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滾動檢測五(1~8章)
(時間:120分鐘 滿分:150分)
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合A={x|x2>x,x∈R},B=,則?R(A∩B)等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵A==,
B=,
∴A∩B={x|1
b>c B.a(chǎn)>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
答案 A
解析 a=20.1>20=1,b=ln1時,x+-3≥2-3=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號,綜上有f(x)≥0,故選B.
5.若a>0,b>0,ab=a+b+1,則a+2b的最小值為( )
A.3+3 B.3-3
C.3+ D.7
答案 D
解析 當(dāng)b=1時,代入等式a=a+2不成立,因而b≠1,
所以ab-a=b+1.
a==1+,易知b-1>0,
所以a+2b=1++2b=3++2(b-1)
≥3+2=3+22=7,
當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=2時,取等號,即最小值為7.
6.已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x的圖象在區(qū)間和上均單調(diào)遞增,則正數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)=sin2x-cos2x=2sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
因為函數(shù)f(x)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增,
解得≤a<.
7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=4+n-1,若對任意n∈N*,都有1≤p(Sn-4n)≤3成立,則實數(shù)p的取值范圍是( )
A.(2,3) B.[2,3]
C. D.
答案 B
解析 Sn=4+0+4+1+…+4+n-1
=4n+=4n+-n,
所以1≤p≤3對任意n∈N*都成立,
當(dāng)n=1時,1≤p≤3,
當(dāng)n=2時,2≤p≤6,
當(dāng)n=3時,≤p≤4,
歸納得2≤p≤3.
8.已知a,b,c是平面向量,|a|=2,|c|=2,若a與b的夾角為,c與b的夾角為,a與c的夾角為,則|c-b|-|a-b|的最大值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 如圖,設(shè)=a,=b,=c,點A關(guān)于OB的對稱點為A′,
則||=||,
因為∠AOB=,∠BOC=,∠AOC=,
所以∠A′OC=.
|c-b|-|a-b|=||-||≤||,
且在△A′OC中,由余弦定理得,
A′C2=OC2+OA′2-2OCOA′cos
=8+4-222=8-4,
所以||=.故選C.
方法二 如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,
則可設(shè)=c=(2,2),=a=(,-1),
=b=(t,0),則點A關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標(biāo)為(,1),
則=(,1),||=||,
所以|c-b|-|a-b|=||-||≤||
==,故選C.
9.已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=a(a≠0),若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在點P(x0,y0),使得y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線與y=g(x)的圖象也相切,則a的取值范圍是( )
A.(0,1] B.(0,]
C.(1,] D.
答案 B
解析 f(x)=ex的切點為P(x0,),
設(shè)切線與y=g(x)的圖象相切于點(t,a).
f′(x0)=,g′(t)=.
由題意可得解得x0=1-t,
所以a=2=2e1-t,t>0,
令h(t)=2e1-t,t>0,
則h′(t)=e1-t-2e1-t=e1-t(1-2t),
令h′(t)=0,解得t=,
當(dāng)t>0時,h(t)>0;
當(dāng)00,函數(shù)h(t)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)t>時,h′(t)<0,函數(shù)h(t)在上單調(diào)遞減,
當(dāng)t從右側(cè)趨近于0時,h(t)趨近于0,h=;
當(dāng)t趨近于+∞時,h(t) 趨近于0,
所以a∈(0,].
10.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊AB上一點,沿CP將三角形折成直二面角A-CP-B,此時二面角P-AC-B的正切值為,則翻折后AB的長為( )
A.2B.C.D.
答案 D
解析 方法一 如圖1,在平面PCB內(nèi)過點P作CP的垂線交BC于點E,則EP⊥平面ACP.
在平面PAC內(nèi)過點P向AC作垂線,垂足為D,連接DE,則∠PDE為二面角P-AC-B的平面角,
且tan∠PDE==,
設(shè)DP=a,則EP=a.
如圖2,在Rt△ABC中,設(shè)∠BCP=α,則∠ACP=90-α,
則在Rt△DPC中,PC==,
又在Rt△PCE中,tanα=,
則tanα=a,sinα=cos2α.
又0<α<90,所以α=45.
因為二面角A-CP-B為直二面角,
所以圖1中cos∠ACB=cos∠ACPcos∠BCP,
于是有=cos∠ACPsin∠ACP=.
解得AB=.
方法二 如圖3,在平面PCB內(nèi)過點P作CP的垂線交BC于點E,則EP⊥平面ACP.
在平面PAC內(nèi)過點P向AC作垂線,垂足為D,連接DE,則∠PDE為二面角P-AC-B的平面角,
且tan∠PDE==,設(shè)DP=a,則EP=a.
如圖4,在Rt△ABC中,設(shè)∠BCP=α,則∠ACP=90-α,
則在Rt△DPC中,PC==,
又在Rt△PCE中,tanα=,
則tanα=a,sinα=cos2α,
又0<α<90,所以α=45,
在Rt△ABC中,過點A作AM⊥PC于點M,過點B向CP的延長線作垂線,垂足為N.
