高考數(shù)學一輪總復習 第九章 概率與統(tǒng)計 第9講 用樣本估計總體課件(理).ppt

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第9講用樣本估計總體 1 用樣本估計總體 通常我們對總體作出的估計一般分成兩種 一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布 另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 2 統(tǒng)計圖 1 頻率分布直方圖 求極差 極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 決定組距和組數(shù) 當樣本容量不超過100時 常分成5 12組 組距 極差組數(shù) 將數(shù)據(jù)分組 通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間 最后一組取閉區(qū)間 也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組 列頻率分布表 登記頻數(shù) 計算頻率 列出頻率分布表 將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組 每個小組內的樣本個數(shù)稱作頻數(shù) 頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率 頻率反映各個數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小 繪制頻率分布直方圖 把橫軸分成若干段 每一段對應一個組距 然后以線段為底作一小長方形 它的高等于該組的 頻率組距 這樣得到一系列的長方形 每個長方形的面積恰好是該 組上的頻率 這些矩形就構成了頻率分布直方圖 各個長方形的 面積總和等于 1 2 頻率分布折線圖和總體密度曲線 頻率分布折線圖 連接頻率分布直方圖中各長方形上端 的中點 就得頻率分布折線圖 總體密度曲線 隨著樣本容量的增加 作圖時所分的組數(shù)增加 組距減小 相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線 統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線 3 莖葉圖 當樣本數(shù)據(jù)較少時 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好 它不但可以保留所有信息 而且可以隨時記錄 給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便 3 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在 位置的一個數(shù)據(jù) 或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù) 最中間 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等 2 樣本方差 標準差 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項 n是樣本容量 x是 標準差是反映總體波動大小的特征數(shù) 樣本方差是標準差的平方 通常用樣本方差估計總體方差 當樣本容量接近總體 容量時 樣本方差接近總體方差 平均數(shù) 1 2015年江蘇 已知一組數(shù)據(jù)4 6 5 8 7 6 那么這組數(shù)據(jù)的 平均數(shù)為 6 2 2015年重慶 重慶市2013年各月的平均氣溫 單位 數(shù)據(jù)的莖葉圖 如圖9 9 1 如下 圖9 9 1 則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是 B A 19 B 20 C 21 5 D 23 解析 由莖葉圖可知總共12個數(shù)據(jù) 處在正中間的兩個數(shù)是第六和第七個數(shù) 它們都是20 由中位數(shù)的定義可知 其中位數(shù)就是20 故選B 3 從某小學隨機抽取100名同學 將他們的身高 單位 cm 數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 如圖9 9 2 由圖中數(shù)據(jù)可知身高 在 120 130 內的學生人數(shù)為 C 圖9 9 2 A 20 B 25 C 30 D 35 4 2013年重慶 以下莖葉圖 如圖9 9 3 記錄了甲 乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績 單位 分 圖9 9 3已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 則x y的值分別為 A 2 5 B 5 5 C 5 8 D 8 8 解析 甲組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排 最中間那個數(shù)為15 則x 5 乙組平均數(shù)為16 8 則乙組數(shù)據(jù)的總和為16 8 5 84 則y 84 9 15 18 24 10 8 答案 C 考點1 頻率分布直方圖的繪制及其應用 例1 2014年新課標 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件 測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值 由測量結果得如下頻數(shù)分布表 1 如圖9 9 4 在表格中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖 圖9 9 4 2 估計這種產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)及方差 同一組中的 數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表 3 根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù) 能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合 質量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80 的規(guī)定 解 1 頻率分布直方圖如圖D67 圖D67 2 質量指標值的樣本平均數(shù)為 x 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 質量指標值的樣本方差為 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 所以這種產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)的估計值為100 方差 的估計值為104 3 質量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0 38 0 22 0 08 0 68 由于該估計值小于0 8 故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合 質量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80 的規(guī)定 規(guī)律方法 用頻率分布直方圖解決相關問題時 應正確理解圖表中各個量的意義 識圖掌握信息是解決該類問題的關 鍵 頻率分布直方圖有以下幾個要點 縱軸表示 頻率組距 頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比 直方圖中每一個矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個區(qū)間上的頻率 所有的小矩形的面積之和等于1 即頻率之和為1 互動探究 1 2013年四川 某學校隨機抽取20個班 調查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù) 所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖9 9 5 以組距為5將數(shù)據(jù)分組成 