高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 2 證明不等式的基本方法課件(理)選修4-5.ppt

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第二節(jié)證明不等式的基本方法 知識梳理 1 比較法比較法是證明不等式最基本的方法 可分為作差比較法和作商比較法兩種 a b 0 a b 0 a b 0 具有多項式 2 綜合法一般地 從 出發(fā) 利用 公理 性質(zhì)等 經(jīng)過一系列的 而得出命題成立 這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫 或由因?qū)Ч?已知條件 定義 定理 推理 論證 順推證法 3 分析法證明命題時 從 出發(fā) 逐步尋求使它成立的 直至所需條件為 或 定義 公理或已證明的定理 性質(zhì)等 從而得出要證的命題成立 這種證明方法叫做分析法 這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法 要證的結(jié)論 充分條件 已知條件 一個明顯成立 的事實 特別提醒 1 作差比較法的實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù) 或式子 與0的大小關(guān)系 2 用分析法證明數(shù)學(xué)問題時 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個明顯成立的結(jié)論 再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立 考向一比較法證明不等式 典例1 1 已知a b都是正實數(shù) 且a b 2 求證 1 2 當(dāng)a b 0 時 求證 aabb ab 解題導(dǎo)引 1 利用作差比較法證明 注意條件a b 2的應(yīng)用 2 利用作商比較法證明 規(guī)范解答 1 因為a b 2 所以因為a b都是正實數(shù) 所以ab 所以 0 即 1 2 當(dāng)a b時 當(dāng)a b 0時 當(dāng)b a 0時 所以 規(guī)律方法 比較法證明不等式的方法與步驟1 作差比較法 1 作差比較法證明不等式的一般步驟 作差 將不等式左右兩邊的式子看作一個整體作差 變形 將差式進行變形 化簡為一個常數(shù) 或通分 因式分解變形為若干個因式的積 或配方變形為一個或幾個平方和等 判號 根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果 判斷不等式兩邊差的正負號 結(jié)論 肯定不等式成立的結(jié)論 2 作差比較法的應(yīng)用范圍 當(dāng)被證的不等式兩端是多項式 分式或?qū)?shù)式時 一般使用作差比較法 2 作商比較法 1 作商比較法證明不等式的一般步驟 作商 將不等式左右兩邊的式子作商 變形 將商式的分子放 縮 分母不變 或分子不變 分母放 縮 或分子放 縮 分母縮 放 從而化簡商式為容易和1比較大小的形式 判斷 判斷商與1的大小關(guān)系 就是判斷商大于1或小于1或等于1 結(jié)論 2 作商比較法的應(yīng)用范圍 當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時 一般使用作商比較法 易錯提醒 作商比較時易忽視分母的符號而得出錯誤的結(jié)論 變式訓(xùn)練 已知a 0 b 0 求證 證明 又 0 所以故 加固訓(xùn)練 1 求證 a2 b2 ab a b 1 證明 因為 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1 2a2 2b2 2ab 2a 2b 2 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 所以a2 b2 ab a b 1 2 已知a b均為正數(shù) 且a b 1 證明 ax by 2 ax2 by2 證明 ax by 2 ax2 by2 a a 1 x2 b b 1 y2 2abxy 因為a b 1 所以 a 1 b b 1 a 故 ax by 2 ax2 by2 a a 1 x2 b b 1 y2 2abxy ab x2 y2 2xy ab x y 2 0 當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立 所以 ax by 2 ax2 by2 考向二綜合法證明不等式 典例2 2015 全國卷 設(shè)a b c d均為正數(shù) 且a b c d 證明 1 若ab cd 則 2 是 a b c d 的充要條件 解題導(dǎo)引 1 由a b c d及ab cd 可證明 開方即得 2 本小題可借助第一問的結(jié)論來證明 但要分必要性與充分性來證明 規(guī)范解答 1 因為由題設(shè)a b c d ab cd得因此 2 i 若 a b c d 則 a b 2 c d 2 即 a b 2 4ab c d 2 4cd 因為a b c d a b c d均為正數(shù) 所以ab cd 由 1 得 ii 若 則即a b 2 c d 2 因為a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b c d 綜上 是 a b c d 的充要條件 母題變式 1 題中條件改為 a b c d 