由∠BCP=∠ACP=45,得AM=,BN=,MN=,
翻折后=++,且,,兩兩垂直,
故||==.
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.把答案填在題中橫線上)
11.(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z滿足z(-3+4i)=1-2i,則z=________,||=________.
答案?。玦
解析 由題意知z====-+i,
∴||=|z|==.
12.(2018浙江省高考模擬試卷)若函數(shù)f(x)=sincos-cos2,則函數(shù)f(x)的最小正周期為________,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是________.
答案 2π
解析 f(x)=sincos-cos2
=sinx-=sin-,
則f(x)的最小正周期為2π.因為x∈,
所以x-∈,sin∈,
所以函數(shù)f(x)在上的值域是.
13.(2018浙江省高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_________,側(cè)面積為________.
答案 3π+4
解析 由三視圖,可得該幾何體為底面半徑為1,高為2的圓柱切掉四分之一后剩余的幾何體,因而其體積V=π122=,側(cè)面積S=2π12+212=3π+4.
14.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,4bcosB=acosC+ccosA,△ABC的面積為,且b2=ac,則a+c=________.
答案 2
解析 方法一 由正弦定理、兩角和的三角函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式,得
4sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,
因為00,y>0,若≥2,則(x+y)2的最大值是________.
答案 8+4
解析 令xy=t,則00,y>0且2x+4y+m=0,求+的最小值.
解 (1)因為函數(shù)f(x)=x2-3x的對稱軸為x=,且開口向上,
所以f(x)=x2-3x在x∈[0,1]上單調(diào)遞減,
所以f(x)min=f(1)=1-3=-2,所以m≤-2.
(2)根據(jù)題意,由(1)可得m=-2,
即2x+4y-2=0.所以x+2y=1.
因為x>0,y>0,
則+=(x+2y)=3++
≥3+2=3+2,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=-1,y=1-時,等號成立.
所以+的最小值為3+2.
21.(15分)(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖,在直三棱柱ADF-BCE中,AB=BC=BE=2,CE=2.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)若EB=4EK,求直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值.
(1)證明 在直三棱柱ADF-BCE中,AB⊥平面BCE,
所以AB⊥BE,AB⊥BC.
又AB=BC=BE=2,CE=2,
所以BC2+BE2=CE2,且AC⊥BD,
所以BE⊥BC.
因為AB∩BC=B,AB,BC?平面ABCD,
所以BE⊥平面ABCD.
因為AC?平面ABCD,所以BE⊥AC.
因為BD∩BE=B,BD,BE?平面BDE,
所以AC⊥平面BDE.
(2)解 方法一 設(shè)AK交BF于點N,
由(1)知,AB,AF,AD兩兩垂直且長度都為2,
所以△BDF是邊長為2的正三角形.
所以點A在平面BDF內(nèi)的射影M為△BDF的中心,連接MN,MF,AM,如圖所示,
則∠ANM為AK與平面BDF所成的角φ.
又FM=2=,
所以AM===.
因為EB=4EK,所以BK=,
所以AK===.
因為=,所以=,
即=,解得AN=.
在Rt△ANM中,sinφ===,
所以直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值為.
方法二 由(1)知,AB,BC,BE兩兩垂直,以B為坐標(biāo)原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),F(xiàn)(0,2,2),A(0,2,0),D(2,2,0),
=(2,2,0),=(0,2,2).
因為EB=4EK,所以K.
設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),
則所以
取x=1,則n=(1,-1,1)為平面BDF的一個法向量.
又=,
于是sinφ===,
所以直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值為.
22.(15分)(2019嘉興調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=xex.
(1)討論函數(shù)g(x)=af(x)+ex的單調(diào)性;
(2)若直線y=x+2與曲線y=f(x)的交點的橫坐標(biāo)為t,且t∈[m,m+1],求整數(shù)m所有可能的值.
解 (1)g(x)=axex+ex,所以g′(x)=(ax+a+1)ex,
①當(dāng)a=0時,g′(x)=ex,g′(x)>0在R上恒成立,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a>0時,當(dāng)x>-時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<-時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;
③當(dāng)a<0時,當(dāng)x>-時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x<-時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a=0時,函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時,函數(shù)g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
(2)由題意可知,原命題等價于方程xex=x+2在x∈[m,m+1]上有解,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等價于ex--1=0,令r(x)=ex--1,
因為r′(x)=ex+>0對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以r(x)在(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又r(1)=e-3<0,r(2)=e2-2>0,r(-3)=e-3-<0,r(-2)=e-2>0,
所以直線y=x+2與曲線y=f(x)的交點有兩個,
且兩交點的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間[1,2]和[-3,-2]內(nèi),
所以整數(shù)m的所有值為-3,1.
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