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單元質(zhì)檢二 函數(shù)
(時(shí)間:100分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.已知函數(shù)f(x)=2x-4,x>0,2x,x≤0,則f(f(1))=( )
A.2 B.0 C.-4 D.-6
答案C
解析函數(shù)f(x)=2x-4(x>0),2x(x≤0),
則f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故選C.
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是( )
A.y=-1x B.y=-x2
C.y=e-x+ex D.y=|x+1|
答案C
解析選項(xiàng)A中函數(shù)是奇函數(shù),不合題意;
選項(xiàng)B中函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,不合題意;
選項(xiàng)D中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不合題意;故選C.
3.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上f(x)是減函數(shù).若f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
答案B
解析由題意知f(-2)=f(2)=0,當(dāng)x∈(-2,0]時(shí),f(x)
12時(shí),fx+12=fx-12,則f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案D
解析由題意可知,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)為奇函數(shù);
當(dāng)x>12時(shí),由fx+12=fx-12可得f(x+1)=f(x).
所以f(6)=f(51+1)=f(1).
而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.
所以f(6)=2.故選D.
5.設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-12,則( )
A.alog2e>1,所以a2=log24>log23,所以c0,2x,x≤0,若f(a)=12,則實(shí)數(shù)a的值為 ( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2
答案C
解析由題意得log2a=12,a>0或2a=12,a≤0,
故a=2或a=-1.故選C.
7.已知函數(shù)f(x)=12x-sin x,則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
解析函數(shù)f(x)=12x-sinx在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=12x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[0,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,由圖象可知,兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,2π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故選B.
8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(31)=( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
答案C
解析∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=-f(x),
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x).
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù).
∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+1),
∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.故選C.
9.若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是( )
答案C
解析由函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),得01或x<-1},故排除A,B;
當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象是把函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,所以當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,排除D.所以選C.
10.已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增
B.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)
D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)
答案C
解析f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),x增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,2)單調(diào)遞減,故排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)閒(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),故排除選項(xiàng)D.故選C.
11.某公司租地建倉(cāng)庫(kù),已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比,而每月車(chē)載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比.據(jù)測(cè)算,如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站( )
A.5千米處 B.4千米處 C.3千米處 D.2千米處
答案A
解析設(shè)倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離為x千米,由題意,得y1=k1x,y2=k2x,其中x>0.
由當(dāng)x=10時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x≥220x45x=8,當(dāng)且僅當(dāng)20x=45x,即x=5時(shí)取等號(hào),故選A.
12.設(shè)min{m,n}表示m,n二者中較小的一個(gè),已知函數(shù)f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log24x(x>0).若?x1∈[-5,a](a≥-4),?x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,則a的最大值為( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.0
答案C
解析由題意得g(x)=log24x,00的圖象恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
答案(2,+∞)
解析作出函數(shù)f(x)=2-13x(x≤0)12x2+1(x>0)的圖象,如圖所示.
直線y=mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線,當(dāng)斜率m≤0時(shí),直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m>0時(shí),直線y=mx始終與函數(shù)y=2-13x(x≤0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn),故要使直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),必須使直線y=mx與函數(shù)y=12x2+1(x>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程mx=12x2+1在x>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即方程x2-2mx+2=0的判別式Δ=4m2-42>0,且2m>0,解得m>2.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,+∞).
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知函數(shù)f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(8,2)和(1,-1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值.
解(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,
故函數(shù)解析式為f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2x2x-1-1(x>1).
因?yàn)閤2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1
=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)1x-1+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí),等號(hào)成立,
函數(shù)y=log2x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以log2x2x-1-1≥log24-1=1,
故當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值1.
18.(12分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=g(x)x.
(1)求a,b的值;
(2)若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),不等式f(2x)-k2x≥0有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.
因?yàn)閍>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),
故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,
所以f(2x)-k2x≥0可化為2x+12x-2≥k2x,
可化為1+12x2-212x≥k.
令t=12x,則k≤t2-2t+1.
因?yàn)閤∈[-1,1],所以t∈12,2.
記h(t)=t2-2t+1,
因?yàn)閠∈12,2,所以h(t)max=1.
所以k≤1,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,1].
19.(12分)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(x∈N*)千件,需另投入成本為C(x)萬(wàn)元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x(萬(wàn)元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x-1 450(萬(wàn)元).通過(guò)市場(chǎng)分析,當(dāng)每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷(xiāo)售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
解(1)當(dāng)0950.
綜上所述,當(dāng)x=100時(shí),L(x)取得最大值1000,
即年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.
20.(12分)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=t+22處取得最小值-t24(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值為-5,求此時(shí)t的值.
解(1)設(shè)f(x)=ax-t+222-t24(a>0).
因?yàn)閒(1)=0,所以(a-1)t24=0.
又因?yàn)閠≠0,所以a=1,
所以f(x)=x-t+222-t24(t≠0).
(2)因?yàn)閒(x)=x-t+222-t24(t≠0),
所以當(dāng)t+22<-1,即t<-4時(shí),
f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;
當(dāng)-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1時(shí),f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,所以t=25(舍去);
當(dāng)t+22>12,即t>-1時(shí),
f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).
綜上,得t=-92.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)當(dāng)a=12時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域.
(2)當(dāng)a>1時(shí),求關(guān)于x的不等式f(x)m對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[1,3]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解(1)當(dāng)a=12時(shí),f(x)=log1212x-1,
故12x-1>0,解得x<0,
故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0).
(2)由題意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),定義域?yàn)閤∈(0,+∞),易知f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
由f(x)0,x<1,∴x∈(0,1).
(3)設(shè)g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
設(shè)t=2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],
故2x+1∈[3,9],t=1-22x+1∈13,79,
故g(x)min=g(1)=-log23.
又∵f(x)-log2(1+2x)>m對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[1,3]恒成立,
故m0時(shí),f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值;
(3)解關(guān)于x的不等式f(ax2)-2f(x)0.
∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1).
又f(x)為奇函數(shù),∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù).
∴對(duì)任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).
∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值為6.
(3)∵f(x)為奇函數(shù),
∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.
∴當(dāng)a=0時(shí),x∈(-∞,1);
當(dāng)a=2時(shí),x∈{x|x≠1,且x∈R};
當(dāng)a<0時(shí),x∈x2a2a或x<1;
當(dāng)a>2時(shí),x∈xx<2a或x>1.
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為(-∞,1);
當(dāng)a=2時(shí),原不等式的解集為{x|x≠1,且x∈R};
當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為x2a2a或x<1;
當(dāng)a>2時(shí),原不等式的解集為xx<2a或x>1.
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