高中數(shù)學(xué) 2.4.1拋物線及其標準方程課件 新人教版選修2-1.ppt

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2 4拋物線2 4 1拋物線及其標準方程 一 拋物線的定義 定點F 定直線l 相等 思考 定義中為什么加上條件 l不經(jīng)過F 提示 若點F在直線l上 滿足條件的動點P的軌跡是過點F且垂直于l的直線 而不是拋物線 二 拋物線的標準方程 0 x 0 y 0 y 判斷 正確的打 錯誤的打 1 拋物線的方程都是二次函數(shù) 2 拋物線的焦點到準線的距離是p 3 拋物線的開口方向由一次項確定 提示 1 錯誤 拋物線的方程不都是二次函數(shù) 如開口向右的拋物線的方程為y2 2px p 0 對任一個x的值 y的值不唯一 所以不是二次函數(shù) 2 正確 在拋物線標準方程中 p 0 焦點到準線的距離為p 3 正確 一次項是x項時 p 0開口向右 p0開口向上 p 0開口向下 答案 1 2 3 知識點撥 1 對拋物線定義的理解 1 定義條件 直線l不經(jīng)過定點F 2 一動三定 一動 即動點P 三定 即定點F 定直線l和定值 也就是P到定點F與到定直線的距離的比值是定值1 2 拋物線標準方程的特點 1 方程特點 拋物線的標準方程是關(guān)于x y的二元二次方程 等號的左邊是其中一個變量的平方 另一邊是另一個變量的一次項 2 參數(shù)p 在拋物線的方程中只有一個參數(shù)p 它的幾何意義是焦點到準線的距離 因此p 0 p越大 拋物線開口越開闊 反之越扁狹 3 四種標準方程的位置的相同點 原點在拋物線上 焦點在坐標軸上 準線與焦點在原點兩側(cè) 且準線與其中一條坐標軸垂直 3 拋物線的焦點及開口方向 4 拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)的解析式為y ax2 bx c a 0 當b c為0時 y ax2表示焦點在y軸上的拋物線 標準方程為x2 y a 0時拋物線開口向上 a 0時 拋物線開口向下 當拋物線的開口方向向左或向右時 方程為y2 2px 這是一條曲線 不能稱為函數(shù) 類型一根據(jù)方程求焦點和準線方程 典型例題 1 2013 南昌高二檢測 拋物線x 2y2的準線方程是 A y B y C x D x 2 指出下列拋物線的焦點坐標和準線方程 1 y x2 2 x ay2 a 0 解題探究 1 求拋物線的焦點坐標和準線方程時 首先要做什么 2 當拋物線方程中含參數(shù)時 如何求焦點和準線 探究提示 1 求拋物線的焦點坐標和準線方程時 首先應(yīng)把所給方程化成標準形式 然后找出開口方向再求性質(zhì) 2 如果拋物線方程中含參數(shù) 要先把其化成標準方程 對參數(shù)應(yīng)分類討論 解析 1 選D 方程x 2y2的標準形式是y2 x 拋物線開口向左且p 準線方程為x 2 1 拋物線y x2的標準形式為x2 4y p 2 焦點坐標是 0 1 準線方程是y 1 2 拋物線x ay2 a 0 的標準形式為y2 x 2p 當a 0時 拋物線開口向右 焦點坐標是 0 準線方程是x 當a 0時 拋物線開口向左 焦點坐標是 0 準線方程是x 綜上所述 當a 0時 拋物線x ay2的焦點坐標為 0 準線方程為x 互動探究 題2 2 中 把方程改為x2 ay a 0 結(jié)果如何 解析 方程x2 ay是拋物線的標準形式 由方程知 其焦點在y軸上 其焦點坐標為 0 準線方程為y 拓展提升 1 求焦點坐標和準線方程的步驟 2 判斷焦點位置及開口方向的記憶口訣焦點要看一次項 符號確定開口方向 如果y是一次項 負時向下 正向上 如果x是一次項 負時向左 正向右 變式訓(xùn)練 2013 亳州高二檢測 若拋物線y2 2px的焦點與橢圓的右焦點重合 則p的值為 解題指南 求出拋物線的焦點和橢圓的右焦點 建立方程求解 解析 拋物線的焦點是 0 橢圓中 c2 6 2 4 右焦點為 2 0 由 2得p 4 答案 4 類型二求拋物線的標準方程 典型例題 1 2013 安陽高二檢測 設(shè)拋物線的頂點在原點 準線方程為x 2 則拋物線的方程是 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x2 根據(jù)下列條件 求拋物線的標準方程 1 焦點到準線的距離是4 2 過點 1 2 解題探究 1 求拋物線的標準方程的關(guān)鍵是什么 2 已知拋物線上一點時 如何確定開口方向 探究提示 1 