2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx（22頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題突破三空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問題的探求所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡(jiǎn)述空間建系的四種方法，希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為.點(diǎn)評(píng)本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可跟蹤訓(xùn)練1如圖，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD90，且PAAD2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，求異面直線EF與BD所成角的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，所以，PA平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.即異面直線EF與BD所成角的余弦值為.二、利用線面垂直關(guān)系例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB，BB12，BC1，BCC1.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)解過點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P，因?yàn)锳B平面BB1C1C，所以ABBP，ABBB1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.又BPBB1，BB1ABB，且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，因?yàn)锳B，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)，P.點(diǎn)評(píng)空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來了方便本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB平面BB1C1C”，可作為建系的突破口跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，AE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.設(shè)AN與平面PMN所成的角為，則sin，直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為.三、利用面面垂直關(guān)系例3如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中點(diǎn)將ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角解取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM.因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中點(diǎn)，所以ABE與ADE都是等邊三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，平面BAE平面AECAE，所以BM平面AEC，所以BMMD.以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖，則B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，M(0,0,0)，所以(2,0,0)，(0，)，(0，0)，設(shè)平面BCD的法向量為m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因平面ABE的一個(gè)法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45.點(diǎn)評(píng)本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小跟蹤訓(xùn)練3在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)證明：AB平面VAD；(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角(1)證明取AD的中點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意知，VO底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)易得(0,2,0)，(1,0，)(0,2,0)(1,0，)0，即ABVA.又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.(2)解易得(1,0，)設(shè)E為DV的中點(diǎn)，連接EA，EB，則E，.(1,0，)0，即EBDV.又EADV，AEB為所求二面角的平面角，cos，.故所求二面角的平面角的余弦值為.四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例4如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC平面ABCD；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EFAD?考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直(1)證明如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)OA1，OA1a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，O1(1,0，a)則(1，1，a)，(0,0，a)設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量由得令x11，則m(1,1,0)，而n(0,0，a)，故mn0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC平面ABCD.(2)解由(1)可知，(1,0，a)，(1，1,0)設(shè)，則(，0)，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，1，0)，.EFAD0，而10，解得.故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí)，有EFAD.點(diǎn)評(píng)依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對(duì)角線便可建立空間直角坐標(biāo)系跟蹤訓(xùn)練4已知正四棱錐VABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.(1)求DEB的余弦值；(2)若BEVC，求DEB的余弦值考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角解(1)如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中OxBC，OyAB.由AB2a，OVh，知B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0,0，h)，E.，cos，.即cosDEB.(2)BEVC，0，即(a，a，h)0，a20，ha.此時(shí)cos，即cosDEB.1.如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角為_答案45解析以D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135，異面直線EF和CD所成的角是45.2在底面為直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求二面角題點(diǎn)向量法求二面角答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一個(gè)法向量，并求得平面SCD的一個(gè)法向量n，則cos，n.即所求銳二面角的余弦值為.3.在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB2，AA12，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC平面ABB1A1.(1)證明：BCAB1；(2)若OCOA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值考點(diǎn)題點(diǎn)(1)證明由題意知tanABD，tanAB1B，又ABD，AB1B為三角形的內(nèi)角，故ABDAB1B，則AB1BBAB1ABDBAB1，所以AOB，即AB1BD.又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO，因?yàn)锽DCOO，BD，CO平面CBD，所以AB1平面CBD，又BC平面CBD，所以AB1BC.(2)解如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A，B，C，D，設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則z1，x，平面ABC的一個(gè)法向量n.設(shè)直線CD與平面ABC所成角為，則sin|cos，n|.一、選擇題1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以(1,0，)，(1,1，)，因?yàn)閏os，.2.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析由題設(shè)易知，AB，AD，AQ兩兩垂直以A為原點(diǎn)，AB，AD，AQ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(xiàn)(2,1,0)，(1,1,2)，(2,1,0)，cos，則異面直線EM與AF所成角的余弦值為.