（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題16 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形 文.doc

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母題十五 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形 【母題原題1】【2018天津，文16】 在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知． （I）求角的大小； （II）設(shè)，求和的值． 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．滿分13分． 【答案】（I）；（II）． 由，可得．，故． 因此， ． 【名師點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍． 【母題原題2】【2017天津，文15】 在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，． （I）求的值； （II）求的值． 【答案】（I） ；（II）． 試題解析：（Ⅰ）由及得， 由及余弦定理得． 【考點(diǎn)】1．正余弦定理；2．三角恒等變換． 【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式． 【母題原題3】【2016天津，文15】 在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，已知． （I）求B； （II）若，求sinC的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（Ⅱ）問題為“已知兩角，求第三角”，先利用三角形內(nèi)角和為，將 考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換．角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證． 【母題原題4】【2015天津，文16】△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為， （I）求a和sinC的值； （II）求 的值． 【答案】（I）a=8，；（II）． （II）， 【考點(diǎn)定位】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算求解能力． 【名師點(diǎn)睛】解三角形問題實質(zhì)是附加條件的三角變換，因此在解三角形問題的處理中，正弦定理、余弦定理就起到了適時、適度轉(zhuǎn)化邊角的作用，分析近幾年的高考試卷，有關(guān)的三角題，大部分以三角形為載體考查三角變換． 【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，考查三角函數(shù)中同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式在恒等變形中的應(yīng)用，考查化簡變形能力、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)換思想． 【命題規(guī)律】解三角形是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)是正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，考題靈活多樣，選擇題、填空題和解答題都有考到，難度中低中檔題均有．以求邊長、求角（三角函數(shù)值）或研究三角形的面積為目標(biāo)，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行有效的邊角轉(zhuǎn)換，利用和差倍半的三角函數(shù)公式，對等式進(jìn)行恒等變形，有時會結(jié)合角的范圍，研究三角函數(shù)式的取值范圍等． 【答題模板】 (1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換； （II）通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換； (3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系； (4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論； (5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解． 【方法總結(jié)】 1．三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法： (1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換； （II）通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換； (3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系； (4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論； (5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解． 2．三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的作用，如利用“三角形的內(nèi)角和等于π”和誘導(dǎo)公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大邊對大角”可以解決解三角形中的增解問題，如：在斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解，注意確定解的個數(shù)． 3． 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性． 4． 在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來． 1．【2018天津部分區(qū)二模】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且． （I）求和的值； （II）求的值． 【答案】（I）， （II） 【解析】分析：（I）根據(jù)題意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sinA的值； （II）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角恒等變換，計算即可． 詳解：（I）由余弦定理，得， 又，所以，解得 【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．其基本步驟是： 第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向． 第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化． 第三步：求結(jié)果． 2．【2018天津河?xùn)|區(qū)二模】在中，角A、B、C所對的邊分別為，已知， ，，角A為銳角． （I）求與的值； （II）求的值及三角形面積． 【答案】（I） ；（II） ． 【解析】 分析：第一問首先利用題中的條件，，利用倍角公式，結(jié)合A為銳角的條件，求得的值，之后可以借助于同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，在求邊長的時候，就利用正弦定理可以求得結(jié)果；第二問結(jié)合題中所給的條件，利用余弦定理建立邊所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果，之后應(yīng)用面積公式求得三角形的面積． 詳解：（I）由正弦定理，代入，，，解得，．∵角A為銳角，． （II），代入為 ，解為， ． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角形的面積公式，在做題的過程中，在求的時候，也可以應(yīng)用倍角公式求解． 3．【2018天津河北區(qū)二?！