0 5 5 10 30 35 35 40 時 所作的頻 率分布直方圖是 圖9 9 5 AC BD 解析 根據(jù)題意 列頻率分布表得 故選A 答案 A 2 2014年江蘇 某種樹木的底部周長的取值范圍是 80 130 它的頻率分布直方圖如圖9 9 6 則在抽測的60株樹木中 有 株樹木的底部周長小于100cm 24 圖9 9 6解析 由題意知 在抽測的60株樹木中 底部周長小于100cm的株數(shù)為 0 015 0 025 10 60 24 株 考點2莖葉圖的應用 例2 2014年新課標 某市為了考核甲 乙兩部門的工作情況 隨機訪問了50位市民 根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分 評分越高表明市民的評價越高 繪制莖葉圖 如圖 9 9 7 圖9 9 7 的是66 68 故樣本中位數(shù)為 1 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門評分的中位數(shù) 2 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門的評分高于90分的概率 3 根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲 乙兩部門的評價 解 1 由所給莖葉圖知 50位市民對甲部門的評分由小到大排序 排在第25 26位的是75 75 故樣本中位數(shù)為75 所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75 50位市民對乙部門的評分由小到大排序 排在第25 26位 66 682 67 所以該市的市民對乙 部門評分的中位數(shù)的估計值是67 0 1 0 16 2 由所給莖葉圖知 50位市民對甲 乙部門的評分高于 90分的比率分別為 550 850 故該市的市民對甲 乙部門的評分高于90分的概率的估計值分別為0 1 0 16 3 由所給莖葉圖知 市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù) 而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差 說明該市市民對甲部門的評價較高 評價較為一致 對乙部門的評價較低 評價差別較大 注 考生利用其他統(tǒng)計量進行分析 結論合理的同樣給分 互動探究 3 2013年新課標 為了比較兩種治療失眠癥的藥 分別稱為A藥 B藥 的療效 隨機地選取20位患者服用A藥 20位患者服用B藥 這40位患者服用一段時間后 記錄他們日平均增加的睡眠時間 單位 h 試驗的觀測結果如下 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間 1 分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù) 從計算結果看 哪種藥的 療效更好 2 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖 如圖9 9 8 從莖葉圖看 哪種藥的療效更好 圖9 9 8 解 1 設A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x B藥觀測數(shù)據(jù)的平 均數(shù)為y 由觀測結果可得 x 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 y 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上計算結果可得x y 因此可看出A藥的療效更好 2 由觀測結果可繪制莖葉圖如圖D68 圖D68 從以上莖葉圖可以看出 A藥療效的試驗結果有 710 的葉集 710 的葉集中在莖 中在莖 2 3 上 而B藥療效的試驗結果有 0 1 上 由此可看出A藥的療效更好 考點3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3 2015年廣東 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表 1 用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本 且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44 列出樣本的年齡數(shù)據(jù) 2 計算 1 中樣本的平均值x和方差s2 3 36名工人中年齡在x s與x s之間有多少人 所占的 百分比是多少 精確到0 01 解 1 依題所抽樣本編號是一個首項為2 公差為4的等差數(shù)列 故其所有樣本編號依次為2 6 10 14 18 22 26 30 34 對應樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44 40 36 43 36 37 44 43 37 2 由 1 可得其樣本的均值為 規(guī)律方法 1 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點 但無 法客觀的反映總體特征 2 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線 3 標準差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 標準差 方差越大 數(shù)據(jù)越分散 標準差 方差越小 數(shù)據(jù)越集中 x 互動探究 4 2014年陜西 某公司10位員工的月工資 單位 元 為x1 x2 x10 其均值和方差分別為和s2 若從下個月起每位員工的月工資增加100元 則這10位員工下個月工資的均值和 方差分別為 答案 D 難點突破 統(tǒng)計圖與概率的結合 在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn) 考查 統(tǒng)計與概率的知識 這也是近幾年高考的熱點 例題 2014年重慶 20名學生某次數(shù)學考試成績 單位 分 的頻數(shù)分布直方圖 如圖9 9 9 如下 圖9 9 9 1 求頻率分布直方圖中a的值 2 分別求出成績落在 50 60 與 60 70 中的學生人數(shù) 3 從成績在 50 70 的學生中任選2人 求此2人的成績都 在 60 70 中的概率 解 1 頻率分布直方圖的組距為10 2a 3a 6a 7a 2a 10 1 a 1200 0 005 2 成績落在 50 60 的學生人數(shù)為2 0 005 10 20 2 成績落在 60 70 的學生人數(shù)為3 0 005 10 20 3 3 記成績落在 50 60 的學生為A1 A2 成績落在 60 70 的學生為B1 B2 B3 從成績在 50 70 的學生中任選2人 共有基本事件10個 即 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 此2人的成績都在 60 70 中的基本事件有 B1 B2 B1 B3 B2 B3 共3個 故所求概率為p 1 用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布 難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用 在計數(shù)和計算時一定要準確 在繪制小矩形時 寬窄要一致 通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計 2 利用頻率分布直方圖求眾數(shù) 中位數(shù)與平均數(shù)時 應注意這三者的區(qū)分 1 最高的矩形的中點即眾數(shù) 2 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的 3 平均數(shù)是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和 3 莖葉圖 頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的 莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構成 沒有損失任何樣本信息 可以隨時記錄 而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息 必須在完成抽樣后才能制作