沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題（含解析）.doc

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專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題 【自主熱身，歸納提煉】 1、設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2＋a4＝2，S2＋S4＝1，則a10＝________． 【答案】. 8　 【解析】： 列方程組求出a1和d，則a10＝a1＋9d. 設(shè)公差為d，則解得所以a10＝a1＋9d＝8. 2、 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S15＝30，a7＝1，則S9的值為________． 【答案】： －9 解法1利用等差數(shù)列基本量；解法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)：①等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系：在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；②等差數(shù)列任兩項(xiàng)的關(guān)系：在等差數(shù)列{an}中，若m，n∈N*且其公差為d，則am＝an＋(m－n)d. 3、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，則a3的值為________． 【答案】： 　 【解析】：由a8＝a6＋6a4得a2q6＝a2q4＋6a2q2，則有q4－q2－6＝0，所以q2＝3(舍負(fù))，又q>0，所以q＝，則a3＝a2q＝. 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算是高考?？碱}型，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵，值得注意的是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣“an＝amqn－m(n>m)”的應(yīng)用． 4、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝－，a4－a2＝－，則a3的值為________． 【答案】：. 　 【解析】： 兩個已知等式均可由a3和公比q表示． 由已知，得解得 5、記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若am＝10，S2m－1＝110，則m的值為________． 【答案】： 6　 【解析】：由S2m－1＝(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得，110＝10(2m－1)，解得m＝6. 6、已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若4a4，a3，6a5成等差數(shù)列，且a3＝3a，則S3＝________． 【答案】：. 　 【解析】：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，且a1>0，由4a4，a3，6a5成等差數(shù)列，得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝.又由a3＝3a，解得a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝. 7、知是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．若，，則的值為 ▲ ． 【答案】2或6 【解析】由，當(dāng)左邊=右邊= 顯然不成立，所以，則有，因?yàn)椋? 所以,即，所以或，所以. 【易錯警示】若用到等比數(shù)列的前項(xiàng)公式，要討論公比是否為1；方程兩邊，若公因數(shù)不為0，可以同時(shí)約去，若不確定是否為0，要移項(xiàng)因式分解，轉(zhuǎn)化成乘積為0的形式再求解，否則會漏解. 8、《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為________升． 【答案】：. 　 【解析】：設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則有S4＝3，a9＋a8＋a7＝4，即a8＝，則有即解得a1＝. 9、 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若對任意n∈N*，總有Sn≤Sk，則k的值是________． 10、若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3－a1＝2，則a5的最小值為 ． 【答案】：．8 【解析】： 因?yàn)閍3－a1＝2，所以，即 所以，設(shè)，即， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號. 【問題探究，變式訓(xùn)練】 例1、已知公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則的值為________． 【答案】：. 　 【解析】：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，則由＝3得＝3，所以d＝4a1，所以＝＝＝. 【變式1】、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= ． 【解析】 由，得，由S3，S6- S3，S9- S6成等差數(shù)列， 故S6- S3 = 2S3，S9- S6 = 3S3 = S6，解得=． 【變式2】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= ． 【解析】 由，得，由S5，S10- S5，S15- S10，S20- S15成等差數(shù)列， 故S10- S5 = 2 S5，S15- S10 = 4S5，S20- S15 = 8S5， 所以，，，故． 