2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 1.命題：的否定是________． 【答案】?x∈R，sin x≥2. 【解析】 【分析】 將特稱命題否定為全稱命題即可. 【詳解】特稱命題的否定為全稱命題， 則命題的否定是?x∈R，sin x≥2. 【點(diǎn)睛】對含有存在(全稱)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定．這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結(jié)論沒給予否定．有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞． 2.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則＝________. 【答案】. 【解析】 拋物線即的準(zhǔn)線方程為，所以，解得 3.若直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是______． 【答案】在圓外 【解析】 【分析】 由題意考查圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可. 【詳解】直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，即： ，即， 據(jù)此可得：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 4.若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為____． 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意確定a,b,c的關(guān)系，然后確定其離心率即可. 【詳解】由題意可知，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 雙曲線的一條漸近線方程為：，即， 據(jù)此可得：，則， 橢圓的離心率. 【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 5.已知以為圓心的圓與圓相內(nèi)切，則圓C的方程是________． 【答案】(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 【解析】 【分析】 由圓與圓的位置關(guān)系確定圓的半徑，然后確定圓的方程即可. 【詳解】兩圓的圓心距為：， 設(shè)所求圓的半徑為，由兩圓內(nèi)切的充分必要條件可得：， 據(jù)此可得：，圓C的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法． 6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線互相垂直的充要條件是________. 【答案】. 【解析】 試題分析：由兩直線ax+by+c=0與mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解得即可．解：直線x+（m+1）y=2-m與直線mx+2y=-8互相垂直?m+2（m+1）=0?m=-故答案是． 考點(diǎn)：兩直線垂直 點(diǎn)評：本題主要考查兩直線垂直的條件，同時(shí)考查充要條件的含義 7.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為________． 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意利用待定系數(shù)法確定雙曲線方程即可. 【詳解】雙曲線的漸近線方程是， 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此可得： ，解得：， 雙曲線的方程為. 【點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 8.若命題有是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________． 【答案】. 【解析】 【分析】 利用原命題的否定為真命題確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可. 【詳解】由題意可得命題：，是真命題， 據(jù)此可得：，解得：， 即實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題與特稱命題的關(guān)系，由命題的真假求參數(shù)的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 9.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在 軸上，且，則的值為________． 【答案】7. 【解析】 【分析】 由題意可得PF2平行y軸，然后結(jié)合橢圓方程和橢圓的定義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 【詳解】∵原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)， ∴PF2平行y軸，即PF2垂直于x軸 ∵c=3， ∴|F1F2|=6， 設(shè)|PF1|=x，根據(jù)橢圓定義可知 ∴，解得， ∴|PF2|=， ∵|PF1|=t|PF2|， ∴t=7. 【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程的思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 10.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________． 【答案】5. 【解析】 【詳解】由題意可得直線過圓心，即：， 據(jù)此可得：，則點(diǎn)在直線上， 表示直線上的點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方， 點(diǎn)到直線的距離為：， 據(jù)此可得：的最小值為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間距離公式及其應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 11.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為________． 【答案】15. 【解析】 【分析】 利用橢圓的定義將左焦點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為右焦點(diǎn)問題，然后求解最值即可. 