1 證明 ab cd 證明 因為a b c d均為正數(shù) 且a b c d 1 所以0 ab 0 cd 所以ab cd 2 題中條件改為 a b c d 1 證明 證明 4 2 2 2 2 2 2 16 等號當(dāng)且僅當(dāng)a b c d 時成立 規(guī)律方法 1 綜合法證明不等式的方法 1 綜合法證明不等式 要著力分析已知與求證之間 不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系 合理進行轉(zhuǎn)換 恰當(dāng)選擇已知不等式 這是證明的關(guān)鍵 2 在用綜合法證明不等式時 不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的 在運用這些性質(zhì)時 要注意性質(zhì)成立的前提條件 2 綜合法證明時常用的不等式 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的變形形式有a2 b2 2 ab a2 b2 2ab a b 2 4ab a2 b2 a b 2 4 它的變形形式有a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 5 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 變式訓(xùn)練 2014 遼寧高考 設(shè)函數(shù)f x 2 x 1 x 1 g x 16x2 8x 1 記f x 1的解集為M g x 4的解集為N 1 求M 2 當(dāng)x M N時 證明 x2f x x f x 2 解析 1 f x 2 x 1 x 1 當(dāng)x 1時 由f x 1得x 故1 x 當(dāng)x 1時 由f x 1得x 0 故0 x 1 綜上可知 f x 1的解集為M 2 由g x 16x2 8x 1 4得解得因此N 故M N 當(dāng)x M N時 f x 1 x 于是x2f x x f x 2 xf x x f x xf x x 1 x 加固訓(xùn)練 1 設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 1 ab bc ca 2 1 解題導(dǎo)引 1 將a b c 1兩邊平方 化簡整理 借助不等式的性質(zhì) 即得結(jié)論 2 證 1 即證 a b c 可分別證然后相加即得 證明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時等號成立 2 因為當(dāng)且僅當(dāng) a2 b2 c2 時等號成立 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 2 設(shè)a b c均為正數(shù) abc 1 求證 證明 由a b c為正數(shù) 根據(jù)基本不等式 得將此三式相加 得 即由abc 1 則有 1 所以 考向三分析法證明不等式 典例3 已知a b c 且a b c 0 求證 解題導(dǎo)引 利用分析法 去掉根號 結(jié)合條件a b c 0證明 a b a c 0即可 規(guī)范解答 要證只需證b2 ac0 只需證 a b 2a b 0 只需證 a b a c 0 因為a b c 所以a b 0 a c 0 所以 a b a c 0顯然成立 故原不等式成立 規(guī)律方法 1 用分析法證 若A則B 這個命題的模式為了證明命題B為真 只需證明命題B1為真 從而有 只需證明命題B2為真 從而有 只需證明命題A為真 而已知A為真 故B必為真 2 分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法 且和重要不等式 基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系 較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 3 綜合法與分析法的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式是 由因?qū)Ч?分析法證明不等式是 執(zhí)果索因 它們是兩種思路截然相反的證明方法 綜合法往往是分析法的逆過程 表述簡單 條理清楚 所以在實際應(yīng)用時 往往用分析法找思路 用綜合法寫步驟 由此可見 分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化 互相滲透 互為前提 變式訓(xùn)練 設(shè)x 1 y 1 證明 證明 由于x 1 y 1 要證只需證xy x y 1 y x xy 2 因為 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 由條件x 1 y 1可知x 1 0 y 1 0 xy 1 0 所以 xy 1 x 1 y 1 0 從而所要證明的不等式成立 加固訓(xùn)練 已知 ABC的三邊長分別是a b c且m為正數(shù) 求證 證明 要證只需證a b m c m b a m c m c a m b m 0 即證abc abm acm am2 abc abm bcm bm2 abc acm bcm cm2 0 即證abc 2abm a b c m2 0 由于a b c分別是 ABC的三邊長 故有a b c 因為m 0 所以 a b c m2 0 所以abc 2abm a b c m2 0是成立的 因此成立