2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 回歸分析學(xué)案 北師大版選修1 -2.docx

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1.1　回歸分析 學(xué)習(xí)目標　1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系.2.掌握建立線性回歸模型的步驟． 知識點　線性回歸方程 思考　(1)什么叫回歸分析？ (2)回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實值嗎？ 答案　(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法． (2)不一定是真實值，利用線性回歸方程求的值，在很多時候是個預(yù)報值，例如，人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食、是否喜歡運動等． 梳理　(1)平均值的符號表示 假設(shè)樣本點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在統(tǒng)計上，用表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均值，即＝＝i；用表示一組數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均值，即＝＝i. (2)參數(shù)a，b的求法 b＝＝＝，a＝－b. (3)樣本點的中心(，)，回歸直線過樣本點的中心． 1．現(xiàn)實生活中的兩個變量要么是函數(shù)關(guān)系，要么是相關(guān)關(guān)系．(　　) 2．散點圖能準確判定兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系．(　　) 3．回歸直線不一定過樣本中的點，但一定過樣本點的中心．(　√　) 類型一　概念的理解和判斷 例1　有下列說法： ①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過回歸方程y＝bx＋a可以估計觀測變量的取值和變化趨勢； ④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析?、俜从车恼亲钚《朔ㄋ枷?，正確；②反映的是畫散點圖的作用，正確；③反映的是回歸方程y＝bx＋a的作用，正確；④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練1　下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　) ①學(xué)生的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ②某家庭的收入與支出之間的關(guān)系； ③學(xué)生的身高與視力之間的關(guān)系； ④球的體積與半徑之間的關(guān)系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　A 解析　對①，學(xué)習(xí)時間影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，但是學(xué)生學(xué)習(xí)的刻苦程度、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、教師的授課水平等其他因素也影響學(xué)生的成績，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間具有相關(guān)關(guān)系；對②，家庭收入影響支出，但支出除受收入影響外，還受其他因素影響，故它們是相關(guān)關(guān)系；對③，身高與視力之間互不影響，沒有任何關(guān)系；對④，球的體積由半徑?jīng)Q定，是一種確定性關(guān)系，故它們是函數(shù)關(guān)系． 類型二　回歸分析 例2　某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力． 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)如圖： (2)iyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9，＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344， b＝＝＝0.7， a＝－b＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程可知，當x＝9時，y＝0.79－2.3＝4，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. 反思與感悟　(1)求線性回歸方程的基本步驟 ①列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系． ②計算：，，，，iyi. ③代入公式求出y＝bx＋a中參數(shù)b，a的值． ④寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計． (2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義． 跟蹤訓(xùn)練2　已知某地區(qū)4～10歲女孩各自的平均身高數(shù)據(jù)如下： 年齡x/歲 4 5 6 7 8 9 10 身高y/cm 100 106 112 116 121 124 130 求y對x的線性回歸方程．(保留兩位小數(shù)) 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　制表 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 4 5 6 7 8 9 10 yi 100 106 112 116 121 124 130 xiyi 400 530 672 812 968 1116 1300 ＝7，＝，＝371，iyi＝5798 b＝＝≈4.82， a＝－b＝－4.827≈81.83. 所以線性回歸方程為y＝81.83＋4.82x. 例3　某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))(元)與日銷售量y(臺)之間有如下關(guān)系： x 35 40 45 50 y 56 41 28 11 (1)畫出散點圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)求日銷售量y對銷售單價x的線性回歸方程； (3)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(2)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤． 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 解　(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)． (2)因為＝(35＋40＋45＋50)＝42.5， ＝(56＋41＋28＋11)＝34. iyi＝3556＋4041＋4528＋5011＝5410. ＝352＋402＋452＋502＝7350. 所以b＝＝＝≈－3. a＝－b＝34－(－3)42.5＝161.5. 所以線性回歸方程為y＝161.5－3x. (3)依題意，有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845 ＝－32＋－4845. 所以當x＝≈42時，P有最大值，約為426元．即預(yù)測當銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤． 反思與感悟　解答線性回歸題目的關(guān)鍵是首先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求線性回歸方程的公式求解線性回歸方程，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對實際問題進行分析． 跟蹤訓(xùn)練3　一臺機器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些會缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時生產(chǎn)缺損零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)作出散點圖； (2)如果y與x線性相關(guān)，求出線性回歸方程； (3)若在實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍？ 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 解　(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖． (2)設(shè)線性回歸方程為：y＝bx＋a，并列表如下： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 ＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438， 所以b＝≈0.73，a＝8.25－0.7312.5＝－0.875， 所以y＝0.73x－0.875. (3)令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15， 故機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi). 1．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān)，則其線性回歸方程可能是(　　) A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　A 解析　因為y與x負相關(guān)，所以排除B，D， 又因為C項中x>0時，y<0不合題意，所以C錯． 2．如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是(　　) A．①②B．①③C．②③D．③④ 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　B 解析　由圖易知①③兩個圖中樣本點在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型． 3．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過點(　　) x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.(2,3) B．(1.5,4) C．(2.5,4) D．(2.5,5) 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　C 解析　回歸直線必過樣本點中心(，)，即(2.5,4)． 4．面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位：千箱)與單位成本y(單位：元)的資料進行線性回歸分析，結(jié)果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1481，則銷量每增加1000箱，單位成本下降________元． 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　1.8182 解析　由題意知，b＝≈－1.8182， a＝71－(－1.8182)≈77.36， ∴y關(guān)與x的線性回歸方程為 y＝－1.8182x＋77.36， 即銷量每增加1千箱，單位成本下降1.8182元． 5．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分別計算：，，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x＋x＋x＋x； (2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程． 