高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1 坐標(biāo)系課件(理) 選修4-4.ppt

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選修4 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系 知識(shí)梳理 1 伸縮變換設(shè)點(diǎn)P x y 是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn) 在變換 的作用下 點(diǎn)P x y 對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P x y 稱 為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 2 極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo) 1 極坐標(biāo)系 在如圖極坐標(biāo)系中 點(diǎn)O是 射線Ox是 為 通常取逆時(shí)針方向 為 表示極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離 點(diǎn)M的極坐標(biāo)是 極點(diǎn) 極軸 極角 極徑 M 2 點(diǎn)的極坐標(biāo) 對(duì)于極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的任一點(diǎn)M 若設(shè) OM 0 以O(shè)x為始邊 OM為終邊的角為 則點(diǎn)M可用有序數(shù)對(duì) 表示 3 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 1 前提 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn) x軸正半軸作為極軸 且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位 2 互化公式 設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn) 它的直角坐標(biāo) 極坐標(biāo)分別為 x y 和 則 4 直線的極坐標(biāo)方程 1 一般位置 若直線過點(diǎn)M 0 0 且極軸到此直線的角為 則它的極坐標(biāo)方程為 sin 0sin 0 2 特殊位置 cos sin 5 圓的極坐標(biāo)方程 1 一般位置 若圓心為M 0 0 半徑為r 則該圓的方程為 2 2 0 cos 0 02 r2 0 2 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 圓心位于極點(diǎn) 半徑為r 圓心位于M a 0 半徑為a 圓心位于M 半徑為a r 2acos 2asin 特別提醒 1 應(yīng)用伸縮變換時(shí) 要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo) x y 與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo) x y 2 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題 要注意互化時(shí)要將極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化 1 若是和角 常用兩角和與差的三角公式展開 化為可用公式形式 2 為了出現(xiàn)公式形式 兩邊可以同乘以 考向一伸縮變換 典例1 求雙曲線C x2 1經(jīng)過 變換后所得曲線C 的焦點(diǎn)坐標(biāo) 解題導(dǎo)引 設(shè)出曲線C 上任意點(diǎn)的坐標(biāo) 利用點(diǎn)的坐標(biāo)和變換把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來 再代入雙曲線方程可得變換后的曲線方程 進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo) 規(guī)范解答 設(shè)曲線C 上任意一點(diǎn)P x y 由上述可知 將代入x2 1 得化簡得即為曲線C 的方程 可見仍是雙曲線 則焦點(diǎn)F1 5 0 F2 5 0 為所求 規(guī)律方法 伸縮變換后的方程求法平面上的曲線y f x 在變換 的作用下的變換方程的求法是將代入y f x 得整理之后得到y(tǒng) h x 即為所求變換之后的方程 變式訓(xùn)練 在同一平面直角坐標(biāo)系中 將直線x 2y 2變成直線2x y 4 求滿足圖象變換的伸縮變換 解析 設(shè)變換為代入第二個(gè)方程 得2 x y 4 與x 2y 2比較系數(shù)得 1 4 即因此 經(jīng)過變換后 直線x 2y 2變成直線2x y 4 加固訓(xùn)練 1 在同一平面直角坐標(biāo)系中 已知伸縮變換 1 求點(diǎn)A經(jīng)過 變換所得的點(diǎn)A 的坐標(biāo) 2 點(diǎn)B經(jīng)過 變換得到點(diǎn)B 求點(diǎn)B的坐標(biāo) 3 求直線l y 6x經(jīng)過 變換后所得到的直線l 的方程 解析 1 設(shè)A x y 由伸縮變換 得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為于是x 3 1 y 2 1 所以A 1 1 為所求 2 設(shè)B x y 由伸縮變換 得到由于點(diǎn)B 的坐標(biāo)為于是x 3 1 y 2 1 所以B 1 1 為所求 3 由伸縮變換 得代入直線l y 6x 得到經(jīng)過伸縮變換后的方程為y x 因此直線l 的方程為y x 2 在同一平面直角坐標(biāo)系中 經(jīng)過伸縮變換后 曲線C x2 y2 36變?yōu)楹畏N曲線 并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo) 解析 設(shè)圓x2 y2 36上任一點(diǎn)為P x y 伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P x y 則所以4x 2 9y 2 36 即所以曲線C在伸縮變換后得橢圓其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0 考向二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 典例2 2015 全國卷 在直角坐標(biāo)系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 2 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M N 求 C2MN的面積 解題導(dǎo)引 1 用公式代入即可 2 把C3的方程代入C2 所解得的兩根之差即為MN的長度 規(guī)范解答 1 因?yàn)閤 cos y sin 所以C1的極坐標(biāo)方程為 cos 2 C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 2 將 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 MN 由于圓C2的半徑為1 所以 C2MN的面積為 母題變式 1 本例條件不變 求直線C1與C3的交點(diǎn)的極坐標(biāo) 解析 聯(lián)立兩直線方程得解得所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 2 