2019版八年級數(shù)學下冊 第四章 因式分解試題 (新版)北師大版.doc
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第四章 因式分解 1.因式分解的方法 名稱 提公因式法 平方差公式 完全平方公式 公式 ma+mb+mc =m(a+b+c) a2-b2=(a+b)(a-b) a22ab+b2=(ab)2 項數(shù) 最少兩項 兩項 三項 適用 條件 有公因式 平方差形式 (1)兩項. (2)每項都是平方的形式.(3)兩項符號相反 完全平方形式(1)三項. (2)兩項是平方的形式. (3)另一項是兩數(shù)乘積的二倍 【例1】分解因式:2x2-6x=________. 【標準解答】兩項中都含有公因式2x,提取公因式2x得2x2-6x=2x(x-3). 答案:2x(x-3) 【例2】分解因式:4x2-1=________. 【標準解答】4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1). 答案:(2x+1)(2x-1) 【例3】分解因式:(a+b)3-4(a+b)=________. 【標準解答】(a+b)3-4(a+b) =(a+b)(a+b)2-22 =(a+b)(a+b+2)(a+b-2). 答案:(a+b)(a+b+2)(a+b-2) 【例4】分解因式:a3-10a2+25a=________. 【標準解答】a3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2. 答案:a(a-5)2 【例5】分解因式:(2a-b)2+8ab =________. 【標準解答】(2a-b)2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2. 答案:(2a+b)2 1.下列各式能用完全平方公式進行分解因式的是( ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 2.分解因式:(x+3)2-(x+3)=________. 3.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4-4=________. 4.因式分解:x3y2-x5=________. 5.分解因式:-a3+a2b-14ab2=________. 6.給出三個多項式12x2+x-1,12x2+3x+1,12x2-x,請你選擇其中兩個進行加法運算,并把結(jié)果因式分解. 2.分解因式與整體代入求值 (1)利用平方差公式分解因式,再整體代入求值 通過對已知條件或?qū)λ蟠鷶?shù)式利用平方差公式進行因式分解,再整體代入求值. 【例1】若m2-n2=6,且m-n=2,則m+n=________. 【標準解答】m2-n2=(m+n)(m-n) =2(m+n)=6,∴m+n=3. 答案:3 (2)利用完全平方公式分解因式,再整體代入求值 通過對已知條件利用完全平方公式分解因式,對所求代數(shù)式化簡分解因式,找出已知條件與所求代數(shù)式之間的關(guān)系,然后整體代入求值. 【例2】已知a2+2ab+b2=0,求代數(shù)式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 【標準解答】∵a2+2ab+b2=0,∴a+b=0, 又∵a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b). ∴原式=4b0=0. 1.若m-n=2,m+n=5,則m2-n2的值為________. 2.已知m+n=3,求2m2+4mn+2n2-6的值. 3.因式分解的解題技巧 (1)通過加減變形,進行因式分解 分解某些多項式,有時需要加上并減去一個適當?shù)捻?,從而在多項式的值保持不變的前提下達到因式分解的目的. 【例1】分解因式:4a4+1. 【標準解答】本題只需在原式中加上并減去4a2,即能運用完全平方公式和平方差公式進行分解. 原式=4a4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2 =(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1). (2)通過拆項變形,進行因式分解 當多項式的因式分解遇到困難時,有時也可考慮采用拆項的方法,將多項式中的某一項進行拆分,然后將新得到的多項式進行適當組合,同樣可以實現(xiàn)因式分解. 【例2】分解因式:2x3+3x2-1. 【標準解答】將3x2拆成2x2+x2,再將2x2與2x3組合,x2與-1組合,則能運用提取公因式法與平方差公式進行分解. 原式=2x3+2x2+x2-1 =(2x3+2x2)+(x2-1) =2x2(x+1)+(x+1)(x-1) =(x+1)(2x2+x-1). (3)通過換元變形,進行因式分解 當多項式的次數(shù)較高,且其中含有相同的多項式因子時,采用換元法就能降低原多項式的次數(shù),從而簡化因式分解操作. 【例3】分解因式:(a2+2a)(a2+2a+4)+4. 【標準解答】設y=a2+2a,則原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2, ∴(a2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2. (4)由整式的乘法可知,(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系可得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式. 例如,將式子x2+3x+2分解因式,這個式子的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項2=12,一次項系數(shù)3=1+2,因此這是一個符合x2+(p+q)x+pq型的式子,利用這個關(guān)系可得x2+3x+2=(x+1)(x+2). 【例4】利用這種方法,將下列多項式分解因式. (1)x2+9x+20. (2)x2-7x+12. 【標準解答】(1)x2+9x+20=(x+4)(x+5). (2)x2-7x+12=(x-3)(x-4). 1.分解因式: (1)x2-7x-8. (2)x2+3x-18. (3)a2+7ab+12b2. (4)(a+b)2-5(a+b)-14. 2.先閱讀以下材料,然后解答問題. 分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y);也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y). 以上分解因式的方法稱為分組分解法.請用分組分解法分解因式:a3-b3+a2b-ab2. 3.觀察下列分解因式的過程: x2+2ax-3a2 =x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再減去a2) =(x+a)2-4a2(運用完全平方公式) =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x+3a)(x-a). 像上面這樣通過加減項配出完全平方式,把二次三項式分解因式的方法,叫做配方法.請你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2. 跟蹤訓練答案解析 1.因式分解的方法 【跟蹤訓練】 1.【解析】選D.根據(jù)完全平方公式:a22ab+b2=(ab)2可得,選項A,B,C都不能用完全平方公式進行分解因式,D選項x2+4x+4=(x+2)2. 2.【解析】(x+3)2-(x+3) =(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2). 答案:(x+3)(x+2) 3.【解析】x4-4=(x2+2)(x2-2)= (x2+2)(x+2)(x-2). 答案:(x2+2)(x+2)(x-2) 4.【解析】x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x). 答案:x3(y-x)(y+x) 5.【解析】原式=-aa2-ab+14b2 =-aa-12b2. 答案:-aa-12b2 6.【解析】如:12x2+x-1+12x2+3x+1=12x2+12x2+(x+3x)+(-1+1) =x2+4x=x(x+4). 又如:12x2+3x+1+12x2-x=x2+2x+1=(x+1)2. 2.分解因式與整體代入求值 【跟蹤訓練】 1.【解析】m2-n2=(m+n)(m-n)=52=10. 答案:10 2.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6. ∵m+n=3,∴2(m+n)2-6=232-6=12. 3.因式分解的解題技巧 【跟蹤訓練】 1.【解析】(1)x2-7x-8=(x-8)(x+1). (2)x2+3x-18=(x+6)(x-3). (3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b). (4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2). 2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2) =(a+b)2(a-b). 3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2 =x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2 =[(x-2y)+y][(x-2y)-y] =(x-y)(x-3y).- 配套講稿:
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