2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)37 立體幾何中的向量方法、（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)37 立體幾何中的向量方法、（含解析）一、填空題1. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為 ()A. B. C. D. 【解題提示】建立坐標(biāo)系,利用空間向量法求解.【解析】選C.如圖,分別以C1B1,C1A1,C1C為x,y,z軸,建立坐標(biāo)系.令A(yù)C=BC=C1C=2,則A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以=(-1,1,-2), =(0,-1,-2).cos=.故選C.二、解答題2. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)T18)(本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB平面AEC.(2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.【解題提示】(1)取AC的中點(diǎn),構(gòu)造中位線,利用線線平行證明線面平行.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出CD,利用向量法求得CD的長(zhǎng),然后用體積公式求得三棱錐E-ACD的體積.【解析】(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG.在三角形PBD中,中位線EGPB,且EG在平面AEC上,所以PB平面AEC.(2)設(shè)CD=m,分別以AD,AB,AP為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(,0,0),E,C(,m,0).所以=(,0,0), =,=.設(shè)平面ADE的法向量為=(x1,y1,z1),則=0, =0,解得一個(gè)=(0,1,0).同理設(shè)平面ACE的法向量為=(x2,y2,z2),則=0, =0,解得一個(gè)=(m,- ,-m).因?yàn)閏os=|cos|=,解得m=.設(shè)F為AD的中點(diǎn),則PAEF,且PA=,EF面ACD,即為三棱錐E-ACD的高.所以VE-ACD=SACDEF=.所以,三棱錐E-ACD的體積為.3. （xx四川高考理科18）三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示設(shè)，分別為線段，的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.【解題提示】本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖、空間線面垂直的判斷與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.【解析】（1）由三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐中：平面平面，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，于是， 所以平面因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，又，故假設(shè)不是線段的中點(diǎn)，則直線與直線是平面內(nèi)相交直線從而平面，這與矛盾所以為線段的中點(diǎn)（2）解法一：如圖，作于，連接，由（）知，所以因?yàn)?，所以為二面角的一個(gè)平面角由（）知，為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以=，由俯視圖知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因此在等腰直角中?作于，在中，所以,因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因此.同理可得，所以在等腰中，.故二面角的余弦值是.解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是，設(shè)平面和平面的法向量分別為和由，設(shè)，則由，設(shè)，則所以二面角的余弦值.4. （xx天津高考理科17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明 ；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.【解析】方法一：依題意，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得，.由為棱的中點(diǎn)，得.（1）向量，故. 所以，.（2）向量，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.于是有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.（3）向量，.由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.故.由，得，因此，解得.即.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.取平面的法向量，則.易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.方法二:（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，.由于分別為的中點(diǎn)， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以. 因?yàn)榈酌妫?，而，從而平面，因?yàn)槠矫?，于是，又，所?（1） 連接，由（1）有平面，得，（2） 而，故.又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角.依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.故在直角三角形中，因此. 所以，直線與平面所成角的正弦值為.（3）如圖，在中，過點(diǎn)作交于點(diǎn).因?yàn)榈酌?，故底面，從?又，得平面，因此.在底面內(nèi)，可得，從而.在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，于是.由于，故，所以四點(diǎn)共面.由，得平面，故.所以為二面角的平面角.在中，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值為.5. （xx湖南高考理科19）（本小題滿分12分）如圖6，四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，四邊形均為矩形（1）證明：（2）若的余弦值【解題提示】（1）利用矩形的鄰邊垂直，及線線平行證明；（2）由二面角的定義或者向量法求二面角的大小?！窘馕觥浚?）因?yàn)樗倪呅尉鶠榫匦?，所?又,所以,因?yàn)?所以（2）解法一：如圖過作,垂足為,連接，由（1）可得，由于是菱形，所以,所以,所以由三垂線定理得,所以就是二面角的平面角。設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)?所以,在直角三角形中, ,因?yàn)?所以,所以,即二面角的余弦值為。解法二：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等，所以四邊形為菱形，又所以兩兩垂直。如圖以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)棱長(zhǎng)為2，因?yàn)?