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第2課時 不等式的證明與柯西不等式
1．設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11 B．a(chǎn)2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2 D.－<－
答案 C
解析 (a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，
故A恒成立；
在B項中不等式的兩側(cè)同時乘以a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B項中的不等式恒成立；
對C項中的不等式，當a>b時，恒成立，當a
0，y>0，a∈R，b∈R.求證：()2≤.
答案 略
證明 因為x>0，y>0，所以x＋y>0.
所以要證()2≤，
即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，
即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立．故()2≤.
7．(2014江蘇)已知x>0，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
答案 略
證明 因為x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33＝9xy.
8．(2018福建質(zhì)量檢查)若a，b，c∈R＋，且滿足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)證明：＋＋≥.
答案 (1) (2)略
解析 (1)因為a，b，c∈R＋，
所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.
當且僅當a＝b＝c＝時等號成立．
所以abc的最大值為.
(2)證明：因為a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根據(jù)柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)＝[()2＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2＝.
所以＋＋≥.
9．(2016課標全國Ⅱ，理)已知函數(shù)f(x)＝|x－|＋|x＋|，M為不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|.
答案 (1){x|－1－1；
當－0，b>0，且a＋b＝＋.證明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．
答案 (1)略 (2)略
解析 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0得0－，所以－－2，所以00，n>0，且m＋n＝1，求證：＋≤2.
答案 (1)[－1，3] (2)略
解析 (1)方法一：依題意，f(x)＝
∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，
∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，
∴實數(shù)a的取值范圍是[－1，3]．
方法二：∵f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴實數(shù)a的取值范圍是[－1，3]．
(2)由(1)知f(x)≥2，∴2≥2.
∵(＋)2＝2(m＋n)＋2＋2≤4＋(2m＋1)＋(2n＋1)＝8，當且僅當m＝n＝時等號成立．
∴＋≤2，
∴＋≤2.
1．(2017武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；
(2)若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝，求證：＋≤1.
答案 (1){x|－7≤x≤} (2)略
解析 (1)當x≤－時，－x＋5＋2x＋3≥1，
解得x≥－7，∴－7≤x≤－；
當－
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