2018版高中數學 第二章 概率 2.5.1 離散型隨機變量的均值學案 蘇教版選修2-3.doc

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25.1離散型隨機變量的均值學習目標1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.理解離散型隨機變量的均值的性質.3.掌握兩點分布、二項分布的均值.4.會利用離散型隨機變量的均值，反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關的實際問題知識點一離散型隨機變量的均值或數學期望設有12個西瓜，其中4個重5 kg,3個重6 kg,5個重7 kg.思考1任取1個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試問X可以取哪些值？思考2當X取上述值時，對應的概率分別是多少？思考3如何求每個西瓜的平均重量？梳理離散型隨機變量的均值或數學期望一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表：Xx1x2xnPp1p2pn(1)數學期望：E(X)_.(2)性質pi0，i1,2，n；p1p2pn1.(3)數學期望的含義：它反映了離散型隨機變量取值的_知識點二兩點分布、超幾何分布、二項分布的均值1兩點分布：若X01分布，則E(X)_.2超幾何分布：若XH(n，M，N)，則E(X)_.3二項分布：若XB(n，p)，則E(X)_.類型一離散型隨機變量的均值例1某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，假設這名同學回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響(1)求這名同學回答這三個問題的總得分X的概率分布和均值；(2)求這名同學總得分不為負分(即X0)的概率反思與感悟求隨機變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值(2)求出X取每個值的概率P(Xk)(3)寫出X的分布列(4)利用均值的定義求E(X)跟蹤訓練1在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個獎品是5元，20個獎品是25元，5個獎品是100元在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？引申探究在重復5次投籃時，命中次數為Y，隨機變量5Y2.求E()例2某運動員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次命中次數X的均值；(2)求重復5次投籃，命中次數Y的均值反思與感悟(1)常見的兩種分布的均值設p為一次試驗中成功的概率，則兩點分布E(X)p；二項分布E(X)np.熟練應用上述兩公式可大大減少運算量，提高解題速度(2)兩點分布與二項分布辨析相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生不同點：a隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0,1，二項分布中隨機變量的取值X0,1,2，n.b試驗次數不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗跟蹤訓練2根據以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數，求X的均值例3一個口袋內有n(n3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n3)個白球已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是.不放回地從口袋中隨機取出3個球，求取到白球的個數的均值E()反思與感悟(1)超幾何分布模型一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中含有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.(2)超幾何分布均值的計算公式若一個隨機變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X).跟蹤訓練3設在15個同類型的零件中有2個次品，每次任取1個，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的個數，求均值E(X)類型二均值的應用例4甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當裁判的次數，求X的均值反思與感悟解答此類題目，應首先把實際問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有關的公式求出相應的概率及均值跟蹤訓練4某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的概率分布和均值1現有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為，.隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為_2若p為非負實數，隨機變量的概率分布如下表：012Ppp則E()的最大值為_3設隨機變量XB(40，p)，且E(X)16，則p_.4袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現從袋中任取一球，表示所取球的標號(1)求的概率分布、均值；(2)若a4，E()1，求a的值1求離散型隨機變量的均值的步驟(1)確定離散型隨機變量X的取值(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否(3)根據公式寫出均值2若X、Y是兩個隨機變量，且YaXb，則E(Y)aE(X)b；如果一個隨機變量服從兩點分布或二項分布，可直接利用公式計算均值答案精析問題導學知識點一思考1X5,6,7.思考2P(X5)，P(X6)，P(X7).思考3567.梳理(1)x1p1x2p2xnpn(3)平均水平知識點二1p2.3.np題型探究例1解(1)X的可能取值為300，100,100,300.P(X300)0.230.008，P(X100)C0.80.220.096，P(X100)C0.820.210.384，P(X300)0.830.512，所以X的概率分布如下表：X300100100300P0.0080.0960.3840.512所以E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分)(2)這名同學總得分不為負分的概率為P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.跟蹤訓練1解設一張彩票的中獎額為隨機變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表：X0525100P所以E(X)05251000.2，所以一張彩票的合理價格是0.2元例2解(1)投籃1次，命中次數X的概率分布如下表：X01P0.40.6則E(X)0.6.(2)由題意知，重復5次投籃，命中次數Y服從二項分布，即YB(5,0.6)，E(Y)np50.63.引申探究解E()E(5Y2)5E(Y)253217.跟蹤訓練2解設該車主購買乙種保險的概率為p，由題意知p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)設所求概率為P1，則P11(10.5)(10.6)0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8.(2)每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是20.例3解p，n5，5個球中有2個白球方法一白球的個數可取0,1,2.則P(0)，P(1)，P(2).E()012.方法二取到白球的個數服從參數為N5，M2，n3的超幾何分布，則E().跟蹤訓練3解方法一P(X0)，P(X1)，P(X2)，則E(X)012.方法二由題意可知，X服從N15，M2，n3的超幾何分布，E(X).例4解(1)記A1表示事件“第2局結果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結果為甲負”，A表示事件“第4局甲當裁判”則AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”則P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(1B3)P(1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2).跟蹤訓練4解(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個球是紅球，B1顧客抽獎1次獲一等獎，B2顧客抽獎1次獲二等獎，C顧客抽獎1次能獲獎由題意，A1與A2相互獨立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因為P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的概率分布如下表：X0123P故X的均值為E(X)3.當堂訓練11.182.3.0.44解(1)的概率分布如下表：01234P的均值為E()01234.(2)E()aE()41，又E()，則a41，a2.