【變式3】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= ． 【解析】 由，得，則． 【關(guān)聯(lián)1】、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2an－2，則＝________. 【解析】： 4　 求出a1及an＋1與an間的遞推關(guān)系． 由Sn＝2an－2和Sn＋1＝2an＋1－2，兩式相減得an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an.又a1＝S1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比q＝2的等比數(shù)列，所以＝q2＝4. 【關(guān)聯(lián)2】、Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝________. 【答案】： 　 解法1 由＝可得，＝＝，當(dāng)n＝1時(shí)，＝，所以a2＝2a1. d＝a2－a1＝a1，所以＝＝＝. 解法2 ＝＝， 觀察發(fā)現(xiàn)可令Sn＝n2＋n，則an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，所以＝＝. 【關(guān)聯(lián)3】、 已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)的和分別是An和Bn，且，使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為 ． 【解析】　，所以，， 要使得為整數(shù)，則n+1為18的因數(shù)， n=1，2，5，8，17， 所以，使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有5個． 例1、已知數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2a3＝15，S4＝16. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2) 設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＋1－bn＝. ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； ②是否存在正整數(shù)m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由． 【解析】： (1) 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0. 由a2a3＝15，S4＝16，得 解得或(舍去)．所以an＝2n－1.(4分) (2) ①因?yàn)閎1＝a1＝1， bn＋1－bn＝＝＝， (6分) 即b2－b1＝， b3－b2＝， … bn－bn－1＝，n≥2， 累加得bn－b1＝＝，(9分) 所以bn＝b1＋＝1＋＝. 又b1＝1也符合上式，故bn＝，n∈N*.(11分) 解后反思 對于研究與整數(shù)有關(guān)的問題，一般地，可利用整數(shù)性或通過求出某個變量的限制范圍，利用整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行一一地驗(yàn)證． 【變式1】、設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足，S7 = 7 （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn； （2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列{an}中的項(xiàng)． 【解析】?。?）設(shè)公差為d，則，得， 因?yàn)閐 ≠ 0，所以， 又由S7 = 7得a4 = 1，解得a1 = -5，d = 2， 所以，． （2）， 令，則， 因?yàn)閠是奇數(shù)，所以t可取的值為， 當(dāng)t = 1，m = 1時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)； 當(dāng)t = -1時(shí)，m = 0（舍）， 所以，滿足條件的正整數(shù)m = 1． 【變式2】、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*. (1) 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2) 若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 思路分析 (2) 若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an＋1－＝d，－＝d，所以bn＝cn＝d.因此要先證bn＝cn＝λ是常數(shù)． 【解析】： (1) 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，則＝.(2分) 所以(n＋2)cn＝＝n＋2，得cn＝1.(4分) (2) 由(n＋1)bn＝an＋1－，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn， 從而(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1. 兩式相減，得(n＋1)(n＋2)bn＋1－n(n＋1)bn＝(n＋1)an＋2－(n＋1)an＋1， 即(n＋2)bn＋1－nbn＝an＋2－an＋1.(*)(6分) 又(n＋2)cn－(n＋1)bn＝， 所以2(n＋2)cn－2(n＋1)bn＝(n＋2)bn＋1－nbn， 整理，得cn＝(bn＋bn＋1)．(9分) 因?yàn)閎n≤λ≤cn對一切n∈N*恒成立， 所以bn≤λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ對一切n∈N*恒成立， 得cn＝λ，且bn＋bn＋1＝2λ. 而bn≤λ，bn＋1≤λ，所以必有bn＝bn＋1＝λ. 綜上所述，bn＝cn＝λ對一切n∈N*恒成立．(12分) 此時(shí)，由(*)式，得an＋2－an＋1＝2λ對一切n∈N*恒成立．(14分) 對(n＋1)bn＝an＋1－，取n＝1，得a2－a1＝2λ. 