2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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2．6.2　求曲線的方程 在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，－3)，(4，－1)． 問題1：求平面上任一點(diǎn)M(x，y)到A點(diǎn)的距離． 提示：MA＝. 問題2：試列出到點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)滿足的方程． 提示：MA＝MB， 即 ＝. 求曲線方程的一般步驟 正確認(rèn)識求曲線方程的一般步驟： (1)“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”所謂“適當(dāng)”是指若曲線是軸對稱圖形，則可以選它的對稱軸為坐標(biāo)軸；其次，可以選曲線上的特殊點(diǎn)作為原點(diǎn)． (2)“設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)”．這一步實際上是在挖掘形成曲線的條件中所含的等量關(guān)系． (3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”這里就是等量關(guān)系的坐標(biāo)化，完成這一步需要使用解析幾何的基本公式及平面幾何、三角等基礎(chǔ)知識． (4)“化方程f(x，y)＝0為最簡形式”．化簡時需要使用代數(shù)中的恒等變形的方法． (5)“說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”．這一步的證明是必要的．從教材內(nèi)容看，這一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步時，所用的變形方法應(yīng)都是可逆的，否則要作適當(dāng)說明． 直接法求曲線方程 [例1]　△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差數(shù)列，AB＝2，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　由a，c，b成等差數(shù)列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求軌跡方程是整個軌跡方程的一部分；由AB＝2可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．于是可按求曲線方程的一般步驟求解. [精解詳析]　以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸， 建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)， B(1,0)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由已知得AC＋BC＝2AB. 即 ＋＝4， 整理化簡得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1. 又∵a>c>b，∴x<0且x≠－2. 所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ＋＝1(x<0且x≠－2)． [一點(diǎn)通]　 1．“直接法”求曲線方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實際求解時可簡化為三大步，即：建系、設(shè)點(diǎn)→根據(jù)條件列方程→化簡； 2．其中“建系”是指建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．所謂“適當(dāng)”應(yīng)使計算量較小，且所得的方程形式較簡單．若坐標(biāo)系建立不當(dāng)，計算量就會大大增加，有時很可能得不到正確的結(jié)果． 1．若將本例已知條件“a>c>b且a，c，b成等差數(shù)列”改為“△ABC的周長為6且AB＝2”，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． 解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． 則A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)C(x，y)， 由已知得AC＋BC＋AB＝6. 即＋＝4. 化簡整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1. ∵A、B、C三點(diǎn)不能共線， ∴x≠2. 綜上，點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1(x≠2)． 2．已知三點(diǎn)O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足|＋ |＝(＋)＋2.求曲線C的方程． 解：由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得 |＋|＝， 又(＋)＝(x，y)(0,2)＝2y， 由已知得 ＝2y＋2， 化簡得曲線C的方程是x2＝4y. 定義法求曲線方程 　　 [例2]　已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與定直線l：x＝1，且動圓P和圓A外切并與直線l相切，求動圓的圓心P的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　利用平面幾何的知識，分析點(diǎn)P滿足的條件為拋物線，可用定義法求解． [精解詳析]　如圖，作PK垂直于直線x＝1，垂足為K，PQ垂直于直線x＝2，垂足為Q，則KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1， 所以AP＝PQ， 故點(diǎn)P到圓心A(－2,0)的距離和到定直線x＝2的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線， A(－2,0)為焦點(diǎn)，直線x＝2為準(zhǔn)線． ∴＝2，∴p＝4， ∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－8x. [一點(diǎn)通]　若動點(diǎn)運(yùn)動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征． 3．點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x＝8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 解：設(shè)d是點(diǎn)F到直線x＝8的距離， 根據(jù)題意，得＝. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，x＝8為準(zhǔn)線的橢圓，則解得 ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1. 4.