求拋物線的標準方程的關(guān)鍵是首先明確拋物線焦點的位置 2 若點在第一象限時 拋物線的開口向右或向上 若點在第二象限時 拋物線的開口向上或向左 若點在第三象限時 拋物線的開口向左或向下 若點在第四象限時 拋物線的開口向下或向右 解析 1 選B 準線方程為x 2 焦點坐標為 2 0 故所求方程為y2 8x 2 1 p 4 拋物線的方程有四種形式 y2 8x y2 8x x2 8y x2 8y 2 方法一 點 1 2 在第一象限 要分兩種情形 當拋物線的焦點在x軸上時 設(shè)拋物線的方程為y2 2px p 0 則22 2p 1 解得p 2 拋物線方程為y2 4x 當拋物線的焦點在y軸上時 設(shè)拋物線的方程為x2 2py p 0 則12 2p 2 解得p 拋物線方程為x2 y 方法二 設(shè)所求拋物線的標準方程為y2 mx或x2 ny 將點 1 2 代入 得m 4 n 故所求的方程為y2 4x或x2 y 拓展提升 1 用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟 2 求拋物線的標準方程時需注意的三個問題 1 把握開口方向與方程間的對應(yīng)關(guān)系 2 當拋物線的類型沒有確定時 可設(shè)方程為y2 mx或x2 ny 這樣可以減少討論情況的個數(shù) 3 注意p與的幾何意義 變式訓(xùn)練 2013 新課標全國卷 設(shè)拋物線C y2 2px p 0 的焦點為F 點M在C上 MF 5 若以MF為直徑的圓過點 0 2 則C的方程為 A y2 4x或y2 8xB y2 2x或y2 8xC y2 4x或y2 16xD y2 2x或y2 16x 解析 選C 由題意知 準線方程為x 則由拋物線的定義知 xM 5 設(shè)以 為直徑的圓的圓心為所以圓方程為又因為過點 0 2 所以yM 4 又因為點 在 上 所以16 解得p 2或p 8 所以拋物線 的方程為y2 4x或y2 16x 類型三拋物線的實際應(yīng)用 典型例題 1 汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分 燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直 燈泡位于拋物線焦點處 已知燈口的直徑是24cm 燈深10cm 那么燈泡與反射鏡頂點 即截得拋物線頂點 間的距離是 2 一輛卡車高3m 寬1 6m 欲通過斷面為拋物線形的隧道 已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍 若拱寬為am 求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值 解題探究 1 對于實際問題的拋物線模型 建系有什么原則 2 解答實際問題應(yīng)注意什么 探究提示 1 一般地 遇拋物線模型的實際問題時 要注意把拋物線建在標準位置 即頂點在坐標原點 焦點建在坐標軸上 2 解答本類題時 一要合理畫出圖形 二要建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?三要關(guān)注點的坐標和圖形中線段的對應(yīng)關(guān)系 解析 1 取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸 拋物線的頂點為坐標原點 建立直角坐標系xOy 如圖所示 因燈口直徑 AB 24 燈深 OP 10 所以點A的坐標是 10 12 設(shè)拋物線的方程為y2 2px p 0 由點A 10 12 在拋物線上 得122 2p 10 所以p 7 2 所以拋物線的焦點F的坐標為 3 6 0 因此燈泡與反射鏡頂點間的距離是3 6cm 答案 3 6cm 2 以拱頂為原點 拱高所在直線為y軸 建立如圖所示的直角坐標系 設(shè)拋物線方程為x2 2py p 0 則點B的坐標為 由點B在拋物線上 2 2p p 拋物線方程為x2 ay 將點E 0 8 y 代入拋物線方程 得y 點E到拱底AB的距離為解得a 12 21 a取整數(shù) a的最小整數(shù)值為13 拓展提升 求解拋物線實際應(yīng)用題的五個步驟 變式訓(xùn)練 某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成 尺寸如圖所示 某卡車空車時能通過此隧道 現(xiàn)載一集裝箱 箱寬3m 車與箱共高4 5m 問此車能否通過該隧道 說明理由 解析 在以拋物線的頂點為坐標原點 