北京工業(yè)大學(xué)高數(shù)上課件第一章第一節(jié)無(wú)窮小.ppt

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北京工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 第一章無(wú)窮小與極限 1 1無(wú)窮小 1 2函數(shù)極限 1 3極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限 1 4函數(shù)的連續(xù)性 1 5無(wú)窮小的比較 1 1無(wú)窮小 1 1 1數(shù)列無(wú)窮小 1 數(shù)列的定義 數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù) 依按自變量增大的次序 數(shù)列的對(duì)應(yīng)值可以排成 稱為數(shù)列的通項(xiàng) 或一般項(xiàng) 數(shù)列簡(jiǎn)記為 例如 數(shù)列 簡(jiǎn)記為 簡(jiǎn)記為 簡(jiǎn)記為 簡(jiǎn)記為 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng) 2 數(shù)列的幾何表示法 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn) 來(lái)表示 這些點(diǎn)的全體就是數(shù)列 變化過(guò)程稱為n趨于無(wú)窮大 3 數(shù)列的變化過(guò)程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過(guò)程 自變量n的主動(dòng)變化過(guò)程和因變量的被動(dòng)變化過(guò)程 n的主動(dòng)變化過(guò)程是 不斷增大 每次加1 即n從1開(kāi)始 遵循這樣的變化規(guī)則 一定可以大于每個(gè)固定的正數(shù) 我們將n的這種 記為 表示n無(wú)限增大的過(guò)程 即n要多大就有多大 或者說(shuō) n可以大于任意給定的正數(shù) 即與0的距離可以 如果n可以大于任意給定的正數(shù) 那么 就可以小于任意給定的正數(shù) 我們稱無(wú)限接近于0 任意小 數(shù)列的變化趨勢(shì)可以概述為 無(wú)論給定一個(gè)多么小的正數(shù) 都可以有 只要即可 數(shù)列是無(wú)窮小 此時(shí)我們稱當(dāng)n無(wú)限增大時(shí) 定義1 1 數(shù)列無(wú)窮小 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) 都存在正整數(shù)N 使得當(dāng)時(shí) 不等式 成立 記為 或 則稱數(shù)列是無(wú)窮小 設(shè)為數(shù)列 幾何解釋 只有有限個(gè) 至多有N個(gè) 落在其外 定義 定理1 1 無(wú)窮小比較定理1 證 設(shè)為無(wú)窮小 則也是無(wú)窮小 使得對(duì)于所有正整數(shù)n 由定義 故也是無(wú)窮小 如果存在正數(shù)C 例1證明 如果則為無(wú)窮小 證 數(shù)列從第N 1項(xiàng)起 則也是確定數(shù) 因是無(wú)窮小 有 注意到當(dāng)時(shí) 冪函數(shù)在單調(diào)增加 所以 即是無(wú)窮小 例2證明下列數(shù)列都是無(wú)窮小 證因 4 是 1 的推廣 因?yàn)槭菬o(wú)窮小 注意到 根據(jù)定理1 1及例1 可知上述四個(gè)數(shù)列都是無(wú)窮小 解因 且 因此 不是無(wú)窮小 注 作業(yè) P321 3 6 1 1 2時(shí)函數(shù)無(wú)窮小 我們用表示x無(wú)限增大的過(guò)程 只要即可 即x可以大于任意給定的正數(shù) 不妨設(shè) 則等價(jià)于 任意給定的正數(shù) 且無(wú)限接近0 我們稱時(shí) 是無(wú)窮小 可以小于 定義1 2 時(shí)函數(shù)無(wú)窮小 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) 總存在正數(shù)X 當(dāng)時(shí) 有 記為 或 設(shè)在有定義 c為常數(shù) 則稱當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 如果 則稱當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 記為 記為 如果當(dāng) 都是無(wú)窮小 則稱當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 的幾何意義 完全落在帶形區(qū)域內(nèi) 函數(shù)的圖形 有 例4用定義證明 當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 證 取 所以 當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 同理 當(dāng)或時(shí) 也是無(wú)窮小 證 因是無(wú)窮小 有 當(dāng)時(shí) 冪函數(shù)在單調(diào)增加 所以 例5設(shè)則當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 故當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 定理1 2 無(wú)窮小比較定理2 如果存在常數(shù) 類似于定理1 1 有 是無(wú)窮小 設(shè)當(dāng) 或 時(shí) 也是無(wú)窮小 則當(dāng) 或 時(shí) 例6證明當(dāng)時(shí) 為無(wú)窮小 證 因 不妨設(shè) 所以 當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 當(dāng)時(shí) 例7證明當(dāng)時(shí) 不是無(wú)窮小 證 有 不妨設(shè) 所以 當(dāng)時(shí) 不是無(wú)窮小 由定義1 2 當(dāng)時(shí) 不是無(wú)窮小 當(dāng)時(shí) 1 1 3時(shí)函數(shù)無(wú)窮小 表示且可以任意小 特別地 當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 定義1 3 時(shí)函數(shù)無(wú)窮小 有 則稱當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 記為 或 有 則稱當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 記為 或 則稱當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 記為 如果當(dāng)時(shí) 都是無(wú)窮小 注意 是否有定義無(wú)關(guān) 點(diǎn) 有 的定義可簡(jiǎn)寫(xiě)為 當(dāng)或時(shí) 都是無(wú)窮小 類似于定理1 1和定理1 2 有 定理1 3 無(wú)窮小比較定理3 設(shè)當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 也是無(wú)窮小 則當(dāng)時(shí) 如果存在常數(shù) 