北京工業(yè)大學線性代數(shù)第一章第五節(jié).ppt

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第五節(jié)行列式按一行 列 展開 一 余子式 代數(shù)余子式的概念二 行列式按行 列 展開法則 2 三階行列式與二階行列式的關(guān)系 3 數(shù)余子式的乘積之和 3階行列式等于它的第一行元素與自己的代 說明 上述結(jié)論對于n階行列式的任意一行也成立 猜想 4 階行列式中 把元素 稱為 而 的代數(shù)余子式 在 所在的第 行和第 列劃去后 留下來的 階行列式稱 的余子式 記作 如 一 余子式與代數(shù)余子式 定義 為元素 5 式和一個代數(shù)余子式 行列式的每個元素分別對應著一個余子 注 6 一個n階行列式 如果其中第 例如 引理 行所有 元素除 外都為零 那末這個行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積 即 二 行列式按行 列 展開法則 7 當aij位于第一行第一列時 又 從而 證明 8 把D的第i行依次與第i 1行 i 2行 1行對調(diào) 得 若aij位于第i行第j列 9 把D的第j列依次與第j 1列 j 2列 1列對調(diào) 得 10 11 中的余子式 在 中的余子式 也是 在 12 于是有 13 行列式等于它的任一行 列 的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和 即 證 定理 14 15 用行列式按行 列 展開法則可將行列式降階 將計算1個三階行列式轉(zhuǎn)換為計算3個二階行列式 一個n階行列式按行 列 展開后 得到n個n 1階行列式 可以減少計算量 如 說明 16 計算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行 列 許多元素化成0 然后再按這一行 列 展開 這樣繼續(xù)下去 總可以將一個高階行列式的求值問題轉(zhuǎn)化成2階行列式的求值問題 從而大大簡化了計算 為了盡量避免分數(shù)運算 盡可能選擇1或 1所在的行 或列 把該行 或列 的許多元素化成0 然后按該行 或列 展開 說明 17 例1 18 例2 計算行列式 書P22例1 5 2 解 19 例3 證明 證 按行列式第一行展開 左端 20 用數(shù)學歸納法可以證明 21 例4 計算階行列式 解 22 問題 把下述3階行列式的第1行元素與第2行相應元素的代數(shù)余子式相乘再相加 結(jié)果如何呢 說明 3階行列式的第1行元素與第2行相應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0 猜想 n階行列式也有類似結(jié)論 0 把D中的第2行元素換成第1行元素 得下述行列式 按第二行展開 23 行列式D的任一行 列 的元素與另一行 列 對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 證 定理 設 把D中的第j行元素換成第i行元素 得下述行列式 24 0 由于行列式的行與列的地位對稱 因此也有 將該行列式按第j行展開 得 25 如上兩個定理可以寫成 26 證 用數(shù)學歸納法 例5 證明范德蒙德 Vandermonde 行列式 27 看n階范德蒙行列式 假設 1 對于n 1階范德蒙行列式成立 按第1列展開 并把每列的公因子 提出 就有 28 n 1階范德蒙德行列式 說明 范德蒙行列式在許多實際問題中出現(xiàn) 我們可以用公式 1 立即寫出它的值 29 例6 計算行列式 解 30 例7 設n階行列式 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成 31 32 練習 設行列式 第三行各元素的代數(shù)余子式依次是 求 答案 48 注 第一章習題12題之前的都可以做