（全國通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十七 8.3 圓的方程 文.doc

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課時分層作業(yè) 四十七圓 的 方 程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】選D.因為圓心為(0,3),直線x+y+1=0的斜率為-1,所以直線l的斜率為1,所以l的方程是y=x+3,即x-y+3=0.【變式備選】1.圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為()A.1B.2C.D.2【解析】選C.圓心(-1,0),直線x-y+3=0.所以圓心到直線的距離為=.2.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-B.-C.D.2【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標準方程為(x-1)2+(y-4)2=4,故圓心為(1,4),d=1,解得a=-.3.圓C:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=_.【解析】因為圓心為(1,2),所以圓心到直線3x+4y+4=0的距離為d=3.答案:32.設P為圓x2+y2+4x-6y-12=0上的動點,則點P到直線3x-4y-12=0的距離的最小值為()A.B.1C.11D.【解析】選B.因為由x2+y2+4x-6y-12=0配方得(x+2)2+(y-3)2=25,所以圓心為(-2,3),半徑為5,所以圓心到直線3x-4y-12=0的距離為d=6,所以由平面幾何性質(zhì),圓上的動點P到直線的距離的最小值為d-r=6-5=1.3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】選A.設圓心坐標為(0,b),則由題意知=1,解得b=2,故圓的方程為x2+(y-2)2=1.【一題多解】選A.由圓心在y軸上,半徑為1,點(1,2)到圓心的距離為1易知圓心為(0,2),故圓的方程為x2+(y-2)2=1.【變式備選】設點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得OMN=45,則x0的取值范圍是()A.-1,1B.C.-,D.【解析】選A.如圖,因為點M在直線y=1上,當點N為(0,1)時,x0=1,當|x0|1時,不存在N,符合條件,所以x0的取值范圍是-1,1.4.已知圓C與直線x-y=0 及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】選B.圓心在x+y=0上,排除C,D,再結(jié)合圖象,如圖,或者驗證A,B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.【變式備選】已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為() A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】選B.圓C1的圓心坐標為(-1,1),半徑為1,設圓C2的圓心坐標為(a,b),由題意得解得所以圓C2的圓心坐標為(2,-2),又兩圓的半徑相等,故圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1.5.過點P(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B ,則直線AB的方程為()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0【解析】選A.設切點A(x1,y1) ,B(x2,y2),圓心為C(1,0),半徑為1,因為 ,所以-4x1+3+-y1=0,又因為-2x1+1+=1,所以2x1+y1-3=0,同理可得2x2+y2-3=0,所以直線AB的方程為2x+y-3=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.經(jīng)過三點(2,-1),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為_.【解析】設所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則解得所以所求圓的一般方程為x2+y2-4x-8y-5=0.答案:x2+y2-4x-8y-5=0【變式備選】已知在RtABC中,A(0,0),B(6,0),則直角頂點C的軌跡方程為_.【解析】依題意,頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓,且去掉端點A,B,圓心坐標為(3,0),半徑為3,故直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y0),即為x2+y2-6x =0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:設頂點C的坐標為(x,y),由于ACBC,故kACkBC=-1,所以=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y0).即為x2+y2-6x=0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)7.已知圓C: x2+y2+2x+ay-3=0(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l:x-y+2=0的對稱點都在圓C上,則a=_.【解析】由已知直線l:x-y+2=0經(jīng)過圓心,所以-1+2=0,所以a=-2.答案:-2【變式備選】若圓(x+1)2+(y-3)2=9上的相異兩點P,Q關(guān)于直線kx+2y-4=0對稱,則k的值為_.【解析】圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸.已知圓的圓心為(-1,3),由題設知,直線kx+2y-4=0過圓心,則k(-1)+23-4=0,解得k=2.答案:28.已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=4.則圓P的方程為_.【解析】由題意知,直線AB的斜率k=1,中點坐標為(1,2).則直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.設圓心P(a,b),則由點P在CD上得a+b-3=0.又因為直徑|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圓心P(-3,6)或P(5,-2).所以圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.即為x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0.答案:x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0【變式備選】圓C通過不同的三點P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圓C在點P處的切線斜率為1,則圓C的方程為_.