高考數學復習 專題一 第一講 函數與方程思想課件.ppt
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專題一 第一講 思想方法概述 應用角度例析 通法歸納領悟 專題專項訓練 角度一 角度二 角度三 角度四 角度五 1 函數與方程思想的含義 1 函數的思想 函數的思想 是用運動和變化的觀點 分析和研究數學中的數量關系 是對函數概念的本質認識 建立函數關系或構造函數 運用函數的圖像和性質去分析問題 轉化問題 從而使問題獲得解決 經常利用的性質是單調性 奇偶性 周期性 最大值和最小值 圖像變換等 2 方程的思想 方程的思想 就是分析數學問題中變量間的等量關系 建立方程或方程組 或者構造方程 通過解方程或方程組 或者運用方程的性質去分析 轉化問題 使問題得以解決 方程的教學是對方程概念的本質認識 用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題 方程思想是動中求靜 研究運動中的等量關系 2 函數思想與方程思想的聯系函數思想與方程思想是密切相關的 如函數問題可以轉化為方程問題來解決 方程問題也可以轉化為函數問題加以解決 如解方程f x 0 就是求函數y f x 的零點 解不等式f x 0 或f x 0 就是求函數y f x 的正 或負 區(qū)間 再如方程f x g x 的解的問題可以轉化為函數y f x 與y g x 的交點問題 也可以轉化為函數y f x g x 與x軸的交點問題 方程f x a有解 當且僅當a屬于函數f x 的值域 函數與方程的這種相互轉化關系十分重要 函數與方程思想在求最值及參數范圍中的應用 答案 D 1 求字母 式子 的值的問題往往要根據題設條件構建以待求字母 式子 為元的方程 組 然后解方程 組 求得 2 求參數的取值范圍是函數 方程 不等式 數列 解析幾何等問題中的重要問題 解決這類問題一般有兩種途徑 其一 充分挖掘題設條件中的不等關系 構建以待求字母為元的不等式 組 求解 其二 充分應用題設中的等量關系 將待求參數表示成其他變量的函數 然后 應用函數知識求值域 3 當問題中出現兩數積與這兩數和時 是構建一元二次方程的明顯信息 構造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決 4 當問題中出現多個變量時 往往要利用等量關系減少變量的個數 如果最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式 那么就可用研究函數的方法將問題解決 函數與方程思想在解決函數圖像交點及方程根等問題中的應用 思路點撥 函數y f x 的圖像與y g x 的圖像有且僅有兩個不同的公共點 即方程f x g x 0有且僅有兩個不同的實數根 故可構造方程 利用方程思想解決 答案 B 函數圖像的交點問題轉化為方程的根的問題是重要的方程思想 同時方程根的判斷問題常轉化為函數的零點問題又是重要的函數思想 在解決此類問題時要注意靈活應用 2 方程x3 6x2 9x 10 0的實根的個數為 A 0B 1C 2D 3解析 選令f x x3 6x2 9x 10 則f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當x 1 和 3 時 f x 0 f x 是增函數 當x 1 3 時 f x 0 f x 是減函數 又f 1 6 f 3 10 f 5 10 故y f x 有且僅有一個零點 即原方程有且僅有一個實數根 B 答案 1 函數與方程思想在不等式中的應用 此類問題常根據所證不等式的結構特征構造相應的函數 通過研究函數的單調性解決問題 在解決不等式恒成立問題時 一種最重要的思想方法就是構造適當的函數 利用函數的圖像和性質解決問題 同時要注意在一個含多個變量的數學問題中 需要確定合適的變量和參數 從而揭示函數關系 使問題更明朗化 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數 5 已知不等式7x 2 x2 1 m對m 2 2 恒成立 求實數x的取值范圍 函數與方程思想在數列中的應用 答案 C 1 等差 比 數列中各有5個基本量 建立方程組可 知三求二 2 數列的本質是定義域為正整數集或其有限子集的函數 數列的通項公式即為相應的解析式 因此在解決數列問題時 應注意用函數的思想求解 6 已知 an 為等差數列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以Sn表示 an 的前n項和 則使得Sn達到最大值的n是 A 21B 20C 19D 18 B C 函數與方程思想在解析幾何中的應用 解析幾何是借用坐標系用代數法研究幾何圖形的科學分支 用構造方程的方法解決解析幾何問題非常簡便 本題中的第 2 問用方程思想解決問題是非常典型的 要熟練掌握 應用函數與方程思想解決問題時應注意以下幾個方面的思考和切入 1 函數與不等式的相互轉化 對函數y f x 當y 0時 就化為不等式f x 0 借助于函數的圖像和性質可解決有關問題 而研究函數的性質也離不開不等式 2 數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數 用函數的觀點去處理數列問題十分重要 3 在三角函數求值中 把所求的量看作未知量 其余的量通過三角函數關系化為未知量的表達式 那么問題就能化為未知量的方程來解 4 解析幾何中的許多問題 例如直線與二次曲線的位置關系問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數的有關理論 5 立體幾何中有關線段的長 面積 體積的計算 經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決
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