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課時訓練(十五) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)
(限時:50分鐘)
|夯實基礎|
1.[xx畢節(jié)] 將拋物線y=x2向左平移2個單位,再向下平移5個單位,平移后所得新拋物線的表達式為 ( )
A.y=(x+2)2-5 B.y=(x+2)2+5
C.y=(x-2)2-5 D.y=(x-2)2+5
2.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點為(m,0),則代數(shù)式m2-m+xx的值為 ( )
A.xx B.xx
C.xx D.2019
3.[xx棗莊] 已知函數(shù)y=ax2-2ax-1(a是常數(shù),a≠0),下列結(jié)論正確的是 ( )
A.當a=1時,函數(shù)圖象經(jīng)過點(-1,1)
B.當a=-2時,函數(shù)圖象與x軸沒有交點
C.若a<0,函數(shù)圖象的頂點始終在x軸的下方
D.若a>0,則當x≥1時,y隨x的增大而增大
4.若拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有交點,則m的取值范圍是 ( )
A.m≤2 B.m<-2
C.m>2 D.0
5-1.以上結(jié)論中,正確的結(jié)論序號是 .
圖K15-3
11.已知拋物線y=(x-m)2-(x-m),其中m是常數(shù).
(1)求證:不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個公共點.
(2)若該拋物線的對稱軸為直線x=52.
①求該拋物線所對應的函數(shù)表達式;
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位后,得到的拋物線與x軸只有一個公共點?
|拓展提升|
12.[xx永州] 如圖K15-4①,拋物線的頂點A的坐標為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點,與y軸交于點E(0,3).
(1)求拋物線的表達式.
(2)已知點F(0,-3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最小?如果存在,求出點G的坐標;如果不存在,請說明理由.
(3)如圖K15-4②,連接AB,若點P是線段OE上的一動點,過點P作線段AB的垂線,分別與線段AB、拋物線相交于點M,N(點M,N都在拋物線對稱軸的右側(cè)),當MN最大時,求△PON的面積.
圖K15-4
13.[xx懷化] 如圖K15-5,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求拋物線的表達式和直線AC的表達式.
(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標.
(3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
圖K15-5
參考答案
1.A
2.D [解析] ∵拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點為(m,0),∴m2-m-1=0,
∴m2-m=1,∴m2-m+xx=1+xx=2019.
3.D [解析] 將a=1代入原函數(shù)表達式,令x=-1,求出y=2,由此得出A選項不符合題意;將a=-2代入原函數(shù)表達式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根據(jù)根的判別式Δ=8>0,可得出當a=-2時,函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點,即B選項不符合題意;利用公式法找出二次函數(shù)圖象的頂點坐標,令其縱坐標小于零,可得出a的取值范圍,由此可得出C選項不符合題意;利用公式法找出二次函數(shù)圖象的對稱軸,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出D選項符合題意.
4.A [解析] 由題意可知Δ=4-4(m-1)≥0,∴m≤2,故選A.
5.D [解析] ∵二次函數(shù)y=x2+mx圖象的對稱軸是直線x=2,∴-m2=2,解得m=-4,∴關(guān)于x的方程x2+mx=5可化為x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.
6.B [解析] ∵拋物線的開口向上,頂點的縱坐標為-3,
∴a>0,-b24a=-3,即b2=12a.
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根,
∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,
即12-4m≥0,解得m≤3,
∴m的最大值為3.
7.D [解析] 根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知,a>0,又拋物線過坐標原點,∴c=0.∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2a,∴0<-b2a<1,解得-2a1 [解析] 根據(jù)拋物線y=x2+2x+m與x軸沒有公共點可知,方程x2+2x+m=0沒有實數(shù)根,
∴判別式Δ=22-41m<0,∴m>1.
9.y=x2+2
10.①④ [解析] 由圖象可知拋物線開口向上,∴a>0,由拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(0,-2),對稱軸在y軸的右側(cè)可得a-b+c=0,c=-2,-b2a>0,由此可得a-b=2,b<0,故a=2+b<2,綜合可知00,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1,
故原函數(shù)為y=x2-x-2,當y=0時,即有x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,x2=2>5-1.
故答案為①④.