【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(?3,0),F2(3,0)，如圖所示， 由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=10， ∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a?|PF2|=10+(|PM|?|PF2|)?10+|MF2|==15， 則|PM|+|PF1|的最大值為15. 故答案為：15. 【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 12.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是________． 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意利用幾何關(guān)系得到關(guān)于離心率的不等式，求解不等式即可確定橢圓的離心率的取值范圍. 【詳解】∵圓M與軸相切于焦點(diǎn)F， ∴不妨設(shè)M(c,y),則(因?yàn)橄嗲?則圓心與F的連線必垂直于x軸)M在橢圓上, 則或(a2=b2+c2)， ∴圓的半徑為， 過M作MN⊥y軸與N,則PN=NQ,MN=c， PN,NQ均為半徑,則△PQM為等腰三角形， ∴PN=NQ=， ∵∠PMQ為鈍角,則∠PMN=∠QMN>45， 即PN=NQ>MN=c 所以得,即， 得， a2?2c2+c2e2>2c2， ， e4?4e2+1>0 (e2?2)2?3>0 e2?2. 又由已知“p或q”為真，“p且q”為假， 所以應(yīng)有p真q假，或者p假q真． ① 若p真q假，則，此時(shí)a無解． ②若p假q真，則，解得0)， 根據(jù)題意得 解得a＝b＝1，r＝2， 故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由題意知，四邊形PAMB的面積為S＝S△PAM＋S△PBM＝AMPA＋BMPB. 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA， 而PA＝＝， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得PM的值最小， 所以PMmin＝＝3， 所以四邊形PAMB面積的最小值為Smin＝2＝2＝. 【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法： (1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線． (2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式． 19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓短軸長為，動點(diǎn),在橢圓的準(zhǔn)線上． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程； (3)設(shè)點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，且與以為直徑的圓交于點(diǎn)，求證：線段的長為定值，并求出這個(gè)定值． 【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為。 【解析】 【分析】 (1)由題意求得a,b的值即可確定橢圓方程； (2)由題意分別求得圓心和半徑即可求得圓的方程； (3)法一：利用平面幾何的性質(zhì)確定H的橫坐標(biāo)，然后整理計(jì)算即可證得最終結(jié)果； 法二：利用平面向量的知識結(jié)合數(shù)量積大于零整理計(jì)算即可證得最終結(jié)果. 【詳解】(1)由2b＝2，得b＝1.又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得＝2. 故＝2.所以c＝1.從而a＝. 所以橢圓的方程為. (2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x－2)＋y(y－t)＝0， 即(x－1)2＋2＝＋1，其圓心為，半徑r＝. 因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2， 所以圓心到直線3x－4y－5＝0的距離d＝＝. 所以＝，解得t＝4. 故所求圓的方程為. (3)法一　由平面幾何知ON2＝OHOM. 直線OM：y＝x，直線FN：y＝－ (x－1)． 由得xH＝. 所以O(shè)N2＝|xH||xM|＝2＝2. 所以線段ON的長為定值. 法二　設(shè)N(x0，y0)，則＝(x0－1，y0)，＝(2，t)， ＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)． 因?yàn)椤?，所?(x0－1)＋ty0＝0.所以2x0＋ty0＝2. 又⊥，所以x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0. 所以x＋y＝2x0＋ty0＝2. 所以||＝＝為定值. 【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 20.已知橢圓的離心率為，其右焦點(diǎn)到直線的距離為. (1) 求橢圓的方程； (2) 過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)． 【答案】（1）；（2）圓恒過定點(diǎn)(0，1)，證明見解析。 【解析】 【分析】 (1) 由題意求得a,b的值即可確定橢圓方程； (2) 首先求得AB⊥x軸和AB⊥y軸時(shí)以AB為直徑的圓的方程，求得兩圓的交點(diǎn)為Q(0，1)．然后分類討論斜率存在和斜率不存在兩種情況證明題中的結(jié)論即可. 【詳解】(1) 由題意，e＝＝，e2＝＝， 所以a＝b，c＝b. 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2， 故橢圓C的方程為. (2) 當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y＋)2＝. 由可得 由此可知，若以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為Q(0，1)． 下證Q(0，1)符合題意． 設(shè)直線l的斜率存在，且不為0，則方程為y＝kx－，代入＋y2＝1并整理得(1＋2k2)x2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以＝(x1，y1－1)(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋(kx1－)(kx2－) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋ ＝(1＋k2)－k＋ ＝＝0， 故⊥，即Q(0，1)在以AB為直徑的圓上． 綜上，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(0，1)． 【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)．