以過頂點的水平直線為x軸建立的直角坐標系中 點A的坐標為 3 3 設(shè)拋物線方程為x2 2py 拋物線方程為x2 3y 如果此車能通過隧道 卡車和集裝箱應(yīng)處于以y軸為對稱軸的對稱位置 把點 x 0 5 代入x2 3y得x2 3 0 5 x 1 22 因此 高度為4 5m處 允許的寬度約為2 1 22 2 44 3 此車不能通過該隧道 與拋物線有關(guān)的軌跡問題 典型例題 1 2013 唐山高二檢測 已知定點A 0 1 直線l1 y 1 記過點A且與直線l1相切的圓的圓心為點C 則動點C的軌跡E的方程為 2 2013 瑞金高二檢測 點M到點F 0 的距離比到直線x 的距離小1 求點M滿足的方程 解析 1 根據(jù)條件可知 動圓的圓心C到點 0 1 的距離與到直線y 1的距離相等 所以滿足拋物線的定義 這里 1 焦點為 0 1 所以動點C的軌跡方程為x2 4y 答案 x2 4y 2 點M到點F 0 的距離比到直線x 的距離小1 點M到點F 0 的距離與到直線x 的距離相等 點M軌跡為以F 0 為焦點 x 為準線的拋物線 設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 則由題意知 p 3 所求拋物線的方程為 y2 6x 拓展提升 定義法求拋物線方程的關(guān)鍵拋物線的軌跡問題 既可以用軌跡法直接求解 也可以轉(zhuǎn)化為拋物線的定義求解 后者的關(guān)鍵是找到條件滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離 有時需要依據(jù)條件進行轉(zhuǎn)化 易錯誤區(qū) 求拋物線焦點和弦長時的誤區(qū) 典例 2013 南昌高二檢測 從拋物線y2 4x上一點P引拋物線準線的垂線 垂足為M 且 PM 5 設(shè)拋物線的焦點為F 則 MPF的面積為 解析 拋物線方程為y2 4x 則準線方程為x 1 令P點坐標為P x0 y0 由圖可知 PM x0 1 5 x0 4 把x0 4代入y2 4x 解得y0 4 MPF的面積為 PM y0 5 4 10 答案 10 誤區(qū)警示 防范措施 1 準確記住拋物線的焦點和準線在拋物線方程中 一次項系數(shù)與焦點的橫或縱坐標間是 4倍關(guān)系 要牢記公式 不能失誤 如本例中準線方程為x 1 2 加強圖形之間的聯(lián)系與直觀性在解析幾何的解題中 要加強圖形的直觀 對結(jié)論性的知識應(yīng)利用圖形加強記憶 避免運算中使用錯誤結(jié)論 如本例中PM的長可表示為x0 1 5 3 注意拋物線定義的應(yīng)用拋物線的定義比較靈活 要注意靈活應(yīng)用 往往是 看到焦點 想到準線 看到準線 想到焦點 這有利于問題的解決 類題試解 2013 新課標全國卷 O為坐標原點 F為拋物線C y2 的焦點 P為C上一點 若 PF 則 POF的面積為 解析 選C 設(shè)P x1 y1 則 PF 解得因為P為C上一點 則得 y1 所以S POF 1 拋物線x 4y2的準線方程是 A y B y 1C x D x 解析 選C 拋物線的標準方程是y2 x 這里p 所以準線方程為x 2 拋物線y2 8x的焦點到準線的距離是 A 1B 2C 4D 8 解析 選C 拋物線y2 8x的焦點坐標為 2 0 準線方程為x 2 所以焦點到準線的距離為4 3 點P為拋物線y2 2px上任一點 F為焦點 則以P為圓心 以 PF 為半徑的圓與準線l A 相交B 相切C 相離D 位置由F確定 解析 選B 根據(jù)拋物線的定義 PF 等于點P到準線l的距離 即圓心P到直線l的距離等于半徑 PF 所以半徑為 PF 的圓P與準線l相切 4 設(shè)拋物線y2 4x上一點P到y(tǒng)軸的距離是2 則點P到該拋物線焦點的距離是 A 1B 2C 3D 4 解析 選C 由y2 4x可知 點P在y軸的右側(cè) 且準線方程為x 1 P到y(tǒng)軸的距離為2 P到準線的距離為3 根據(jù)定義可知 P到焦點的距離是3 5 若直線ax y 1 0經(jīng)過拋物線y2 4x的焦點 則實數(shù)a 解析 把y2 4x的焦點坐標 1 0 代入ax y 1 0得a 1 0 即a 1 答案 1 6 已知拋物線的頂點在原點 對稱軸是x軸 拋物線上的點M 3 m 到焦點的距離等于5 求拋物線的方程和m的值 解析 設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 則焦點F 0 由題意可得解得或故所求的拋物線方程為y2 8x m的值為 2