡是橢圓 2a＝|F1F2| 動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 2a<|F1F2| 動點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在 知識點(diǎn)二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 焦點(diǎn)位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) 焦距 焦點(diǎn)在x軸上 ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) 2c 焦點(diǎn)在y軸上 ＋＝1(a>b>0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 2c 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系 橢圓在坐標(biāo)系中的位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) a，b，c的關(guān)系 b2＝a2－c2 3.根據(jù)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)位置及求焦點(diǎn)坐標(biāo) 判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”．如方程為＋＝1的橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，而且可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，焦距|F1F2|＝2. 1．到平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．(　　) 2．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān)．(　　) 3．橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都具備a2＝b2＋c2.(　√　) 題型一　橢圓定義的應(yīng)用 例1　點(diǎn)P(－3,0)是圓C：x2＋y2－6x－55＝0內(nèi)一定點(diǎn)，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，判斷圓心M的軌跡． 解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝64，圓心為(3,0)，半徑r＝8.因?yàn)閯訄AM與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根據(jù)橢圓的定義，動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值8>6＝|CP|， 所以動點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 反思感悟　橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視． 定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量． 常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件． 跟蹤訓(xùn)練1　下列命題是真命題的是________．(將所有真命題的序號都填上) ①已知定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝的點(diǎn)P的軌跡為橢圓； ②已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線段； ③到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓． 答案?、? 解析　①<2，故點(diǎn)P的軌跡不存在；②因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；③到定點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)． 題型二　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個點(diǎn)(0,2)和(1,0)； (2)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)； (3)經(jīng)過點(diǎn)P，Q. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解　(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上， 所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)， 所以所以 所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. (2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上， 所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由橢圓的定義知， 2a＝＋ ＝2， 即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (3)方法一?、佼?dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 依題意，有解得 由a>b>0，知不合題意，故舍去； ②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1(a>b>0)． 依題意，有解得 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 方法二　設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 則解得 所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 反思感悟　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程． (2)待定系數(shù)法：先判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式，最后由條件確定待定系數(shù)即可．即“先定位，后定量”． 當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時，應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論，但要注意a>b>0這一條件． (3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，把橢圓的方程設(shè)成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有兩個優(yōu)點(diǎn)：①列出的方程組中分母不含字母；②不用討論焦點(diǎn)所在的位置，從而簡化求解過程． 跟蹤訓(xùn)練2　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10； (2)橢圓過點(diǎn)(3,2)，(5,1)； (3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1)． 解　(1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 則2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9， ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 則解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 則解得 ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 題型三　橢圓中焦點(diǎn)三角形問題 例3　(1)已知P是橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝30，求△F1PF2的面積； (2)已知橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大?。? 解　(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a＝，b＝2， ∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2. 又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos30， 即4＝20－(2＋)|PF1||PF2|， ∴|PF1||PF2|＝16(2－)． ∴＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ＝16(2－)＝8－4. (2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝－， 又∵0＜∠F1PF2＜180， ∴∠F1PF2＝120. 反思感悟　在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是橢圓與焦點(diǎn)所在軸的交點(diǎn)時，這個點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個三角形，這個三角形就是焦點(diǎn)三角形．這個三角形中一條邊長等于焦距，另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù)． 在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解． 跟蹤訓(xùn)練3　已知兩定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若∠F1PF2＝60，求△PF1F2的面積． 解　(1)依題意知|F1F2|＝2， |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|， ∴點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓， 且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝， 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1. (2)設(shè)m＝|PF1|，n＝|PF2|，則m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60)，解得mn＝4. ∴＝mnsin∠F1PF2＝4sin60＝. 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 典例　求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解　方法一　若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1(a>b>0)． 由已知條件得 解得 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 由已知條件得 解得 則a2b>0矛盾，舍去． 綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 方法二　設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2，－)，代入橢圓的一般方程， 得解得 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. [素養(yǎng)評析]　通過兩種解法的對比，采用第二種設(shè)橢圓方程的方法能優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題效率．這也正是數(shù)學(xué)運(yùn)算策略升級的有力佐證. 1．橢圓＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離為(　　) A．5B．6C．7D．8 考點(diǎn)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、焦距 答案　D 解析　設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝2. 結(jié)合橢圓定義|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8. 2．平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個定點(diǎn)，“動點(diǎn)M滿足||＋||為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　與橢圓有關(guān)的軌跡方程 題點(diǎn)　圓與橢圓 答案　B 解析　當(dāng)||＋||為常數(shù)且||＋||>||時，M的軌跡才是橢圓． 3．若方程3x2＋ky2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的可能取值為(　　) A．1B．3C．0D．－2 答案　A 解析　當(dāng)k＝1時，原方程可化為＋＝1，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其他選項(xiàng)不合題意． 4．已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 答案　A 解析　c＝1，a＝(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓的方程為＋＝1. 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2的周長為________． 答案　18 解析　△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因?yàn)?a＝10，c＝＝4，所以周長為10＋8＝18. 1．橢圓的定義式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解題過程中將|PF1|＋|PF2|看成一個整體，可簡化運(yùn)算． 2．橢圓的定義中要求一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時，若出現(xiàn)“兩定點(diǎn)”、“距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應(yīng)考慮是否可以利用橢圓的定義來解決． 3．凡涉及橢圓上的點(diǎn)的問題，首先要考慮它應(yīng)滿足橢圓的定義|MF1|＋|MF2|＝2a(M為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn))，一般進(jìn)行整體變換，其次要考慮該點(diǎn)的坐標(biāo)M(x0，y0)是否適合橢圓的方程，然后再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算. 一、選擇題 1．橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于(　　) A．4B．8C．4或8D．12 答案　C 解析　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，m－2>10－m>0， m－2－(10－m)＝4，∴m＝8. ∴m＝4或8. 2．已知橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)，那么k的值為(　　) A．－1B．1C.D．－ 答案　B 解析　原方程可化簡為x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1. 3．已知橢圓＋＝1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由題意知a2－2＝4，∴a2＝6， ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 4．“1b>0)． 設(shè)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)． ∵F1A⊥F2A, ∴＝0， 而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4. ∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 14．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為________． 答案?。? 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入橢圓方程得 相減得＋＝0， 所以＋＝0. 因?yàn)閤1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ＝kAB＝＝. 所以＋＝0， 化為a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9. 所以橢圓E的方程為＋＝1. 15.如圖所示，△ABC的底邊BC＝12，其他兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點(diǎn)A的軌跡方程． 解　以BC邊所在直線為x軸，BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD為AB，AC邊上的中線， 則|BD|＋|CE|＝30. 由重心性質(zhì)可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B，C是兩個定點(diǎn)，G點(diǎn)到B，C的距離和等于定值20，且20＞12， ∴G點(diǎn)的軌跡是橢圓，B，C是橢圓焦點(diǎn)， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20， a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故G點(diǎn)的軌跡方程為＋＝1(x≠10)． 設(shè)G(x′，y′)，A(x，y)， 則有＋＝1. 由重心坐標(biāo)公式知 故A點(diǎn)軌跡方程為＋＝1， 即＋＝1(x≠30).