湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練 圖形的相似（含解析）.doc

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xx年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練: 圖形的相似 一、選擇題 1.如圖，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，與△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的個數(shù)是（ ） A.1個B.2個C.3個D.4個 2.在△ABC中，點D,E分別為邊AB,AC的中點，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ） A.B.C.D. 3.如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（ ） A.1B.2C.3D.4 4.如圖，△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（ ） A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶6 5.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D的對應(yīng)點落在BC上點F處，過點F作FG∥CD，連接EF，DG，下列結(jié)論中正確的有（ ） ①∠ADG=∠AFG；②四邊形DEFG是菱形；③DG2= AE?EG；④若AB=4，AD=5，則CE=1． A.①②③④B.①②③C.①③④D.①② 6.如圖， 與 中， 交 于 ．給出下列結(jié)論： ①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．其中正確的結(jié)論是（ ）． A.①③B.②③C.①④D.②④ 7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，BG＝4 ，則△EFC的周長為（ ） A.11B.10C.9D.8 8.如圖，已知在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，點F在AC上，AF：FC=1：2，聯(lián)結(jié)BF，交DE于點G，那么DG：GE等于（ ） A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5． 9.如圖，△ABC中，D，E是BC邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC邊上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（ ） A.4：2：1B.5：3：1C.25：12：5D.51：24：10 10.如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點F與點C是一對對應(yīng)點，點F的坐標是（1，1），點C的坐標是（4，2）；則它們的位似中心的坐標是（ ） A.（0，0）B.（﹣1，0）C.（﹣2，0）D.（﹣3，0） 11.已知點C在線段AB上，且點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則下列結(jié)論正確的是（ ） A.AB2=AC?BCB.BC2=AC?BCC.AC= BCD.BC= AB 12.如圖， 是等邊三角形， 是等腰直角三角形， ， 于點 ，連 分別交 ， 于點 ， ，過點 作 交 于點 ，則下列結(jié)論：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . A.5B.4C.3D.2 二、填空題（共8題；共8分） 13.已知 ，則 =________ 14.已知點 在線段 上，且 ,那么 ________． 15.如圖，直線l1∥l2∥l3 ， 直線AC交l1 ， l2 ， l3 ， 于點A，B，C；直線DF交l1 ， l2 ， l3于點D，E，F(xiàn)，已知 ，則 =________。 16.如圖，矩形ABCD中， ，點E在AB上，點F在CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，且EH∥BC，則AG∶GH∶HC=________． 17.如圖，等腰直角三角形ABC的頂點A ， C在x軸上，∠BCA=90，AC=BC= ，反比例函數(shù)y= （k>0）的圖象過BC中點E ， 交AB于點D ， 連接DE ， 當(dāng)△BDE∽△BCA時，k的值為________. 18.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB＝4，BC＝8，過點O作OE⊥AC交AD于點E，則AE的長為________． 19.如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于________米． 20.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？” 用今天的話說，大意是：如圖， 是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門 位于 的中點，南門 位于 的中點，出東門15步的 處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于 處的樹木（即點 在直線 上）？請你計算 的長為________步． 三、解答題 21.已知：如圖，在△ABC的中，AD是角平分線，E是AD上一點，且AB ：AC = AE ：AD．求證：BE=BD． 22.如圖，已知菱形BEDF，內(nèi)接于△ABC，點E，D，F(xiàn)分別在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形邊長． 23.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．且矩形的長與寬的比為3：2，求這個矩形零件的邊長． 24.周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB． 25.如圖1，一副直角三角板滿足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90，∠EDF＝30 【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q （1）【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中， ①如圖2，當(dāng) 時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.