四川省成都市高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 第7課時 離散型隨機變量的綜合應用同步測試 新人教A版選修2-3.doc

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第7課時離散型隨機變量的綜合應用基礎達標(水平一)1.已知X的分布列為X-101P12m16有以下三個結論:E(X)=-13;D(X)=119;P(X=0)=13.其中正確結論的個數(shù)為().A.0B.1C.2D.3【解析】由分布列知P(X=0)=13,E(X)=(-1)12+116=-13,D(X)=-1+13212+0+13213+1+13216=59.故正確.【答案】C2.已知離散型隨機變量的分布列如下:012P0.33k4k若隨機變量=2+1,則的數(shù)學期望為().A.1.1B.3.2C.2.2D.4.4【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.【答案】B3.某運動員投籃命中率為0.6,他重復投籃5次,若命中一次得10分,沒命中不得分,命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為().A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】由題意知XB(5,0.6),Y=10X,E(X)=50.6=3,D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120,故選C.【答案】C4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,若小明一周內每天都在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他連續(xù)5天等車時間不超過10分鐘的期望和方差分別是().A.54和52B.52和54C.12和34D.34和12【解析】如圖,畫出時間軸.小明到達發(fā)車站的時刻會隨機地落在圖中線段AB上,而當他到達發(fā)車站的時刻落在線段AC或DB上時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘.根據(jù)幾何概型,所求概率P=10+1040=12.因為小明一周內每天等車時間不超過10分鐘的概率都相同,所以小明連續(xù)5天等車時間不超過10分鐘的天數(shù)符合二項分布.依題意可得XB5,12.所以E(X)=np=512=52,D(X)=np(1-p)=51212=54.【答案】B5.隨機變量的取值為0,1,2.若P(=0)=15,E()=1,則D()=.【解析】設P(=1)=p,則P(=2)=45-p.由E()=015+1p+245-p=1,得p=35.故D()=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25.【答案】256.某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎,且相應獲獎概率是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列,相應獎金是以700元為首項,-140元為公差的等差數(shù)列,則參與該游戲獲得獎金的期望為元.【解析】a1+2a1+4a1=1,a1=17,E()=17700+27560+47420=500(元).【答案】5007.某師大附中高一研究性學習小組,在某一高速公路服務區(qū),從小型汽車中按進服務區(qū)的先后,以每間隔10輛就抽取1輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進行詢問調查.將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,統(tǒng)計后得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)此研究性學習小組在采集中,用到的是什么抽樣方法?并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;(2)若從車速在80,90)內的車輛中任意抽取3輛,求車速在80,85)和85,90)內都有車輛的概率;(3)若從車速在90,100內的車輛中任意抽取3輛,求車速在90,95)內的車輛數(shù)的數(shù)學期望.【解析】(1)此研究性學習小組在采樣中,用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣.這20輛小型汽車車速的眾數(shù)的估計值為87.5 km/h,中位數(shù)的估計值為87.5 km/h.(2)車速在80,90)內的車輛有(0.2+0.3)20=10輛,其中車速在80,85)和85,90)內的車輛分別有4輛和6輛.設事件Ai為“車速在80,85)內有i輛車”,事件Bj為“車速在85,90)內有j輛車”,事件A為“車速在80,85)和85,90)內都有車輛”,P(A)=P(A2B1)+P(A1B2)=C42C61C103+C41C62C103=45.(3)車速在90,100內的車輛共有7輛,車速在90,95)和95,100內的車輛分別有5輛和2輛.若從車速在90,100內的車輛中任意抽取3輛,設車速在90,95)內的車輛數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C51C22C73=17,P(X=2)=C52C21C73=47,P(X=3)=C53C20C73=27.故X的分布列為X123P174727車速在90,95)內的車輛數(shù)的數(shù)學期望為E(X)=117+247+327=157.拓展提升(水平二)8.已知隨機變量X的分布列為XmnP13a若E(X)=2,則D(X)的最小值為().A.0B.2C.4D.無法計算【解析】依題意有a=1-13=23,所以E(X)=13m+23n=2,即m+2n=6. 又D(X)=13(m-2)2+23(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以當n=2時,D(X)有最小值0.【答案】A9.從一批含有13件正品、2件次品的產品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,設抽取的次品數(shù)為,則E(5+1)=().A.2B.1C.3D.4【解析】的可能取值為0,1,2,P(=0)=C133C153=2235,P(=1)=C21C132C153=1235,P(=2)=C22C131C153=135.所以的分布列為012P22351235135E()=02235+11235+2135=25,所以E(5+1)=5E()+1=525+1=3.【答案】C10.退休年齡延遲是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構為了了解某城市市民的年齡構成,從該城市市民中隨機抽取年齡段在20,80內的600人進行調查,并按年齡層次繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規(guī)定年齡分布在60,80內的人為“老年人”,將上述人口分布的頻率視為該城市年齡段在20,80的人口分布的概率.從該城市年齡段在20,80內的市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人”的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學期望為.【解析】由頻率分布直方圖可知,“老年人”所占頻率為15,從該城市年齡段在20,80內的市民中隨機抽取3人,抽到“老年人”的概率為15.隨機變量X服從二項分布,且XB3,15,隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=315=35.【答案】3511.如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”,記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內,此時“立體”的體積V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及數(shù)學期望E(V).【解析】(1)從6個點中隨機選取3個點,共有C63=20種選法,選取的3個點與原點O在同一個平面上的選法有C31C43=12種,故P(V=0)=1220=35.(2)V的所有可能取值為0,16,13,23,43,P(V=0)=35,PV=16=C33C63=120,PV=13=C32C63=320,PV=23=C32C63=320,PV=43=C33C63=120.因此V的分布列為V016132343P35120320320120故E(V)=035+16120+13320+23320+43120=940.