綜上所述，an＋1－an＝2λ對一切n∈N*恒成立． 所以數(shù)列{an}是公差為2λ的等差數(shù)列．(16分) 思想根源 若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則是公差為d的等差數(shù)列． 【關(guān)聯(lián)1】、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，且對任意的正整數(shù)n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常數(shù)λ>0.設(shè)bn＝ (n∈N*)﹒ (1) 若λ＝3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 若λ≠1且λ≠3，設(shè)cn＝an＋3n(n∈N*)，證明數(shù)列是等比數(shù)列； (3) 若對任意的正整數(shù)n，都有bn≤3，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 【解析】： 因?yàn)镾n＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝λSn－1＋3n， 從而an＋1＝λan＋23n，n≥2，n∈N*﹒ 又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋231，滿足上式， 所以an＋1＝λan＋23n, n∈N*﹒ (2分) (1) 當(dāng)λ＝3時(shí)， an＋1＝3an＋23n，n∈N*， 從而＝＋，即bn＋1－bn＝， 又b1＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列， 所以bn＝.(4分) (2) 當(dāng)λ>0且λ≠3且λ≠1時(shí)， cn＝an＋3n＝λan－1＋23n－1＋3n ＝λan－1＋3n－1(λ－3＋3) ＝λ(an－1＋3n－1)＝λcn－1, (7分) 又c1＝3＋＝≠0， 所以是首項(xiàng)為，公比為λ的等比數(shù)列， cn＝λn－1﹒(8分) (3) 在(2)中，若λ＝1，則cn＝0也可使an有意義，所以當(dāng)λ≠3時(shí)，cn＝λn－1. 從而由(1)和(2)可知 (9分) 當(dāng)λ＝3時(shí)，bn＝，顯然不滿足條件，故λ≠3.(10分) 當(dāng)λ≠3時(shí)，bn＝n－1－. 若λ>3, >0，bn0，－>0，bn>bn＋1，n∈N*，且bn>0. 所以只需b1＝＝1≤3即可，顯然成立．故0<λ<1符合條件； (12分) 若λ＝1，bn＝1，滿足條件．故λ＝1符合條件；(13分) 若1<λ<3，<0，－>0， 從而bn0.故bn∈， 要使bn≤3恒成立，只需－≤3即可． 所以1<λ≤. (15分) 綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.(16分) 【關(guān)聯(lián)2】、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Tn，且3Tn＝S＋2Sn，n∈N*. (1) 求a1的值； (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3) 若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比數(shù)列，求k和t的值． 第(2)問，由于式子“3Tn＝S＋2Sn”涉及數(shù)列{an}，{a}的前n項(xiàng)和，常用相鄰項(xiàng)作差法處理，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}的遞推式，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列求解；第(3)問，由題意，兩個未知量k和t，一個等式，屬于不定方程問題，通常有以下思考方法：因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法，本題采用奇偶性分析法求解． 規(guī)范解答 (1) 由3T1＝S＋2S1，得3a＝a＋2a1，即a－a1＝0.因?yàn)閍1＞0，所以a1＝1.(2分) (2) 因?yàn)?Tn＝S＋2Sn，?、? 所以3Tn＋1＝S＋2Sn＋1，?、? ②－①，得3a＝S－S＋2an＋1，即3a＝(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＋2an＋1，即3a＝(Sn＋1＋Sn)an＋1＋2an＋1， 因?yàn)閍n＋1＞0， 所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，?、?5分) 所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，?、? ④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝2.(8分) 又由3T2＝S＋2S2，得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)， 即a－2a2＝0. 因?yàn)閍2＞0，所以a2＝2，所以＝2， 所以對n∈N*，都有＝2成立， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*.(10分) (3) 由(2)可知Sn＝2n－1. 因?yàn)镾1，Sk－S1，St－Sk成等比數(shù)列， 所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，(12分) 所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)． 由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2. 當(dāng)k＝2時(shí)，2t＝8，得t＝3.(14分) 當(dāng)k≥3時(shí)，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1為奇數(shù)， 所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此時(shí)k無正整數(shù)解． 