2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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第二講 講明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.系統(tǒng)梳理證明不等式的基本方法.2.進(jìn)一步體會不同方法所適合的不同類型的問題，針對不同類型的問題，合理選用不同的方法.3.進(jìn)一步熟練掌握不同方法的解題步驟及規(guī)范1比較法作差比較法是證明不等式的基本方法，其依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)大小比較的充要條件證明的步驟大致是：作差恒等變形判斷結(jié)果的符號2綜合法綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推理的基本理論證明時要注意的是作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應(yīng)用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號”的理由要理解掌握3分析法分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即從待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用4反證法反證法是一種“正難則反”的方法，反證法適用的范圍：直接證明困難；需要分成很多類進(jìn)行討論；“唯一性”“存在性”的命題；結(jié)論中含有“至少”“至多”否定性詞語的命題5放縮法放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，常用的放縮技巧有：舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；在分式中放大或縮小分子或分母；用基本不等式放縮.類型一比較法證明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求證：x2y2z22(xyyzzx)證明x2y2z22(xyyzzx)2220，x2y2z22(xyyzzx)成立反思與感悟作差法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0n1,0m1，mn1，求證：(ab)2.證明(ab)20，(ab)2.類型二綜合法與分析法證明不等式例2已知a，b，cR，且abbcca1，求證：(1)abc；(2)()證明(1)要證abc，由于a，b，cR，因此只需證(abc)23，即證a2b2c22(abbcca)3，根據(jù)條件，只需證a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號)可知，原不等式成立(2)，在(1)中已證abc，abbcca1，要證原不等式成立，只需證，即證abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(abc時取等號)成立，原不等式成立反思與感悟證明比較復(fù)雜的不等式時，考慮分析法與綜合法的結(jié)合使用，這樣使解題過程更加簡潔跟蹤訓(xùn)練2已知abc，求證：0.證明方法一要證0，只需證.abc，acab0，bc0，0，成立，0成立方法二abc，acab0，bc0，0，0.類型三反證法證明不等式例3若x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy2，求證：2或2中至少有一個成立證明假設(shè)2和0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾故2或2中至少有一個成立反思與感悟反證法的“三步曲”：(1)否定結(jié)論(2)推出矛盾(3)肯定結(jié)論其核心是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)yf(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab.證明假設(shè)ab不成立，則ab或ab.當(dāng)ab時，ab，則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾當(dāng)ab時，ab，由函數(shù)yf(x)的單調(diào)性，可得f(a)f(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾故假設(shè)不成立ab.類型四放縮法證明不等式例4已知nN，求證：2(1)12.證明對kN，1kn，有2()，2()12(1)2()2()2(1)又對于kN，2kn，有2()，112(1)2()2()212.原不等式成立反思與感悟放縮法是在順推法邏輯推理過程中，有時利用不等式關(guān)系的傳遞性作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更強(qiáng)的不等式來代替原不等式的一種證明方法放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價轉(zhuǎn)化，放縮沒有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮，否則達(dá)不到目的跟蹤訓(xùn)練4設(shè)f(x)x2x13，a，b0,1，求證：|f(a)f(b)|ab|.證明|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|，0a1,0b1，0ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.1已知p: ab0，q：2，則p與q的關(guān)系是()Ap是q的充分不必要條件Bp是q的必要不充分條件Cp是q的充要條件D以上答案都不對答案C解析由ab0，得0，0，22，又2，則，必為正數(shù)，ab0.2實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2bc2，則()Aa，b，c都是正數(shù)Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一個不小于答案D解析假設(shè)a，b，c都小于，則a2bc2與a2bc2矛盾3若a，b，c，則()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b與c比較：b，c，3553，bc.a與c比較：a，c，3225，ac.bac，故選C.4已知a，bR，nN，求證：(ab)(anbn)2(an1bn1)證明(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)(1)若ab0，則bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(2)若ba0，則bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(3)若ab0，(bnan)(ab)0.綜上(1)(2)(3)可知，對于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1)1比較法證明不等式一般有兩種方法：作差法和作商法，作商法應(yīng)用的前提條件是已知不等式兩端的代數(shù)式同號2由教材內(nèi)容可知，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法3證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等證明不等式時既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)一、選擇題1a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2B.abC.D.答案C解析A滿足基本不等式；B可等價變形為(ab)2(ab)0正確；B選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)是A選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確2設(shè)0x1，則a，bx1，c中最大的是()AcBbCaD隨x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3若P，Q (a0)，則P與Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQD由a的取值確定答案C解析P22a72，Q22a72，P2Q2，即PB是sinAsinB的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析由正弦定理知2R，又A，B為三角形的內(nèi)角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.二、填空題7lg9lg11與1的大小關(guān)系是_答案lg9lg111解析lg90，lg110，1.lg9lg111.8當(dāng)x1時，x3與x2x1的大小關(guān)系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9用反證法證明“在ABC中，若A是直角，則B是銳角”時，應(yīng)假設(shè)_答案B不是銳角解析“B是銳角”的否定是“B不是銳角”10建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為_元答案1760解析設(shè)水池底長為x(x0)m，則寬為(m)水池造價y120804803204801 2801 760(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x2時取等號三、解答題11求證：2.證明因?yàn)?nN，n2)，所以1122.所以原不等式得證12已知an(nN)，求證：an.證明n，an12n.又，an.an.四、探究與拓展13已知a，b是正數(shù)，ab，x，y(0，)，若，則等號成立的條件為_答案aybx解析0，當(dāng)且僅當(dāng)aybx時等號成立14設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.(1)解令n1，得S(1)S1320，即SS160，所以(S13)(S12)0，因?yàn)镾10，所以S12，即a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，得(Sn3)Sn(n2n)0，因?yàn)閍n0(nN)，Sn0，從而Sn30，所以Snn2n，所以當(dāng)n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221，所以an2n(nN)(3)證明設(shè)k2，則，所以.所以.