11.解:(1)證明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,
∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,
∴不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個公共點.
(2)①∵x=--(2m+1)2=52,∴m=2,
∴拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=x2-5x+6.
②設拋物線沿y軸向上平移k個單位后,得到的拋物線與x軸只有一個公共點,則平移后拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=x2-5x+6+k.
∵拋物線y=x2-5x+6+k與x軸只有一個公共點,
∴Δ=25-4(6+k)=0,∴k=14,
即把該拋物線沿y軸向上平移14個單位后,得到的拋物線與x軸只有一個公共點.
12.解:(1)設所求二次函數(shù)的表達式為y=a(x-1)2+4,∵拋物線與y軸交于點E(0,3),∴a(0-1)2+4=3,解得a=-1,∴所求二次函數(shù)的表達式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.
(2)存在一點G,使得EG+FG最小.
∵拋物線的頂點A的坐標為(1,4),
∴與點E(0,3)關(guān)于拋物線對稱軸x=1成軸對稱的點為E(2,3).如圖①,連接EF,設直線EF的函數(shù)表達式為y=kx+b,
∴2k+b=3,b=-3,解得k=3,b=-3,即y=3x-3,
當x=1時,y=0,即點G(1,0),使得EG+FG最小.
(3)如圖②,連接AN,BN,過點N作NT∥y軸交AB,x軸分別于點S,T.
在y=-x2+2x+3中,當y=0時,x1=-1,x2=3,
則B(3,0).
∵A(1,4),B(3,0),∴AB=25.
設直線AB的函數(shù)表達式為y=mx+t,
∴m+t=4,3m+t=0,解得m=-2,t=6,即y=-2x+6.
設N(n,-n2+2n+3),則S(n,-2n+6),∴NS=-n2+4n-3.
∵S△ABN=S△ANS+S△BNS,
∴12ABMN=12NS(3-1),∴MN=55(-n2+4n-3)=-55(n2-4n+3)=-55(n-2)2+55,∴當n=2,
即N(2,3)時,MN最大,為55.
∵PN⊥AB,∴設直線PN的函數(shù)表達式為y=12x+c,且N(2,3),∴c=2,則y=12x+2,
∴點P(0,2),
∴S△OPN=12OPxN=1222=2.
13.[解析] (1)利用待定系數(shù)法求拋物線和直線的表達式.
(2)根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,作點D關(guān)于y軸的對稱點D1,連接BD1,BD1與y軸的交點即為所求的點M,然后求出直線BD1的表達式,再求解即可.
(3)可分兩種情況(①以C為直角頂點,②以A為直角頂點)討論,然后根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系求出P點所在直線的表達式,將直線和拋物線的表達式聯(lián)立求出點P的坐標.
解:(1)將點A(-1,0)和B(3,0)的坐標代入拋物線y=ax2+2x+c中,可得a-2+c=0,9a+6+c=0,解得a=-1,c=3,
∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3.
令x=0,則y=3,∴點C的坐標為(0,3).
設直線AC的表達式為y=kx+b,
則-k+b=0,b=3,解得k=3,b=3.
∴直線AC的表達式為y=3x+3.
(2)如圖,作點D關(guān)于y軸的對稱點D1,連接BD1交y軸于點M,則點M即為所求.
由拋物線表達式可得D點的坐標為(1,4),則D1的坐標為(-1,4).
設直線BD1的表達式為y=k1x+b1,則3k1+b1=0,-k1+b1=4,
解得k1=-1,b1=3,則直線BD1的表達式為y=-x+3,令x=0可得y=3,則點M的坐標為(0,3).
(3)存在.
如圖①,當△ACP以點C為直角頂點時,
易得直線CP的表達式為y=-13x+3.
由y=-13x+3,y=-x2+2x+3,得x1=0,y1=3(舍去)x2=73,y2=209,
∴P點坐標為73,209.
如圖②,當△ACP是以點A為直角頂點時,易得直線AP的表達式為y=-13x-13.
由y=-13x-13,y=-x2+2x+3,
得x1=-1,y1=0(舍去)x2=103,y2=-139,
∴P點坐標為103,-139.
綜上,符合條件的點P的坐標為73,209或103,-139.
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