【解析】設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則k,2為x2+Dx+F=0的兩根,所以k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k,又圓過R(0,1),故1+E+F=0.所以E=-2k-1.故所求圓的方程為x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圓心坐標為.因為圓C在點P處的切線斜率為1,所以kCP=-1=,所以k=-3.所以D=1,E=5,F=-6.所以所求圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0.答案:x2+y2+x+5y-6=0三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知直線l:y=x+m,mR,若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上,求該圓的方程.【解析】方法一:依題意,點P的坐標為(0,m),因為MPl,所以1=-1,解得m=2,即點P的坐標為(0,2),圓的半徑r=|MP|=2,故所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.方法二:設所求圓的半徑為r,則圓的方程可設為(x-2)2+y2=r2,依題意,所求圓與直線l:x-y+m=0相切于點P(0,m),則解得所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.10.已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標.(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標為(3,0).(2)設M(x,y),依題意=0,所以(x-3,y)(x,y)=0,則x2-3x+y2=0,所以+y2=.又原點O(0,0)在圓C1外,因此中點M的軌跡是圓C與圓C1相交落在圓C1內(nèi)的一段圓弧.由消去y2得x=,因此x3.所以線段AB的中點M的軌跡方程為+y2=.1.(5分)已知圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,bR)對稱,則ab的取值范圍是 ()A.B.C.D.【解析】選A.將圓的方程化成標準形式得(x+1)2+(y-2)2=4,若圓關(guān)于已知直線對稱,則圓心(-1,2)在直線上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-+.【變式備選】已知圓x2+y2-2ax-2by-2 019=0的圓心在直線2x+3y-1=0上,則a2+b2的最小值為_.【解析】因為圓心為(a,b),所以2a+3b=1,所以b=.所以a2+b2=,當且僅當a=,b=時取等號,所以a2+b2的最小值為.答案:2.(5分)已知圓C:(x-3)2+(y+5)2=25和兩點A(2,2),B(-1,-2),若點P在圓C上且SABP=,則滿足條件的P點有_個.【解析】因為A(2,2),B(-1,-2),所以|AB|=5,又因為SABP=,所以P到AB的距離為1,又直線AB的方程為=,即4x-3y-2=0,依題意圓心C與直線的距離為=5,且圓的半徑R=5,所以直線AB與圓相切,所以符合條件的點P有2個.答案:23.(5分)已知直線l:x+y-2=0和圓C:x2+y2-12x-12y+54=0,則與直線l和圓C都相切且半徑最小的圓的標準方程是_.【解析】圓:x2+y2-12x-12y+54=0的圓心C(6,6),半徑r=3,圓心C(6,6)到x+y-2=0的距離d=5,與直線x+y-2=0和圓x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的圓心在過C與x+y-2=0垂直的直線l1上,所求圓的半徑R= (5-3)=,直線l1:y-6=x-6,即y=x,設所求圓的方程為:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程組得x+y-2=0與l1的交點(1,1),解方程:(1-a)2+(1-a)2=2,得a=2或a=0(不符合已知條件,舍去),所以所求圓的方程為:(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2【一題多解】如圖,圓C的圓心為(6,6),半徑為3,所以所求的圓的圓心為(2,2),半徑為,所以所求的圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=2,即為x2+y2-4x-4y+6 =0.答案:(x-2)2+(y-2)2=24.(12分)四個點A(1,3),B(3,2),C(3,-5),D(-3,-5). (1)求這個四邊形ABCD的面積.(2)求證:這四個點共圓,并求出這個圓的方程.【解析】(1)在平面直角坐標系中,畫出四個點,如圖,因為=(2,-1),=(-4,-8),=(6,0),=(0,-7),所以,所以SABD=4=10,SCBD=76=21,所以四邊形ABCD的面積為SADB+SBCD=31.(2)由(1)知,四個點都在以BD為直徑的圓上,BD的中點為,|BD|=,所以圓的方程為x2+=,即x2+y2+3y-19=0.5.(13分)已知以點C(tR,t0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A,與y軸交于點O和點B,其中O為原點.(1)求證:OAB的面積為定值.(2)設直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.【解析】(1)因為圓C過原點O,所以|OC|2=t2+.設圓C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,所以SOAB=|OA|OB|=|2t|=4,即OAB的面積為定值.(2)因為|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分線段MN.因為kMN=-2,所以kOC=.所以=t,解得t=2或t=-2.當t=2時,圓心C的坐標為(2,1),|OC|=,此時,C到直線y=-2x+4的距離d=.圓C與直線y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合題意,舍去.所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.即為x2+y2-4x-2y=0.【變式備選】在直角坐標系xOy中,以O為圓心的圓與直線x-y=4相切.(1)求圓O的方程.(2)圓O與x軸相交于A,B兩點,圓內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍.【解析】(1)依題設,圓O的半徑r等于原點O到直線x-y=4的距離,即r=2.所以圓O的方程為x2+y2=4.(2)不妨設A(x1,0),B(x2,0),x1x2.由x2=4得A(-2,0),B(2,0).設P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,得 =x2+y2,即x2-y2=2.=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于點P在圓O內(nèi),故由此得y21.所以的取值范圍為-2,0).