2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 蘇教版選修2-2.doc
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第3節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,會用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。 二、重點、難點 能運用數(shù)學(xué)歸納法證明和自然數(shù)有關(guān)的命題。 三、考點分析: 數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想是比較常見的數(shù)學(xué)思想,因此要重視。數(shù)學(xué)歸納法在考試中時隱時現(xiàn),且較隱蔽,因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視。只要與自然數(shù)有關(guān),都可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)然主要是恒等式、等式、不等式、整除問題、幾何問題、三角問題、數(shù)列問題等聯(lián)系得更多一些。 一、數(shù)學(xué)歸納法的定義: 由歸納法得到的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的證明方法: (1)先證明當(dāng)n=n0(n0是使命題成立的最小自然數(shù))時命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*, k≥n0)時命題成立,再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立,那么就證明這個命題成立,這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。 二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用: (1)證恒等式; (2)整除性的證明; (3)探求平面幾何中的問題; (4)探求數(shù)列的通項; (5)不等式的證明。 特別提示 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時,兩步缺一不可; (2)證題時要注意兩湊:一湊歸納假設(shè);二湊目標(biāo)。 例1 已知,則的值為( ) A. + B. ++ C. - D. +- 思路分析:是從n+1開始的n個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和,故是從n+2開始的n+1個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和,即 = ==++- =+- 故選D。 解題后反思:用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程實質(zhì)上是一個遞推的過程,(1)是遞推的基礎(chǔ),(2)是遞推的條件;二者缺一不可。 例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等。 思路分析:和自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可以選用數(shù)學(xué)歸納法。 證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊==右邊,等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即 則, 當(dāng)n=k+1時,等式也成立, 綜合(1)(2),等式對所有正整數(shù)都成立 解題后反思:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時,兩步缺一不可;(2)證題時要注意兩湊:一湊歸納假設(shè);二湊目標(biāo)。 例3 在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時,an,Sn,Sn-成等比數(shù)列。 (1)求a2,a3,a4,并推出an的表達式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。 思路分析:本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法,可以依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟,采用的方法是歸納、猜想、證明。 求通項可先證明{}是以為首項,為公差的等差數(shù)列,進而求得通項公式 解題過程:∵an,Sn,Sn-成等比數(shù)列, ∴Sn2=an(Sn-)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得a2=- 由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得a3=- 同理可得a4=-,由此可推出an= (2)①當(dāng)n=1,2,3,4時,由(*)知猜想成立 ②假設(shè)n=k(k≥2)時,ak=-成立 故Sk2=-(Sk-) ∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0 ∴Sk=(舍) 由Sk+12=ak+1(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-) 由①②知,an=對一切n∈N*成立 解題后反思:(2)中,Sk=-應(yīng)舍去,這一點往往容易被忽視。 例4 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c對一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論。 思路分析:先取n=1,2,3探求a、b、c的值,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切n∈N*,a、b、c所確定的等式都成立。 解題過程:分別用n=1,2,3代入解方程組 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。 (1)當(dāng)n=1時,由上可知等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立, 則當(dāng)n=k+1時, 左邊=1[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2] =1(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1) =k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1) =(k+1)4-(k+1)2。 ∴當(dāng)n=k+1時,等式成立。 由(1)(2)得等式對一切的均成立。 解題后反思:本題是探索性命題,它通過觀察——歸納——猜想——證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題,并證明所得結(jié)論的正確性,這是非常重要的一種思維能力。 (全國高考)已知數(shù)列中,。 (1)設(shè),求數(shù)列的通項公式; (2)求使不等式成立的的取值范圍。 思路分析:(1)將代入到中整理,并替換,得到關(guān)系式,進而可得到{}是首項為,公比為4的等比數(shù)列,先得到的通項公式,即可得到數(shù)列的通項公式。 (2)先求出時的的取值范圍,然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進行證明,當(dāng)時,然后當(dāng)時,令,由,可發(fā)現(xiàn)時不能滿足條件,進而可確定的取值范圍。 解題過程:(1), ,即。 ,又a1=1,故, 所以是首項為,公比為4的等比數(shù)列, 。 (2),由a2>a1得c>2。 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)c>2時,an- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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