________ ②如圖3，當(dāng) 時E P與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.________ ③根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng) 時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式 為________,其中 的取值范圍是________(直接寫出結(jié)論，不必證明) （2）【探究二】若 且AC＝30cm，連續(xù)PQ，設(shè)△EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過程中： ①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由. ②隨著S取不同的值，對應(yīng)△EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.  答案解析 一、選擇題 1.【答案】B 【解析】 ∵DE∥BC ∴ ∴△BCD∽△ABC ∴有兩個與△ABC相似的三角形 故答案為：B. 【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出△ADE ∽ △ABC, 由有兩個角對應(yīng)相等的三角形三角形相似得出△BCD∽△ABC，從而得出有兩個與△ABC相似的三角形。 2.【答案】C 【解析】 ：如圖， ∵點D、E分別為邊AB、AC的中點， ∴DE為△ABC的中位線， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ =（ ）2= ． 故答案為：C． 【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出DE∥BC，根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出答案。 3.【答案】B 【解析】 ：∵△ABC∽△DEF，相似比為1∶2 ∴ ∴ ∴EF=2 故答案為：B 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及相似比，得出，即可求解。 4.【答案】B 【解析】 ：∵D、F分別是OA、OC的中點， ∴DF是△AOC的中位線。 ∴DF=AC， ∵△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的 ∴△DEF與△ABC的相似比是1:2， ∴△DEF與△ABC的面積比是1:4 故答案為：B 【分析】根據(jù)D、F分別是OA、OC的中點，可證得DF是△AOC的中位線?？勺C得DF和AC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的，即可求得結(jié)果。 5.【答案】B 【解析】 ①由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠AFG（故①正確）； ②由折疊的性質(zhì)可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE， ∵FG∥CD， ∴∠FGE=∠DEG， ∴∠DGE=∠FEG， ∴DG∥FE， ∴四邊形DEFG是平行四邊形， 又∵DE=FE， ∴四邊形DEFG是菱形（故②正確）； ③如圖所示，連接DF交AE于O， ∵四邊形DEFG為菱形， ∴GE⊥DF，OG=OE= GE， ∵∠DOE=∠ADE=90，∠OED=∠DEA， ∴△DOE∽△ADE， ∴ ，即DE2=EO?AE， ∵EO= GE，DE=DG， ∴DG2= AE?EG，故③正確； ④由折疊的性質(zhì)可知，AF=AD=5，DE=FE， ∵AB=4，∠B=90， ∴BF= ， ∴FC=BC-BF=2， 設(shè)CE=x，則FE=DE=4-x， 在Rt△CEF中，由勾股定理可得： ，解得： . 故④錯誤； 綜上所述，正確的結(jié)論是①②③. 故答案為：B. 【分析】①由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠AFG（故①正確）；②由折疊的性質(zhì)可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FGE=∠DEG，根據(jù)等量代換得出∠DGE=∠FEG，根據(jù)平行線的判定得出DG∥FE，進而根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形DEFG是平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出四邊形DEFG是菱形（故②正確）；③如圖所示，連接DF交AE于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出GE⊥DF，OG=OE=GE，然后判定出△DOE∽△ADE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出DE2=EO?AE，又EO=GE，DE=DG，從而得出結(jié)論DG2= 1 2 AE?EG，故③正確；④由折疊的性質(zhì)可知，AF=AD=5，DE=FE，根據(jù)勾股定理得出BF的長度，由FC=BC-BF得出FC的長，設(shè)CE=x，則FE=DE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，求解得出x的值，進而判斷出④錯誤。 6.【答案】B 【解析】 證明：在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS） ∴∠C=∠AFE， 故①錯誤； ∵∠B=∠E，∠ADE=∠FDB ∴△ADE∽△FDB 故②正確； ∵△ABC≌△AEF ∴AF=AC，∠AFE=∠C ∴∠AFC=∠C ∴∠AFE=∠AFC 故③正確； ∵AB=AE≠AD ∴∠E≠∠ADE ∵∠B=∠E，∠ADE=∠BDF ∴∠B≠∠BDF， ∴FD≠FB 故④錯誤 故答案為：B 【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可對①③④作出判斷；根據(jù)相似三角形的判定，可對②作出判斷；即可得出答案。 7.