2019春九年級數(shù)學下冊 28 銳角三角函數(shù) 28.2 解直角三角形及其應用 28.2.2 教學活動學案 （新版）新人教版.doc

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數(shù)學活動 學習目標 (1)會制作測角儀,應用制作的測角儀測量實物的高度,體會三角函數(shù)和解直角三角形在實際生活中的應用價值; (2)在實際操作中培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力. 學習過程 一、自主預習 問題: 1.什么是解直角三角形? 答: 2.解直角三角形的依據(jù)是什么? 答: 3.應用解直角三角形解決實際問題的的一般步驟是什么? 答: 二、活動1　制作測角儀,測量樹的高度 閱讀教科書“活動1”,思考: 1.制作測角儀,測量樹的高度的步驟: (1)把一根細線固定在半圓形量角器的　　　,細線的另一端系一個小重物,制成一個簡單的測角儀,利用它可以測量仰角或俯角; (2)將這個儀器用手托住,拿到眼前,使視線沿著儀器的　　　剛好到達樹的最高點; (3)得出　　　的度數(shù); (4)測出你到　　　的距離; (5)計算這棵樹的高度. 2.(1)測角儀是由哪幾個部分組成的? (1)答: (2)測角儀上角的讀數(shù)與仰角有怎樣的關系? 答: 3.樹的高度怎樣計算? 答: 三、活動2　利用測角儀測量塔高 閱讀教科書“活動2”,思考: 1.利用測角儀測量塔高的一般步驟? (1)在塔前的平地點選擇一點A,用活動1中制作的測角儀測出你看　　　的仰角α; (2)在A點和塔之間選擇一點B,測出你由B點看　　　的仰角β; (3)量出　　　　　　　　　　　　; (4)計算塔的高度. 2.塔的高度怎樣計算? 答: 四、總結反思 請同學們回顧本節(jié)課的內容,說一說“活動1”和“活動2”的測量方法有什么區(qū)別? 答: 評價作業(yè) 1.(8分)元旦期間,小明帶領小組成員做了測量電線桿高度的活動,在離電線桿21米的D點,用高1.2米的測角儀CD測得電線桿頂端A的仰角α=30,則電線桿AB的高為(　　) A.(93+1.2)米 B.(73+1.2)米 C.(92+1.2)米 D.(72+1.2)米 2.(8分)周末,小明和小華來濱湖新區(qū)渡江紀念館游玩,看到高雄挺拔的“勝利之塔”,萌發(fā)了用所學知識測量塔高的想法,如圖,他倆在塔AB前的平地上選擇一點C,樹立測角儀CE,測出看塔頂?shù)难鼋羌s為30,從C點向塔底B走70米到達D點,測出看塔頂?shù)难鼋羌s為45,已知測角儀器高為1米,則塔AB的高大約為(3≈1.7)(　　) A.141米 B.101米 C.91米 D.96米 3.(8分)小明和小剛一起去測上海東方明珠塔(BC)的高度,如圖所示,他們在離塔200米的大樓樓頂A處用測角儀測得的仰角∠BAE=60(AE與地面CD平行),塔底的俯角∠CAE=30,則該塔的高為(　　)米(測角儀的高度不計) A.3003 B.400 C.80033 D.100+2003 4.(8分)如圖,為了測量某建筑物BC的高度,小明先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30,然后在水平地面上向建筑物前進了10 m到達D處,此時遇到一斜坡,坡度i=1∶3,沿著斜坡前進10米到達E處測得建筑物頂部的仰角是45,請求出該建筑物BC的高度為(　　)(結果可帶根號) A.53+5 B.52+5 C.52+10 D.53+10 5.(10分)B為一建筑物BC的最高點,B在地面上的投影為E,從地面上的A點,用測角儀測得B點的仰角為α,測角儀高AD=b,若AC=a,則建筑物CB的高可表示為　　　　.　 6.(10分)如圖,山腳下有一棵樹AB,小強從點B沿山坡向上走50 m到達點D,用高為1.5 m的測角儀CD測得樹頂為10,已知山坡的坡腳為15,則樹AB的高=　　　　(精確到0.1 m)(已知sin 10≈0.17,cos 10≈0.98,tan 10≈0.18,sin 15≈0.26,cos 15≈0.97,tan 15≈0.27). 7.(10分)在湖心有一座塔,小明想知道這座塔的高度,于是他在岸邊架起了測角儀.他測量得數(shù)據(jù)如下(如圖示):測角儀位置(P)距水平面(l)的距離為1.5米(即OP),測得塔頂A的仰角為α(其中tan α=13),測得塔頂在水中倒影A1(即AB=A1B)的俯角為30.那么這座塔的高度AB=　　　　.(結果保留根號) 8.(12分)如圖所示,為了知道樓房CD外墻上一電子屏的高度DE是多少,某數(shù)學活動小組利用測角儀和米尺等工具進行如下操作;在A處測得點E的仰角為31,在B出測得點D的仰角為50,A、B、H共線,且AH⊥CD于點H,AB為20米,測角儀的高度(AF、BG)為1.6米.已知樓房CD高為34.6米,根據(jù)測量數(shù)據(jù),請求出DE的高度.(參考數(shù)據(jù):tan 31≈0.6,tan 50≈1.2) 9.(12分)如圖,為了測量一棵樹被風吹斜了的大樹的高度,某人從大樹底部B處往前走20米到C處,用測角儀測得樹頂A的仰角為30,已知測角儀的高CD為1米,大樹與地面成45的夾角(平面ABCD垂直于地面),求大樹的高(保留根號). 