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)＝＝1.5，＝＝4， x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝01＋13＋25＋37＝34， x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14. (2)b＝＝2， a＝－b＝4－21.5＝1， 故線性回歸方程為y＝2x＋1. 回歸分析的步驟 (1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量． (2)畫出確定好的因變量關(guān)于自變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋a)． (4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． 一、選擇題 1．對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)，由這兩個散點圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān) C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān) 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析　由題圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關(guān)； 由題圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)． 2．某醫(yī)學(xué)科研所對人體脂肪含量與年齡這兩個變量研究得到一組隨機樣本數(shù)據(jù)，運用Excel軟件計算得y＝0.577x－0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)．對年齡為37歲的人來說，下面說法正確的是(　　) A．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為20.90% B．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量約為21.01% C．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90% D．年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為31.5% 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　當x＝37時，y＝0.57737－0.448＝20.901≈20.90， 由此估計，年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90%. 3．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān) 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　A 解析　由正相關(guān)和負相關(guān)的定義知A正確． 4．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示： x(月份) 1 2 3 4 5 y(萬盒) 5 5 6 6 8 若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為y＝0.7x＋a，估計該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量約為(　　) A．8.0萬盒B．8.1萬盒C．8.9萬盒D．8.6萬盒 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　B 解析　回歸直線一定過樣本點中心．由已知數(shù)據(jù)可得＝3，＝6，代入回歸方程，可得a＝－0.7＝3.9，即線性回歸方程為y＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得y＝8.1，故選B. 5．工人月工資y(單位：元)關(guān)于勞動生產(chǎn)率x(單位：千元)的回歸方程為y＝650＋80x，下列說法中正確的個數(shù)是(　　) ①勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資約為730元； ②勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元； ③勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高730元； ④當月工資為810元時，勞動生產(chǎn)率約為2000元． A．1B．2C．3D．4 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　代入方程計算可判斷①②④正確． 6．某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，則y與x的線性回歸方程是(　　) A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 答案　A 解析　由題中數(shù)據(jù)，得＝6.5，＝28.5， ∴b＝＝＝≈2.62， a＝－b≈28.5－2.626.5＝11.47， ∴y對x的線性回歸方程是y＝2.62x＋11.47，故選A. 7．為研究變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，兩人計算知相同，也相同，下列正確的是(　　) A．l1與l2一定重合 B．l1與l2一定平行 C．l1與l2相交于點(，) D．無法判斷l(xiāng)1和l2是否相交 考點　回歸直線方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　C 解析　因為兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，所以兩組數(shù)據(jù)的樣本點中心都是(，)，因為回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，所以l1和l2都過(，)． 二、填空題 8．某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程y＝－2x＋60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為________. 氣溫x(℃) －1 13 10 18 杯數(shù)y y0 34 38 24 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　64 解析　由表中數(shù)據(jù)易知＝10，代入y＝－2x＋60中， 得y＝40.由＝40，得y0＝64. 9．調(diào)查某移動公司的三名推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表所示. 推銷員編號 1 2 3 工作年限x(年) 3 5 10 年推銷金額y(萬元) 2 3 4 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y＝bx＋a中的b＝. 若該公司第四名推銷員的工作年限為6年，則估計他的年推銷金額約為________萬元． 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　3 解析　＝6，＝3，由回歸直線經(jīng)過樣本點中心可知，該推銷員年推銷金額約為3萬元． 10．某人對一地區(qū)人均工資x(千元)與該地區(qū)人均消費y(千元)進行統(tǒng)計調(diào)查，發(fā)現(xiàn)y與x有相關(guān)關(guān)系，并得到線性回歸方程y＝0.66x＋1.562.若該地區(qū)的人均消費水平為7.675千元，則估計該地區(qū)的人均消費額占人均工資收入的百分比約為________．(精確到0.1%) 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　82.9% 解析　當y＝7.675時，x≈9.262， 所以該地區(qū)的人均消費額占人均工資收入的百分比約為100%≈82.9%. 11．某數(shù)學(xué)老師身高為176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為________cm. 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　183.5 解析　記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5，用變量x表示，其中5代表孫子．各代人的身高為變量y，則有 x 1 2 3 4 y 173 170 176 182 計算知＝2.5，＝175.25.由回歸系數(shù)公式得b＝3.3，a＝－b＝175.25－3.32.5＝167，∴線性回歸方程為y＝3.3x＋167，當x＝5時，y＝3.35＋167＝183.5，故預(yù)測其孫子的身高為183.5cm. 三、解答題 12．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄． 附：b＝，a＝－b. 考點　線性回歸方程 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由題意，n＝10，i＝80，i＝20， ∴＝＝8，＝＝2. 又－102＝720－1082＝80，iyi－10＝184－1082＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4， 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄約為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 13．隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 時間代號t 1 2 3 4 5 儲蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 (1)求y關(guān)于t的回歸方程y＝bt＋a； (2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2019年(t＝10)的人民幣儲蓄存款． 附：回歸方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b. 考點　線性回歸方程 題點　求線性回歸方程 解　(1)列表計算如下： i ti yi t tiyi 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑ 15 36 55 120 此時n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2. 又ltt＝－n2＝55－532＝10，lty＝iyi－n＝120－537.2＝12， 從而b＝＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.23＝3.6， 故所求回歸方程為y＝1.2t＋3.6. (2)將t＝10代入回歸方程，可預(yù)測該地區(qū)2019年的人民幣儲蓄存款為y＝1.210＋3.6＝15.6(千億元)． 四、探究與拓展 14．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求線性回歸方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 解　(1)＝＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. ∵b＝－20，a＝－b， ∴a＝80＋208.5＝250， ∴線性回歸方程為y＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，則 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25， ∴該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為元，才使工廠獲得的利潤最大．