【答案】D 【解析】 ：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB∥CD,AD∥BC， ∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB， ∵AF為∠BAD的角平分線， ∴∠BAE=∠EAD， ∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE， ∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形， 又∵AB=6，AD=9， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴CE=CF=3. ∵BG⊥AE,BG=4， 由勾股定理可得：AG2=AB2?BG2 AG2=62-（4） 解之：AG=2 ∴AE=2AG=4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△FCE. ∴= ∴AE=2EF即4=2EF ∴EF=2， △EFC的周長為：CE+CF+EF=3+3+2=8 故答案為：D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定，可證△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出CE、CF的長度，然后利用勾股定理求得AG的長度，繼而可得出AE的長度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長度，然后可求出△EFC的周長。 8.【答案】B 【解析】 ∵DE∥BC， ∴ =2， ∴CE：CA=1：3， = = ， ∵AF：FC=1：2， ∴AF：AC=1：3， ∴AF=EF=EC， ∴EG：BC=1：2，設(shè)EG=m，則BC=2m， ∴DE= m，DG= m﹣m= m， ∴DG：GE= m：m=1：3， 故答案為：B． 【分析】由平行線分線段成比例定理可得,所以CE：CA=1：3，,由已知可得AF：AC=1：3，所以AF=EF=EC，EG：BC=1：2，設(shè)EG=m，則BC=2m，則DE=m，DG=m﹣m=m，所以DG：GE=m：m=1：3。 9.【答案】D 【解析】 連接EM， ∵CE：CD=CM：CA=1：3 ∴EM平行于AD ∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3 ∴AH=（3﹣ ）ME， ∴AH：ME=12：5 ∴HG：GM=AH：EM=12：5 設(shè)GM=5k，GH=12k， ∵BH：HM=3：2=BH：17k ∴BH= K， ∴BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10， 故答案為：D． 【分析】連接EM，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得EM平行于AD，由相似三角形的判定可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，所以可得比例式HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，則AH=AD-DH=3ME-ME=（3-）ME=ME，所以AH：ME=12：5，則HG：GM=AH：EM=12：5，設(shè)GM=5k，GH=12k，由EM平行于AD可得比例式BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得BH=K，所以BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10。 10.【答案】C 【解析】 ∵點F與點C是一對對應(yīng)點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點， 設(shè)直線CF解析式為y=kx+b， 將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入， 得 ， 解得 ， 即y= x+ ， 令y=0得x=﹣2， ∴O′坐標是（﹣2，0）； 故答案為：C． 【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得位似中心在直線CF上，已知點F與點C是一對對應(yīng)點，所以兩個位似圖形在位似中心同旁，由圖形所在位置可得位似中心就是CF與x軸的交點，所以設(shè)直線CF解析式為y=kx+b，將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入解析式可得關(guān)于k、b的方程組，解得k=,b=,則直線CF解析式為y=x+,因為CF與x軸相交，所以y=0，即x+=0,解得x=﹣2，所以O(shè)′坐標是（﹣2，0）。 11.【答案】D 【解析】 ∵點C是線段AB的黃金分割點且AC＞BC， ∴ ，即AC2=BC?AB，故A、B不符合題意； ∴AC== AB，故C不符合題意； ∴BC== = AB，故D符合題意； 故答案為：D． 【分析】點C是線段AB的黃金分割點且AC＞BC，從而得出BC∶AC=AC∶AB=,根據(jù)等比性質(zhì)即可一一作出判斷。 12.【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形， ∴∠BAC=60、∠BAD=90、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45， ∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150， ∴∠ADC=15，故①正確； ∵AE⊥BD，即∠AED=90， ∴∠DAE=45， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60，∠FAG=45， ∴∠AGF=75， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②錯誤； 記AH與CD的交點為P， 由AH⊥CD且∠AFG=60知∠FAP=30， 則∠BAH=∠ADC=15， 在△ADF和△BAH中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正確； ∵∠AFG=∠CBG=60，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正確； 在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP= x， 設(shè)EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90、∠ABE=45， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴ ，即 ， 整理，得：2x2=（ -1）ax， 由x≠0得2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故⑤正確； 故答案為：B． 