吭凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若B=2C，2b=3c． （I）求cosC的值； （II）求sin(2C+)的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴， ∴，． ∴． 【名師點(diǎn)睛】解三角形的問題和三角變換常常綜合在一起考查，解題時要根據(jù)所給出的條件利用正弦定理、余弦定理將邊角之間進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解，進(jìn)行變換時要注意對所用公式的選擇． 4．【2018天津市十二校二?！吭阡J角中，角，，的對邊分別為，，，且． （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）已知，的面積為，求邊長的值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（２）利用（I），由已知及正弦定理可得 ，結(jié)合的面積為，可得 ，由余弦定理可得結(jié)果 由余弦定理 ，得 ． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題． 正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑． 5．【2018四川南充三?！吭谥校瑑?nèi)角的對邊分別為，已知． （Ⅰ）若，，求邊； （Ⅱ）若，求角． 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）． 【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得邊； （Ⅱ）由正弦定理得，將代入，結(jié)合可得的方程，解方程即可得解． 因為，所以． 【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．其基本步驟是： 第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向． 第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化． 第三步：求結(jié)果． 6．【2018天津濱海新區(qū)七校模擬】銳角中， 分別為角的對邊， ， （I）若求的面積； （II）求的值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（I）由正弦定理化角，可得，再由角A的余弦定理，可求得，進(jìn)一步求得三角形面積；（II）由正弦和角公式和倍角公式可求值． 試題解析：（I） ， ． ， ， 是銳角， ． 【名師點(diǎn)睛】（1）一般是根據(jù)正弦定理求邊或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，若題目中給出的關(guān)系式是“平方”關(guān)系，此時一般考慮利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． （2）在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到． （3）在解三角形的問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍及三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解或漏解． 7．【2018天津十二校重點(diǎn)模擬一】已知函數(shù)． （I）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （II）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若 ，求的面積． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可確定的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）根據(jù)，求出，利用正弦定理及余弦定理，結(jié)合題設(shè)條件即可求出， ，從而可求出的面積． 試題解析：（I） 由，得 ∴由①②解得，． 8．【2018天津十二校重點(diǎn)模擬二】在中，角的對邊分別為，，，的面積為． （I）求及的值； （II）求的值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（I）由，，的面積為可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II）利用（I）的結(jié)論，由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可得的值． 試題解析：（I）由已知，，，且 ， ， 在中，， ． （II），又，，， ． 9．【2018天津上學(xué)期期末考】在中，角的對邊分別為，且滿足． （I）求； （II）若，求的值． 【答案】（I）；（II）． 整理得，由余弦定理得，又，所以． （II）由知為銳角，又，所以 ， 故 ， ， 所以． 10．【2018天津紅橋區(qū)學(xué)期期末考】在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知， ， ． （I）求的值； （II）求的值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（I）由正弦定理可得a=3c，再由余弦定理可得b；（II）由已知得cosB和sinB，利用二倍角公式求得， ，將展開代入求解即可． 11．【2018天津靜海一中模擬】已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足． （I）若，求的值； （II）若的面積為3，求證為等腰三角形． 【答案】（I）；（II）見解析． 那么，由此得，所以為等腰三角形． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，判斷三角形形狀問題，屬于中檔題．判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（II）利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形． 12．【2018天津河西模擬】在中， ， ， 分別是角， ， 的對邊，若， ． （I）求的值． （II）若，求的面積． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析：（I）由正弦定理求得，進(jìn)而得，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式可求得；（II）由已知計算出，再由（I）計算出，最后由三角形面積公式可得面積． 試題解析：（I）∵，∴，∵，∴， ． （II）∵， ，∴，∵， ，∴， ∴． 13．【2018天津一中月考五】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知． （I）求； （II）如圖，為外一點(diǎn)，若在平面四邊形中，，且，，，求的長． 【答案】(1)；（II）． 【解析】分析：（I）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出cosB的值． （II）利用（I）的結(jié)論，進(jìn)一步利用余弦定理求出結(jié)果． （II）∵，∴，又在中，，， ∴由余弦定理可得 ，∴， 在中，，，，∴由余弦定理可得， 即，化簡得，解得．故的長為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．對公式靈活運(yùn)用與結(jié)合是解題關(guān)鍵． 14．【2018天津耀華中學(xué)模擬】設(shè)函數(shù)，其中向量，，． （I）求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間； （II）若，求函數(shù)的值域； （III）在中，，，，求與的值． 【答案】（I），；（II），． 【解析】試題分析：（I），，令即 所以單調(diào)減區(qū)間為：． （II）當(dāng)時．由（I）易知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．∴．，，則．∴在上值域為． （III）．∴． 又∵，則，．． 由余弦定理，得．即．∴，． ∴，得或（舍）．∴，．