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第1講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[考情考向分析] 1.函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級要求，主要是利用函數(shù)圖象，即通過數(shù)形結(jié)合思想解決問題. 2.指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點(diǎn)， B級要求.3.函數(shù)與方程是B級要求，但經(jīng)常與二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合起來考查，試題難度中等偏上．
熱點(diǎn)一 函數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)用
例1 (1)(2018江蘇徐州銅山中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(2x－1)＋f(4－x2)>2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．
答案 (－1,3)
解析 令g(x)＝f(x)－1 ，則g(x)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
由f(2x－1)＋f(4－x2)>2，得g(2x－1)＋g(4－x2)>0，所以g(2x－1)>g(x2－4)，即2x－1>x2－4，
所以x2－2x－3<0，解得－1
0時(shí)，f(x)＝|x－a|－a(a∈R)．若?x∈R，f(x＋2 016)>f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－∞，504)
解析 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x，x∈R，滿足條件；
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，也滿足條件；
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝
要滿足條件，需4a<2 016 ，即00的解集為________．
答案 (－2,0)∪(1,2)
解析 ∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
∴f(x)在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，
又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(2)＝0，
∴f(－2)＝－f(2)＝0，∴當(dāng)x＜－2或0＜x＜2時(shí)，f(x)＞0，當(dāng)－2＜x＜0或x＞2時(shí)，f(x)＜0(如圖)，
∴不等式>0等價(jià)于
或
解得x∈(－2,0)∪(1,2)．
熱點(diǎn)二 函數(shù)圖象及其運(yùn)用
例2 (1) 已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [－2,0]
解析 函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖，y＝ax為過原點(diǎn)的一條直線，當(dāng)a＞0時(shí)，與y＝|f(x)|在y軸右側(cè)總有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a＝0時(shí)，成立；當(dāng)a＜0時(shí)，找與y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情況，即y′＝2x－2，切線方程為y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，綜上，a∈[－2,0]．
(2)已知函數(shù)f(x)＝若ax2－x1；
②x2f>x1f；
③x2－x1，可得>1，即兩點(diǎn)與連線的斜率大于1，顯然①不正確；由x2f>x1f，得>，即表示兩點(diǎn)，與原點(diǎn)連線的斜率的大小，可以看出結(jié)論②正確；結(jié)合函數(shù)圖象，容易判斷結(jié)論③正確．
(2)(2018江蘇省常州市橫林高中月考)已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(2x2－|x|)≤5的解集為________．
答案
解析 方法一 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
若2x2－<0，則不等式f≤5恒成立，此時(shí)<0，得0<<；
若2x2－≥0, ∵f＝5，∴不等式f≤5等價(jià)于f≤f，
則2x2－≤1, 則0≤≤1, 又≥或≤0，
∴≤≤1或＝0，
綜上，0≤≤1，故－1≤x≤1.
方法二 ∵f(1)＝5，∴f(2x2－|x|)≤5等價(jià)于2x2－|x|≤1，
解得0≤|x|≤1，故－1≤x≤1.
熱點(diǎn)三 函數(shù)與方程
例3 (1)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個數(shù)為________．
答案 2
解析 f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|
＝2sin x－|ln(x＋1)|
＝sin 2x－|ln(x＋1)|，
令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.
在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)y＝sin 2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示．
觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn)．
(2)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x)＝－2f(x＋1)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x2，若函數(shù)y＝af(x)－log4(x＋1)(a>0)恰有4個零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
答案 41時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)滿足mx＋2＝0，則m＝－，
由題意可得函數(shù)y＝m與函數(shù)g(x)＝有兩個不同的交點(diǎn)， 繪制函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
1．(2016江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________．
答案 －
解析 由已知得，
f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
又f＝f，
則－＋a＝，∴a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)
＝－1＋＝－.
2．(2018江蘇)若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值的和為________．
答案?。?
解析 f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x＞0)．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上無零點(diǎn)，不合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＞0，解得x＞，
由f′(x)＜0，解得0＜x＜，
∴f(x)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增．
又f(x)只有一個零點(diǎn)，∴f＝－＋1＝0，∴a＝3.
此時(shí)f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，
當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，在(0,1]上單調(diào)遞減．
又f(1)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝1，
∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.
3．(2017江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，則方程f(x)－lg x＝0的解的個數(shù)是________．
答案 8
解析 由于f(x)∈[0,1)，則只需考慮1≤x<10的情況，在此范圍內(nèi)，x∈Q，且x?Z時(shí)，設(shè)x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互質(zhì)．若lg x∈Q，則由lg x∈(0,1)，可設(shè)lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互質(zhì)．因此＝，
則10n＝m，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾．因此lg x?Q，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)x∈D對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)x?D部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)草圖．圖中交點(diǎn)除(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期內(nèi)x?D部分，且x＝1處(lg x)′＝＝<1，則在x＝1附近僅有1個交點(diǎn)，因此方程解的個數(shù)為8.
4．(2018無錫期中)已知函數(shù)f(x)＝－，則f(a＋1)＋f(a2－1)>0的解集為________．
答案 (－1,0)
解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.
f(－x)＝－＝，
f(x)＝－＝，
所以f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)．
又f(x)＝－在R上單調(diào)遞減，
所以f(a＋1)＋f(a2－1)>0?f(a＋1)>f(1－a2)，
所以a＋1<1－a2，解得－10，若函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－ax2有且只有5個零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
答案 (2，e)
解析 由題意可知，x＝0是g(x)的1個零點(diǎn)，
當(dāng)x≠0時(shí)，由f(x)＝ax2可得
a＝
令h(x)＝(x＞0)，則h′(x)＝.
當(dāng)00，當(dāng)x>時(shí)，h′(x)<0，
∴h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)≤h()＝e，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→0，當(dāng)x→0時(shí)，h(x)<0.
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)和y＝的圖象，
由圖可知，g(x)＝f(x)－ax2有且只有5個零點(diǎn)需滿足2log53>log5＝，log35>log33＝1,0<0.20.5＝<，∴0.20.5f>f，即b0且a≠1)在x∈[2，＋∞)上恒有|y|>1，則a應(yīng)滿足的條件是_______．
答案 1，當(dāng)x≥2時(shí)，logax>0，∴l(xiāng)ogax>1.
由題意知loga2>1，∴a∈(1,2)．
綜上可知，0，
∴f(x)在R上為增函數(shù)．
又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)0且a≠1)對?x∈恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案
解析 由已知得當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋x，
故x2≤2logax對?x∈恒成立，
即當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)y＝x2的圖象不在y＝2logax圖象的上方，
可以從圖象(圖略)知00)，且關(guān)于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范圍．
(1)證明 任取x1
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專題四
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