【分析】根據(jù)等腰直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)，及它們有一條公共邊得出∠BAC=60、∠BAD=90、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45，從而得出△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150，從而判斷出∠ADC=15，故①正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠DAE=45，根據(jù)三角形的外角定理得出∠AFG，∠AGF的度數(shù)，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②錯誤；記AH與CD的交點為P，由三角形的內(nèi)角和得出∠FAP=30，根據(jù)角的和差及等量代換得出∠BAH=∠ADC=15，由ASA判斷出△ADF≌△BAH根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DF=AH，故③正確；由∠AFG=∠CBG=60，∠AGF=∠CGB，判斷出△AFG∽△CBG，故④正確；在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x，根據(jù)勾股定理表示出AP，設(shè)EF=a，由△ADF≌△BAH，得出BH=AF=2x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=AE=AF+EF=a+2x，進而得出EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判斷出△PAF∽△EAH，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PF∶EH＝AP∶AE，從而得出關(guān)于x的方程，求解得出結(jié)論2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故⑤正確。 二、填空題 13.【答案】 【解析】 ：∵ 設(shè)a=2x，b=3x ∴= 故答案為： 【分析】根據(jù)a與b的比值，可設(shè)a=2x，b=3x，代入計算即可求解，或利用合比性質(zhì)求解即可。 14.【答案】5:3 【解析】 由題意AP：BP=2：3， 設(shè)AP=2x,BP=3X ∴AB=5X AB：PB=5：3. 故答案為：5:3. 【分析】根據(jù)AP：BP=2：3，從而說明AP占兩份，BP占三份，從而得出AB占5份，進一步得出答案。 15.【答案】2 【解析】 ：由和BC=AC-AB， 則, 因為直線l1∥l2∥l3 ， 所以=2 故答案為2 【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行線間所夾線段對應(yīng)成比例可得 16.【答案】3∶2∶3 【解析】 連接EF交AC于O， ∵四邊形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90,AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO與△AOE中， ∴△CFO≌△AOE， ∴AO=CO， ∴AG=CH， ∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90， ∴△AOE∽△ABC， ∴ = =tan∠BAC= ， ∵HE∥BC， ∴∠AEH=90， ∴∠HEO=∠GEO=∠BAC， ∴ = ， ∴AO=4OG， ∴AG═CH=3OG， ∵CH=2OG， ∴AG:GH:HC=3:2:3， 故答案為：3:2:3. 【分析】連接EF交AC于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=90,AB∥CD，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠ACD=∠CAB，然后利用AAS判斷出△CFO≌△AOE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AO=CO，根據(jù)等式的性質(zhì)得出AG=CH，然后判斷出△AOE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出∶OA＝BC∶AB=tan∠BAC=，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換得出∠HEO=∠GEO=∠BAC，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得出AO=4OG，進而得出AG═CH=3OG，從而得出答案。 17.【答案】3 【解析】 ：如圖，過點D作DF⊥BC于點F， ∵△ABC中，∠BCA=90，AC=BC= ， 反比例函數(shù)y= （k>0）的圖象過BC中點E， ∴∠BAC=∠ABC=45，且可設(shè)E（， ）， ∵△BDE∽△BCA ∴三角形BDE也是等腰直角三角形， ∴DF=EF ∴F（， ） ∴D（-， ） ∴ 解 得：k=3 【分析】過點D作DF⊥BC于點F，△ABC中，∠BCA=90，AC=BC= 2 ， 反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象過BC中點E，∠BAC=∠ABC=45，且可設(shè)E（ ， ），由△BDE∽△BCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出DF=EF，進而得出F,D的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于k的方程，求解得出k的值。 18.【答案】5 【解析】 ：∵矩形ABCD，OE⊥AC ∴∠ADC=∠AOE=90,AB=CD AO=AC 在Rt△AOD中，AB=4，AD=8 ∴AC=BD= ∵∠EAO=∠DAO，∠ADC=∠AOE ∴△AEO∽△ACO ∴ 8AE=42 解之：AE=5 故答案為：5 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ADC=∠AOE=90,AB=CD，求出AO的長，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后證明△AEO∽△ACO，利用相似三角形的性質(zhì)，建立方程求解即可。 19.