10.(14分)某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖,大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為12米,它的坡度i=1∶3.在離C點40米的D處,用測角儀測得大樓頂端A的仰角為37,測角儀DE的高為1.5米,求大樓AB的高度約為多少米?(結果精確到0.1米) (參考數(shù)據(jù):sin 37≈0.60,cos 37≈0.80,tan 37≈0.75,3≈1.73) 參考答案 學習過程 一、自主預習 1.答:解直角三角形就是由直角三角形中的已知元素(至少有一條邊),求出其余未知元素的過程. 2.答:解直角三角形的依據(jù)是以下3個關系: (1)三邊之間關系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)兩銳角之間關系:∠A+∠B=90; (3)邊角之間關系:sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab. 3.答:(1)將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題); (2)根據(jù)問題中的條件,適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形; (3)得到數(shù)學問題的答案; (4)得到實際問題的答案. 二、活動1　制作測角儀,測量樹的高度 1.(1)圓心處　(2)直徑　(3)仰角α　(4)樹根 2.(1)答:測角儀由量角器、細線、小重物等組成. (2)答:測角儀上角的讀數(shù)與仰角是互余的關系. 3.答:樹的高度=人到樹根的距離tan α+測角儀的高度,其中α是所測仰角. 三、活動2　利用測角儀測量塔高 1.(1)塔頂　(2)塔頂　(3)A、B兩點的距離 2.答:根據(jù)“塔高-測角儀高tanα-塔高-測角儀高tanβ=A、B兩點的距離”列出方程,解方程求出塔高. 四、總結反思 答:“活動1”需要測量一個角度和兩個距離,通過計算便可得到樹高,適用于測量底部可以到達的物體高度;“活動2”需要測量兩個角度和兩個距離,通過解方程方可得到塔高,適合于測量底部不能到達的物體高度. 評價作業(yè) 1.B 2.D 3.C 4.D　解析:過E作EF⊥AB于F,EG⊥BC與G, ∵CB⊥AB, ∴四邊形EFBG是矩形, ∴EG=FB,EF=BG, 設CG=x米, ∵∠CEG=45, ∴FB=EG=CG=x, ∵DE的坡度i=1∶3, ∴∠EDF=30, ∵DE=10, ∴DF=10cos 30=53,BG=EF=10sin 30=5, ∴AB=10+53+x,BC=x+5, 在Rt△ABC中, ∵∠A=30, ∴BC=ABtan∠A, 即x+5=33(10+53+x), 解得:x=53+5, ∴BC=53+5+5=(53+10)米. 5.CB=b+atanα 6.23.2 m 7.(3+332)　解析:作PH⊥AB交AB于點H. 由題意可知:四邊形OPBH為矩形, ∴HB=OP=1.5. 在Rt△APH中,tan α=13, 令AH=k,PH=3k. 在Rt△A1PH中,∠A1PH=30, ∴A1H=PHtan 30=3, 又AB=A1B,得:k+1.5=3, 解得:k=3+332, ∴AB=AH+HB=3+332(米). 8.解:由題意知∠EAH=31,∠DBH=50,CH=AF=1.6, ∴DH=DC-CH=34.6-1.6=33, 在Rt△DBH中, ∵tan 50=DHBH=33BH, ∴BH=33tan50≈331.2=27.5, ∴AH=27.5+20=47.5. 在Rt△EAH中, ∵tan 31=EHAH=EH47.5, ∴EH=47.5tan 31≈28.5, ∴DE=DH-EH≈33-28.5=4.5(米). 答:DE的高度約為4.5米. 9.解:作AE⊥BC于點E,作DF⊥AE于點F,交AB于點G,作GH⊥CE于點H. 設AF=x,在△ADF中,∠ADF=30,則DF=3x, 在直角△AGF中,∠ADF=45,則GF=AF=x, 在直角△BGH中,∠ABE=45,GH=CD=1,則BH=GH=1, ∴DG=BC+BH=20+1=21(米), ∵DF-GF=DG, ∴3x-x=21, 解得:x=213-1=21(3+1)2(米), 則AE=AF+EF=21(3+1)2+1=213+232(米). 則樹高AB=2AE=216+2322(米). 答:大樹的高是216+2322米. 10.解:延長AB交直線DC于點F,過點E作EH⊥AF,垂足為點H. ∵在Rt△BCF中,BFCF=i=1∶3, ∴設BF=k,則CF=3k,BC=2k. 又∵BC=12,∴k=6,∴BF=6,CF=63. ∵DF=DC+CF, ∴DF=40+63. ∵在Rt△AEH中,tan∠AEH=AHEH, ∴AH=tan 37(40+63)≈37.785(米), ∵BH=BF-FH,∴BH=6-1.5=4.5. ∵AB=AH-HB,∴AB=37.785-4.5≈33.3. 答:大樓AB的高度約為33.3米.