本例條件不變 求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程 解析 因?yàn)辄c(diǎn) 與 關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱 所以由C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 4 sin 4 0得圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓方程是 2 2 cos 4 sin 4 0 規(guī)律方法 直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn) 1 根據(jù)終邊相同的角的意義 角 的表示方法具有周期性 故點(diǎn)M的極坐標(biāo) 的形式不唯一 即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè) 當(dāng)限定 0 0 2 時(shí) 除極點(diǎn)外 點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的 2 當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí) 求極角 應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限 即角 的終邊的位置 以便正確地求出角 0 2 的值 易錯(cuò)提醒 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形 構(gòu)造形如 cos sin 2的形式 進(jìn)行整體代換 其中對(duì)方程的兩邊同乘以 或同除以 及方程兩邊平方進(jìn)行變形時(shí) 方程必須同解 因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢驗(yàn) 變式訓(xùn)練 2016 唐山模擬 已知極坐標(biāo)方程C1 10 C2 sin 6 1 化C1 C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程 并分別判斷曲線的形狀 2 求C1 C2交點(diǎn)間的距離 解析 1 由C1 10 得 2 100 所以x2 y2 100 所以C1是圓心為 0 0 半徑等于10的圓 由C2 sin 6 得 6 所以y x 12 即x y 12 0 所以C2表示一條直線 2 由于圓心 0 0 到直線x y 12 0的距離為d 所以直線C2被圓截得的弦長等于2 16 加固訓(xùn)練 1 在極坐標(biāo)系中 設(shè)曲線C1 2sin 與C2 2cos 的交點(diǎn)分別為A B 求線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程 解析 將曲線C1 2sin C2 2cos 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程分別為C1 x2 y 1 2 1 C2 x 1 2 y2 1 所以過兩圓交點(diǎn)的直線為y x 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 因此線段AB的垂直平分線的方程為x y 1 0 化為極坐標(biāo)方程為 sin 2 2015 北京高考改編 在極坐標(biāo)系中 求點(diǎn)到直線 cos sin 6的距離 解析 點(diǎn)可化為 即 1 直線 cos sin 6可化為x y 6 0 由點(diǎn)到直線的距離公式可得 考向三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 典例3 2016 石家莊模擬 在極坐標(biāo)系Ox中 直線C1的極坐標(biāo)方程為 sin 2 M是C1上任意一點(diǎn) 點(diǎn)P在射線OM上 且滿足 OP OM 4 記點(diǎn)P的軌跡為C2 1 求曲線C2的極坐標(biāo)方程 2 求曲線C2上的點(diǎn)到直線 cos距離的最大值 解題導(dǎo)引 1 設(shè)出M P的極坐標(biāo) 由 OP OM 4 即M P的極徑之積等于4得到兩點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系 把M的極坐標(biāo)用P的極坐標(biāo)表示 代入直線C1的極坐標(biāo)方程即可得到曲線C2的極坐標(biāo)方程 2 化極坐標(biāo)方程為普通方程 由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離 與圓的半徑作和可求曲線C2上的點(diǎn)到直線 cos距離的最大值 規(guī)范解答 1 設(shè)P 1 M 2 由 OP OM 4 得 1 2 4 即 2 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn) 所以 2sin 2 即sin 2 1 2sin 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為 2sin 2 由 2sin 得 2 2 sin 即x2 y2 2y 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y 1 2 1 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為 0 1 半徑為1 由直線 cos得 cos cos sin sin 即x y 2 圓心 0 1 到直線x y 2的距離為所以曲線C2上的點(diǎn)到直線 cos距離的最大值為1 規(guī)律方法 極坐標(biāo)方程問題的處理思路曲線的極坐標(biāo)方程問題通?？衫没Q公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解 然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程 熟練掌握互換公式是解決問題的關(guān)鍵 變式訓(xùn)練 2016 信陽模擬 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為 2 2 2 cos 2 1 把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 2 求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程 解析 1 由 2知 2 4 所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 4 因?yàn)樗运詧AO2的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 2y 2 0 2 將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減 得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x y 1 化為極坐標(biāo)方程為 cos sin 1 即 sin 加固訓(xùn)練 已知圓的極坐標(biāo)方程為 4cos 圓心為C 點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 求CP的長 解析 如圖 由圓的極坐標(biāo)方程為 4cos 知OC 2 又因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為 所以O(shè)P 4 POC 在 POC中 由余弦定理得CP2 OP2 OC2 2OP OC cos 16 4 2 4 2 12 所以CP 2