【答案】6 【解析】 ： ∵FH∥AB ∴ ∴ ∵CG∥AB ∴ ∴ ∴2（1+BC）=5+BC 解之：BC=3 ∴AB=1.5（1+BC）=1.5（1+3）=6 故答案為：6【分析】抓住題中的隱含條件：FH∥AB，CG∥AB，得出對應(yīng)線段成比例，從而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出BC的長，繼而可求出AB的長。 20.【答案】 【解析】 ：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90，∴∠KDC+∠HDA=90． ∵∠C+∠KDC=90，∴∠C=∠HDA． ∵∠CKD=∠DHA=90，∴△CKD∽△DHA， ∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15， 解得：CK= ． 故答案為： ． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及已知證明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再證明△CKD∽△DHA，得出對應(yīng)邊成比例，就可求出CK的長。 三、解答題 21.【答案】解：如圖所示： ∵AD是角平分線， ∴∠1=∠2， 又∵AB AD = AE AC， ∴△ABE∽△ACD， ∴∠3=∠4， ∴∠BED=∠BDE， ∴BE=BD． 【解析】【分析】利用角平分線的定義得出∠1=∠2，根據(jù)AB：AD = AE：AC，可證得△ABE∽△ACD，得對應(yīng)角相等即∠3=∠4，再根據(jù)等角的補角相等證出∠BED=∠BDE，然后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論。 22.【答案】解：設(shè)菱形的邊長為xcm， 則DE=DF=BF=BE=xcm， ∵四邊形BEDF是菱形， ∴DE∥BC，DF∥AB， ∴∠ADE=∠C，∠A=∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴ ， ∴ = ， x= ， 即菱形的邊長是 cm 【解析】【分析】設(shè)菱形的邊長為xcm，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DE=DF=BF=BE=xcm，DE∥BC，DF∥AB，根據(jù)二直線平行同位角相等得出∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，進而判斷出△AED∽△DFC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程，求解即可得出答案。 23.【答案】解：∵四邊形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ， 由于矩形長與寬的比為3：2， ∴分兩種情況： ①若PQ為長，PN為寬， 設(shè)PQ=3k，PN=2k， 則 ， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN為6，PQ為寬， 設(shè)PN=3k，PQ=2k， 則 ， 解得：k= ， ∴PN= cm，PQ= cm； 綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為 cm，寬為 cm． 【解析】【分析】先利用“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證得△APQ∽△ABC，即可得到，再分兩種情況①若PQ為長，PN為寬與②PN為6，PQ為寬，求得k的值即可求得矩形的長與寬. 24.【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴?ABC∽?ADE， ∴ ， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴ ， ∴AB＝17， 即河寬為17米 【解析】【分析】首先很容易判斷出?ABC∽?ADE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出 AD∶AB=DE∶BC，從而即可求出河的寬度。 25.【答案】（1）解：當(dāng) 時，PE=QE.即E為AC中點，理由如下： 連接BE， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BE=CE， ∠PBE=∠C=45， 又∵∠PEB+∠BEQ=90，∠CEQ+∠BEQ=90， ∴∠PEB=∠CEQ， 在△PEB和△QEC中， ∵ , ∴△PEB≌△QEC（ASA）， ∴PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下： 作EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠EMP=∠ENQ=90， 又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90， ∴∠MEP=∠NEQ, ∴△MEP∽△NEQ， ∴EP：EQ=ME:NE, 又∵∠EMA=∠ENC=90，∠A=∠C， ∴△MEA∽△NEC， ∴ME:NE=EA:EC， ∵ , ∴EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；02+ 時，EF與BC不會相交）. 【分析】【探究一】①根據(jù)已知條件得E為AC中點，連接BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可BE=CE，∠PBE=∠C=45，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△PEB≌△QEC，再由全等三角形的性質(zhì)得PE=QE. ②作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分別證△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案. ③作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分別證△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案. 【探究二】①設(shè)EQ=x，根據(jù)【探究一】（2）中的結(jié)論可知則EP= x，根據(jù)三角形面積公式得出S的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)EQ⊥BC時，EQ與EN重合時，面積取最?。划?dāng)EQ=EF時，S取得最大；代入數(shù)值計算即可得出答案. ②根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)求得當(dāng)EQ與BE重合時，△EPQ的面積，再來分情況討論即可.