所以，所以,平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由,所以，取則，所以，所以。由圖形可知二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為。6.(xx廣東高考理科)(13分)四邊形ABCD為正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于點(diǎn)F,FECD,交PD于點(diǎn)E.(1)證明:CF平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解題提示】(1)采用幾何法較為方便,證AD平面PCDCFAD,又CFAFCF平面ADF.(2)采用向量法較為方便,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=2,計(jì)算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐標(biāo),注意到為平面ADF的法向量,結(jié)合其求二面角.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以ADDC.又PD平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD,DCPD=D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以CFAD,而AFPC,即AFFC,又ADAF=A,所以CF平面ADF.(2)以D為原點(diǎn),DP,DC,DA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=2,由(1)知PCDF,即CDF=DPC=30,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,則D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0), =,=,=,設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),由得取x=4,有y=0,z=,則n=(4,0, ),又平面ADF的一個(gè)法向量為=,所以cos=-,所以二面角D-AF-E的余弦值為.7.（xx福建高考理科17）17.（本小題滿分12分）在平行四邊形中，.將沿折起，使得平面平面，如圖.（1） 求證：；（2） 若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【解題指南】由面面垂直性質(zhì)定理先推得線面垂直,再進(jìn)而推得線面垂直建立坐標(biāo)系，由線面角公式求解即可【解析】(1)平面ABD平面BCD，且兩平面的交線為BD，平面ABD，ABBD，2分AB平面BCD，又平面BCD，ABCD；4分(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作，如圖，由(1)知AB平面BCD，平面BCD，平面BCD，6分以B為坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)，以 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，得，.8分則，9分設(shè)平面MBC的法向量，則，即，取，得平面MBC的一個(gè)法向量，10分設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則，12分即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.13分8. （xx山東高考理科17）如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是線段的中點(diǎn).（）求證：；（）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.【解題指南】(1)本題考查了線面平行的證法，可利用線線平行，也可利用面面平行，來證明線面平行；.(2)本題可利用空間幾何知識(shí)求解二面角，也可以利用向量法來求解.【解析】（）連接為四棱柱， 又為的中點(diǎn)，,為平行四邊形又 （）方法一： 作,連接則即為所求二面角在中， 在中，, .方法二：作于點(diǎn)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為 顯然平面的法向量為顯然二面角為銳角，所以平面和平面所成角的余弦值為9.(xx陜西高考理科T17)(本小題滿分12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H.(1)證明:四邊形EFGH是矩形.(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值.【解題指南】(1)先證得四邊形EFGH為平行四邊形,再證得此平行四邊形的鄰邊相互垂直,注意從三視圖中推得已知.(2)利用已知正確建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因?yàn)锽C平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,所以BCFG,BCEH,所以FGEH.同理EFAD,HGAD,所以EFHG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.又由三視圖可知AD面BDC,所以ADBC,所以EFFG,所以四邊形EFGH是矩形.(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).設(shè)平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因?yàn)镋FAD,FGBC,所以n=0,n=0.得取n=(1,1,0),所以sin=|cos|=.10. （xx湖北高考理科19）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.（1） 當(dāng)時(shí)，證明：直線 平面;（2） 是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解題指南】（）建立坐標(biāo)系，求出，可得BC1FP，利用線面平行的判定定理，可以證明直線BC1平面EFPQ；（）求出平面EFPQ的一個(gè)法向量、平面MNPQ的一個(gè)法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結(jié)論【解析】以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得（）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即而，且，故直線 平面。（）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由可得，于是可取同理可得平面的一個(gè)法向量為若存在，使得平面與面所成的二面角為直二面角，則，即解得故存在，使平面與面所成的二面角為直二面角。11.（xx重慶高考文科20）如題(20)圖, 四棱錐 中,底面是以 為中心的菱形, 底面 , 為 上一點(diǎn),且 (1)證明: 平面 ; (2) 若 求四棱錐的體積. 【解題提示】 (1)在平面內(nèi)可以找到 與 垂直從而得出結(jié)論. (2)直接利用體積公式求解即可.【解析】（1）如答(20)圖,因?yàn)榱庑?為菱形中心,連接 則 因故又因 且 在 中, 所以故 又 底面 ,所以.從而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,所以 平面.(2)解:由(1)得, 設(shè) 由底面知,為直角三角形,故 由也是直角三角形,故連接,在中, 由已知 故為直角三角形,則即得 (舍去),即 此時(shí) 所以四棱錐的體積