綜上，k＝2，t＝3.(16分) 數(shù)列中不定方程的常見解題策略有因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法，這些策略有一個共同的特征，就是對等式兩邊適當(dāng)?shù)淖冃芜x擇等式一邊的特征進(jìn)行解題，如整除的性質(zhì)、范圍上界或下界、因式分解的形式、是否為有理數(shù)、奇偶性等． 【關(guān)聯(lián)3】、在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1. (1) 求證：數(shù)列{an＋n}為等比數(shù)列； (2) 記bn＝an＋(1－λ)n，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項(xiàng)，求λ的取值范圍． 思路分析 (1) 證明等比數(shù)列，一般從等比數(shù)列的定義出發(fā)，首先要說明它的任意一項(xiàng)均不為0，且相鄰兩項(xiàng)的比值為非零的常數(shù)． (2) 由第(1)問求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，由此得到{bn}的通項(xiàng)公式，通過分組求和后得到它的前n項(xiàng)和．注意到T3為數(shù)列{Tn}中的最小項(xiàng)，因此，將它轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式恒成立問題，而要研究數(shù)列中的不等式恒成立問題，研究數(shù)列的單調(diào)性是必然的手段，通過研究數(shù)列的單調(diào)性后來得到變量λ的取值范圍． 當(dāng)n＝2時(shí)，由T2≥T3，得λ≥9；(12分) 當(dāng)n≥4時(shí)，n2＋n－12＝(n＋4)(n－3)＞0恒成立， 所以λ≤對?n≥4恒成立． 令f(n)＝，n≥4， 則f(n＋1)－f(n)＝＞0恒成立， 故f(n)＝在n≥4時(shí)單調(diào)遞增， 所以λ≤f(4)＝.(15分) 綜上，9≤λ≤.(16分) 解后反思 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．而研究數(shù)列中的取值范圍問題，一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解． 【關(guān)聯(lián)4】、已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，且ak1，ak2，…，akn，…(k1＜k2＜…＜kn＜…)成等比數(shù)列，公比為q. (1) 若k1＝1，k2＝3，k3＝8，求的值； (2) 當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列？ (3) 若數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，且對于任意n∈N*，不等式an＋akn＞2kn恒成立，求a1的取值范圍． 思路分析 (1) 通過等比中項(xiàng)，得到a1和d的方程，從而求出的值； (2) 先由數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，得出k＝k1k3，再結(jié)合ak1，ak2，ak3成等比數(shù)列，得方程[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2，化簡得＝1，再證明當(dāng)＝1時(shí)，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，從而確定的值為1； (3) 由(2)中結(jié)論得出kn＝k1qn－1(q＞1)，代入an＋akn＞2kn并分離變量得0＜＜＝＋，再證明無限小，從而確定＋有下界，得到0＜≤，從而確定a1的取值范圍是[2，＋∞)． 【解析】： (1) 由已知可得a1，a3，a8成等比數(shù)列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋7d), (2分) 整理可得4d2＝3a1d.因?yàn)閐≠0，所以＝.(4分) (2) 設(shè)數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，則k＝k1k3. 又因?yàn)閍k1，ak2，ak3成等比數(shù)列， 所以[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2. 整理，得a1(2k2－k1－k3)＝d(k1k3－k－k1－k3＋2k2)． 因?yàn)閗＝k1k3，所以a1(2k2－k1－k3)＝d(2k2－k1－k3)． 因?yàn)?k2≠k1＋k3，所以a1＝d，即＝1.(6分) 當(dāng)＝1時(shí)，an＝a1＋(n－1)d＝nd，所以akn＝knd. 又因?yàn)閍kn＝ak1qn－1＝k1dqn－1，所以kn＝k1qn－1. 所以＝＝q，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列． 綜上，當(dāng)＝1時(shí)，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列．(8分) 因?yàn)閘nx≤x＜x，則lnn1＝2lnn1＜n1， 解不等式n1＜n1lnq＋lnε，即(n1)2lnq－n1＋lnε＞0， 可得n1＞， 所以n1＞2. 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)．不妨取n0＝＋1，則當(dāng)n1＞n0時(shí)，原式得證． 所以0＜≤，所以a1≥2，即得a1的取值范圍是[2，＋∞)．(16分) 解后反思 本題第(2)問是根據(jù)必要條件來解題，由數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，得出前三項(xiàng)成等比，求出＝1，但要注意要證明當(dāng)＝1時(shí)，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列；第(3)問，證明當(dāng)n→＋∞時(shí)，→0，這里用代數(shù)方法嚴(yán)格證明，要認(rèn)真地體會．