八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 10 解題技巧專題 特殊平行四邊形中的解題方法測(cè)試題 （新版）新人教版.doc

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解題技巧專題：特殊平行四邊形中的解題方法 類型一　特殊四邊形中求最值、定值問(wèn)題 一、利用對(duì)稱性求最值【方法10】 1．(xx青山區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，PQ，則DP＋PQ的最小值為_(kāi)_______． 第1題圖 第2題圖 2．(xx安順中考)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)_______． 二、利用面積法求定值 3． 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，則PE＋PF的值為_(kāi)_______． 【變式題】矩形兩條垂線段之和→菱形兩條垂線段之和→正方形兩條垂線段之和 (1)(xx眉山期末)如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為40，面積為25，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE＋PF等于________． 變式題(1)圖 變式題(2)圖 (2)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)且BE＝BC，點(diǎn)P為線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，則PM＋PN的值為_(kāi)_______． 類型二　正方形中利用旋轉(zhuǎn)性解題 4． 如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長(zhǎng)是__________． 5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，∠EAF＝45.求證：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF. 6．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且BP⊥CP，連接OP. 求證：BP＋CP＝OP. 參考答案與解析 1. 　解析：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC交AB于點(diǎn)E，則PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.當(dāng)點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線的時(shí)候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即為所求．當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最?。咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝5.∵S菱形ABCD＝ACBD＝ABDE，∴86＝5DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小值為. 2．6　解析：如圖，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P，連接BD.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P為AC與BE的交點(diǎn)時(shí)，PD＋PE最小，為BE的長(zhǎng)度．∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∴AB＝6.又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值為6.故答案為6. 3. 　解析：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝AC＝5.如圖，連接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴＋＝S△OBC，∴＋＝S△OBC.∵S△OBC＝S矩形ABCD＝ABBC＝68＝12，∴＋＝12，∴PE＋PF＝. 【變式題】(1)　解析：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40，面積為25，∴AB＝AD＝10，S△ABD＝.連接AP，則S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝. (2)　解析：連接BP，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴＋＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH為等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM＋PN＝EH＝. 4．3 5．證明：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得HB＝DF，連接AH.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90，AB＝AD.∴△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90－∠EAF＝90－45＝45，∴∠HAE＝∠EAF＝45.又∵AE＝AE，∴△AEF與△AEH關(guān)于直線AE對(duì)稱，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF. 6．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90.將△OCP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至△OBE(如圖所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360，∴∠OBP＋∠OCP＝180，∴∠OBP＋∠OBE＝180，∴E，B，P在同一直線上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90，即∠EOP＝90.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.