例8證明 如果則當(dāng)時(shí) 證 是無(wú)窮小 因是無(wú)窮小 故當(dāng)時(shí) 是無(wú)窮小 由冪函數(shù)在單調(diào)增加 例9證明 證 由定理1 3 有 不妨設(shè) 因 于是 例10證明 證 由定義1 3 有 因 顯然 先證 不妨設(shè) 即 于是 所以 因是奇函數(shù) 有 作單位圓O 例11設(shè) 證 證明 不妨設(shè) 因 于是 于是 故 作業(yè) P322 3 6 7 10 4 1 1 4無(wú)窮小的統(tǒng)一定義 函數(shù)都可以滿足不等式 對(duì)于前面的無(wú)窮小定義稍加比較就可以發(fā)現(xiàn) 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) 無(wú)論哪種情況 所不同的是 隨自變量變化趨勢(shì)的不同 不等式成立的范圍 或空心鄰域 也不同 如果把不同情形下的無(wú)窮小統(tǒng)一表述為 或 則a共有七種不同情況 當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)檎麛?shù)時(shí) 當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí) a可以取 為簡(jiǎn)單起見(jiàn) 一般可以用等 表示無(wú)窮小 定義1 4設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義 都存在點(diǎn)a的空心鄰域 若 記作 或 則有關(guān)于無(wú)窮小的統(tǒng)一定義形式 如果把a(bǔ)的和有關(guān)的鄰域記為 有了無(wú)窮小定義的統(tǒng)一形式 我們今后討論無(wú)窮小或一般的極限理論時(shí)就可以重點(diǎn)討論其中最具代表性的情形 只是鄰域不同而已 其他情形則可以類似給出 關(guān)于無(wú)窮小的概念 有以下幾個(gè)方面需注意 1 無(wú)窮小是函數(shù)的自變量按照一定的變化趨勢(shì)變化時(shí) 函數(shù)的一種特殊的變化趨勢(shì) 因此 我們說(shuō)某個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小時(shí) 必須同時(shí)指出自變量x的變化趨勢(shì) 例如 2 零是無(wú)窮小 但無(wú)窮小不一定等于零 例如 一個(gè)固定的正數(shù)無(wú)論多么小 總存在比它更小 另外 不能把無(wú)窮小與很小的正數(shù)相混淆 的正數(shù) 就不是無(wú)窮小 3 關(guān)于無(wú)窮小的分類 某空心鄰域 并且存在點(diǎn)a的 特別地 如果當(dāng) 為正無(wú)窮小 同樣地 如果當(dāng) 為負(fù)無(wú)窮小 顯然 正 負(fù)無(wú)窮小都是非零無(wú)窮小 例12設(shè)試證當(dāng) 是無(wú)窮小 但不是非零無(wú)窮小 證 因 所以 是無(wú)窮小 任意給定的空心鄰域 都存在正整數(shù)n滿足 即 使得 故 是無(wú)窮小 但不是非零無(wú)窮小 成立 定理1 4 無(wú)窮小的比較定理 其中為常數(shù) 1 1 5無(wú)窮小的性質(zhì) 定理1 5 局部有界性 證 鄰域內(nèi)有界 若 則在a的某個(gè)空心 則存在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域 因 取 即在a的空心鄰域內(nèi)有界 有 定理1 6有限多個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小 證 則存在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域 設(shè) 且 且 于是 即 證 例13設(shè)為n次多項(xiàng)式 且則 注意 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小 因 可寫(xiě)成 所以 即是n個(gè)無(wú)窮小之和 定理1 7無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮小 證 設(shè) 且在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域 內(nèi) 有 由定理1 4 有 則 都是無(wú)窮小 例如 當(dāng) 例14證明 證 因 不妨設(shè) 于是 又 推論1 1有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 證由定理1 5和定理1 7 即有推理1 1成立 由定理1 7 有 1 1 6無(wú)窮大 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大 定義1 5設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義 都存在點(diǎn)a的空心鄰域 若 記作 或 則稱時(shí)為無(wú)窮大 無(wú)窮大量的幾何直觀 分別稱為正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大 說(shuō)明 1 如果把上面定義中的分別改為 1 兩個(gè)正 負(fù) 無(wú)窮大之和仍為正 負(fù) 無(wú)窮大 2 有界變量與無(wú)窮大的和 差仍為無(wú)窮大 3 恒不為零的非無(wú)窮小 或無(wú)窮大 與無(wú)窮大 2 由無(wú)窮大的定義容易證明 之積仍為無(wú)窮大 是 不定式極限 需要具體分析 無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系 則當(dāng)時(shí) 有 設(shè)在a的某空心鄰域內(nèi)有定義 意義 有關(guān)無(wú)窮大的討論 都可歸結(jié)為無(wú)窮小的討論 使得 定理1 8設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有 常數(shù) 定義 如果當(dāng)時(shí) 且存在 例15證明 證1 不妨設(shè) 因 于是 由定理1 8 有 例15證明 證2 不妨設(shè) 因 于是 先證明 所以 故 注意 無(wú)窮大是變量 不能與很大的數(shù)混淆 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量 但 不可認(rèn)為極限存在 是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大 有界 無(wú)界 無(wú)窮大 存在某 時(shí)刻 那時(shí)刻后 一切x 均滿足 概念回放 例16證明在內(nèi)無(wú)界 但當(dāng) 不是無(wú)窮大 證 顯然 所以在內(nèi)無(wú)界 所以不是無(wú)窮大 1 1 7本節(jié)要點(diǎn) 主要結(jié)論包括三個(gè)最基本的無(wú)窮小和一個(gè)關(guān)于無(wú)窮小的比較定理 本節(jié)我們用比較直接的形式介紹了無(wú)窮小的概念 成立 本書(shū)中有關(guān)極限的其它大多數(shù)結(jié)論都可以由這四個(gè)基本事實(shí)推導(dǎo)出來(lái) 請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中注意體會(huì) 其中為常數(shù) 作業(yè) P338