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是()A.B.C.D1考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，且n(1,1,1)是平面A1C1D的一個(gè)法向量，因?yàn)?2,2,0)，所以cosn，.設(shè)DB與平面A1C1D所成的角為，則sincosn，.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A60B75C105D90考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角答案D解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB11，則A(0,0,1)，B1，C1(0，0)，B.，10，即AB1與C1B所成角的大小為90.5(2018貴州貴陽高二檢測(cè))如圖，四棱錐PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角答案B解析如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)設(shè)平面BED的法向量為n(x，y，z)，則取z1，得n.又平面ABE的法向量為m(1,0,0)，cosn，m.平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.6.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60，則二面角AA1CB的余弦值是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由題意知ABAC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.又因?yàn)?1，0)，(0，)，所以令y1，則n(，1,1)取m(1,0,0)為平面AA1C的一個(gè)法向量，所以cosm，n.所以二面角AA1CB的余弦值為.二、填空題7.如圖所示，在四面體ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為_考點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角題點(diǎn)向量法求直線與直線所成的角答案解析取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC.由題意知OA，OC，BD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，所以(1,0，1)，(1，0)，cos，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以AB與CD所成角的余弦值是.8.如圖，已知四棱錐PABCD的底面是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA4，OB3，OP4，OP底面ABCD.設(shè)點(diǎn)M滿足(0)，當(dāng)時(shí)，直線PA與平面BDM所成角的正弦值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則(4,0，4)，(0,6,0)，(4,3,0)當(dāng)時(shí)，得M，所以.設(shè)平面DBM的法向量為n(x，y，z)，則解得y0，令x2，則z1，所以n(2,0,1)因?yàn)閏os，n，所以直線PA與平面BDM所成角的正弦值為.9(2018山西太原高二檢測(cè))已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是_考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角答案解析如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則B(1,2,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，M.設(shè)平面PCO的法向量為n(x，y，z)，則取n(2,1,0)因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是|cos，n|.10.如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC2，BD.若CF平面ABCD，CF2，則二面角BAFD的大小為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析過點(diǎn)A作AE平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)于是B，D，F(xiàn)(0,2,2)設(shè)平面ABF的法向量為n1(x，y，z)，則由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的一個(gè)法向量為n2(，1,1)由n1n20，知平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小為.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC1中，點(diǎn)P，Q分別在棱BC，CD上，B1QD1P，且PQ.若P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，則二面角C1PQA的余弦值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)設(shè)平面C1PQ的法向量為n(a，b，c)因?yàn)?1,1,0)，(0,1,2)，又nn0，所以令c1，則ab2，所以n(2,2，1)因?yàn)閗(0,0,2)為平面APQ的一個(gè)法向量，所以cosn，k.因?yàn)槎娼菫殁g角，所以所求余弦值為.12已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大小為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案30解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AA1所在直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0，a,0)，(0,0，a)，.設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n(x，y，z)，n0且n0.yz0.故n(x,0,0)cos，n，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.三、解答題13.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值考點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角題點(diǎn)向量法求直線與平面所成的角解如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAA12，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)設(shè)n(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取n(，1,1)設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為，則sin|cos，n|.所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.14.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，AB4，BCCDEAED2.(1)證明：BD平面AED；(2)求平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值考點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角題點(diǎn)向量法求平面與平面所成的角(1)證明因?yàn)锽CCD，BCCD2，所以BD2.又因?yàn)镋AED，EAED2，所以AD2.又因?yàn)锳B4，由勾股定理知BDAD.又因?yàn)槠矫鍱AD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面AED.(2)解如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則OEAD.因?yàn)槠矫鍱AD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，所以O(shè)E平面ABCD.取AB的中點(diǎn)F，連接OF，則OFBD.因?yàn)锽DAD，所以O(shè)FAD.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則D(，0,0)，C(2，0)，E(0,0，)，(，0)，(，0，)設(shè)平面CDE的法向量為n1(x，y，z)，則所以令x1，可得平面CDE的一個(gè)法向量n1(1,1，1)又平面ADE的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)因此|cosn1，n2|.所以平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值為.15.如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角PCDA的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M(M平面PAB)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：由已知得，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(2)由已知得，CDPA，CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.從而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，PACD，ABCDM，AB，CD平面ABCD，可得PA平面ABCD.設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，設(shè)平面PCE的法向量為n(x，y，z)，由得取x2，得n(2，2,1)設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.