2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5.doc
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一 數(shù)學(xué)歸納法 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍. 3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題. 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義 一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟: (1)證明當(dāng)n=n0時命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+且k≥n0)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟 (1)(歸納奠基)驗證當(dāng)n=n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,推導(dǎo)n=k+1時命題也成立. (3)結(jié)論:由(1)(2)可知,命題對一切n≥n0的自然數(shù)都成立. 1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)歸納法的特點是由一般到特殊.( ) (2)在運用數(shù)學(xué)歸納法時,要注意起點n一定取1.( ) (3)數(shù)學(xué)歸納法得出的結(jié)論都是正確的.( ) (4)數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟,第一步是歸納基礎(chǔ),第二步是歸納遞推,兩者缺一不可.( ) (5)數(shù)學(xué)歸納法第二步不需要假設(shè)也可以得出結(jié)論.( ) 答案:(1) (2) (3)√ (4)√ (5) 2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時,第一步應(yīng)驗證( ) A.n=1成立 B.n=2成立 C.n=3成立 D.n=4成立 答案:C 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=,當(dāng)n=1時,左邊應(yīng)為________. 解析:因為當(dāng)n=1時,n+3=4. 所以左邊應(yīng)為1+2+3+4. 答案:1+2+3+4 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式[學(xué)生用書P54] 用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…+-=++…+(n≥1,n∈N+). 【證明】 (1)當(dāng)n=1時,左邊=1-=,右邊=, 命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立, 即1-+-+…+- =++…+. 當(dāng)n=k+1時, 左邊=1-+-+…+-+- =++…++- =++…++, 即當(dāng)n=k+1時等式也成立. 由(1)和(2)知,等式對一切n≥1,n∈N+均成立. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意點 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準(zhǔn)確表達n=n0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點,并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時,必須使用歸納假設(shè). 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:n∈N+時,++…+=. 證明:①當(dāng)n=1時,左邊=,右邊==,左邊=右邊,所以等式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,等式成立,即有++…+=,則當(dāng)n=k+1時, ++…++ =+= == =.所以n=k+1時,等式也成立. 由①②可知,對一切n∈N+等式都成立. 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2,n∈N+). (1)求a2,a3; (2)求證:an=. 解:(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時,a1=1=,所以等式成立. ②假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時等式成立, 即ak=,那么當(dāng)n=k+1時, ak+1=ak+3k=+3k==. 即n=k+1時,等式也成立. 由①②知等式對n∈N+都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題[學(xué)生用書P55] 用數(shù)學(xué)歸納法證明(x+1)n+1+(x+2)2n-1(n∈N+)能被x2+3x+3整除. 【證明】?、佼?dāng)n=1時, (x+1)1+1+(x+2)21-1=x2+3x+3能被x2+3x+3整除,命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,(x+1)k+1+(x+2)2k-1能被x2+3x+3整除,那么 (x+1)(k+1)+1+(x+2)2(k+1)-1 =(x+1)(x+1)k+1+(x+2)2(x+2)2k-1 =(x+1)(x+1)k+1+(x+1)(x+2)2k-1-(x+1)(x+2)2k-1+(x+2)2(x+2)2k-1 =(x+1)[(x+1)k+1+(x+2)2k-1]+(x2+3x+3)(x+2)2k-1. 因為(x+1)k+1+(x+2)2k-1和x2+3x+3都能被x2+3x+3整除, 所以上面的式子也能被x2+3x+3整除. 這就是說,當(dāng)n=k+1時, (x+1)(k+1)+1+(x+2)2(k+1)-1也能被x2+3x+3整除. 根據(jù)①②可知,命題對任何n∈N+都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證. (2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明,其中關(guān)鍵問題是從n=k+1時的表達式中分解出n=k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式. 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除. 證明:(1)當(dāng)n=0時,A0=112+12=133能被133整除. 當(dāng)n=1時,A1=113+123=13323,能被133整除. (2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,Ak=11k+2+122k+1能被133整除. 當(dāng)n=k+1時,Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k+1. 所以n=k+1時,命題也成立. 根據(jù)(1)(2),對于任意整數(shù)n≥0,命題都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題[學(xué)生用書P55] 平面上有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成了f(n)=n2-n+2部分. 【證明】?、佼?dāng)n=1時,一個圓把平面分成兩部分,且f(1)=1-1+2=2,因此,n=1時命題成立. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2部分.如果增加一個滿足條件的任一個圓,則這個圓必與前k個圓交于2k個點.這2k個點把這個圓分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分.因此,這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k部分,即有f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2, 即當(dāng)n=k+1時,f(n)=n2-n+2也成立. 根據(jù)①②可知n個圓把平面分成了f(n)=n2-n+2部分. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的技巧 (1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式,然后加以證明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般結(jié)論. (2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚n=k與n=k+1時二者的差異,這時常常借助于圖形的直觀性,然后用數(shù)學(xué)式子予以描述,建立起f(k)與f(k+1)之間的遞推關(guān)系,實在分析不出的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可. (3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式,還要注意結(jié)論要有必要的文字說明. 平面上有n(n≥2,且n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點.求證:這n條直線共有f(n)=個交點. 證明:①當(dāng)n=2時,兩直線只有1個交點, 又f(2)=2(2-1)=1. 所以當(dāng)n=2時,命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N+)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1),則當(dāng)n=k+1時,任取其中一條直線記為l,由歸納假設(shè)知,剩下的k條直線l1,l2,…,lk的交點個數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點,所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個. 所以f(k+1)=f(k)+k=+k= ==. 所以當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由①②可知,命題對一切n∈N+且n≥2均成立. 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題,但是,并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法中兩步的作用 在數(shù)學(xué)歸納法中第一步“驗證n=n0時命題成立”是奠基,是推理證明的基礎(chǔ),第二步是假設(shè)與遞推,保證了推理的延續(xù)性. 3.運用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵 運用歸納假設(shè)是關(guān)鍵,在使用歸納假設(shè)時,應(yīng)分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設(shè)出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進行局部調(diào)整. 1.求證:1+++…+=(n∈N+). 證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊==1, 所以左邊=右邊,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立, 即1+++…+=. 當(dāng)n=k+1時, 1+++…++ =+ =+ = =. 這就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)可知,對任何n∈N+,等式都成立. 2.求證:Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時,S1=1+8+27=49,能被9整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,n∈N+)時,Sn能被9整除, 即Sk=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 當(dāng)n=k+1時, Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27 =Sk+9(k2+3k+3). 因為Sk能被9整除,9(k2+3k+3)能被9整除, 所以Sk+1能被9整除. 即當(dāng)n=k+1時,Sn能被9整除. 由(1)(2)知,對n∈N+,Sn能被9整除. 故由(1)和(2)得,對n≥2,n∈N+,等式恒成立.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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