如圖所示，已知點(diǎn)C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且＝0，＝2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為C(－，0)，半徑r＝2，∵＝0，＝2， ∴MQ⊥AP，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，即QM垂直平分AP. 連結(jié)AQ, 則AQ＝QP， ∴|QC－QA|＝|QC－QP|＝CP＝r＝2. 又|AC|＝2＞2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實軸長為2的雙曲線， 由c＝，a＝1，得b2＝1， 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2－y2＝1. 代入法求曲線方程 [例3]　動點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，再借助M滿足的關(guān)系即可得到P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系． [精解詳析]　設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， ∵P為MB的中點(diǎn)，∴ 即 又∵M(jìn)在曲線x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1. ∴P點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1. [一點(diǎn)通]　代入法：利用所求曲線上的動點(diǎn)與某一已知曲線上的動點(diǎn)的關(guān)系，把所求動點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知動點(diǎn)．具體地說，就是用所求動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)來表示已知動點(diǎn)的坐標(biāo)，并代入已知動點(diǎn)滿足的曲線方程，由此即可求得所求動點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡方程． 5．已知圓C的方程為x2＋y2＝4，過圓C上的一動點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)直線m與y軸的交點(diǎn)為N，若＝＋，求動點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y0≠0)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，y0)． 因為＝＋， 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)， 則x0＝x，y0＝. 又因為點(diǎn)M在圓C上，所以x＋y＝4. 即x2＋＝4(y≠0)． 所以動點(diǎn)Q的軌跡方程是＋＝1(y≠0)． 6．已知曲線C：y2＝x＋1，定點(diǎn)A(3,1)，B為曲線C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA＝1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在曲線C上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 由BP∶PA＝1∶2，得＝2， 即(3－x,1－y)＝2(x－x0，y－y0)． ∴ ∴ ∵點(diǎn)B(x0，y0)在曲線y2＝x＋1上， ∴2＝＋1. 化簡得：2＝. 即點(diǎn)P的軌跡方程為2＝. 1．求曲線的方程時，若題設(shè)條件中無坐標(biāo)系，則需要恰當(dāng)建系，要遵循垂直性和對稱性的原則，即借助圖形中互相垂直的直線建系，借助圖形的對稱性建系．一方面讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，另一方面能使求出的軌跡方程形式簡捷． 2．求曲線的方程常用的方法． (1)直接法； (2)定義法； (3)相關(guān)點(diǎn)代入法； (4)待定系數(shù)法等． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十六)]　 1．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是________． 解析：設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，到兩坐標(biāo)軸的距離為|x|，|y|. 則|x|＝|y|，∴x2＝y(tǒng)2. 答案：x2＝y(tǒng)2 2．等腰三角形底邊的兩個頂點(diǎn)是B(2,1)，C(0，－3)，則另一頂點(diǎn)A的軌跡方程是________． 解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)． 由已知得AB＝AC， 即＝. 化簡得 x＋2y＋1＝0. ∵點(diǎn)A不能在直線BC上，∴x≠1， ∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為x＋2y＋1＝0(x≠1)． 答案：x＋2y＋1＝0(x≠1) 3．已知兩定點(diǎn)A(－1,0)，B(2,0)，動點(diǎn)P滿足＝，則P點(diǎn)的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P(x，y)，由已知得＝， 化簡得：x2＋4x＋y2＝0. 即(x＋2)2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 4．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動點(diǎn)P滿足PA＝2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于________． 解析：設(shè)P(x，y)，由題知(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圓的面積為4π. 答案：4π 5．已知直線l：2x＋4y＋3＝0，P為l上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線段OP為1∶2兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是________． 解析：據(jù)題意，＝3，設(shè)P(x′，y′)，Q(x，y)， 則又∵P(x′，y′)在2x＋4y＋3＝0上， ∴2(3x)＋4(3y)＋3＝0，即2x＋4y＋1＝0， 即點(diǎn)Q的軌跡方程為2x＋4y＋1＝0. 答案：2x＋4y＋1＝0 6．若動點(diǎn)P在曲線y＝2x2＋1上移動，求點(diǎn)P與Q(0，－1)連線中點(diǎn)M的軌跡方程． 解：設(shè)P(x0，y0)，中點(diǎn)M(x，y)， 則∴ 又P(x0，y0)在曲線y＝2x2＋1上， ∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為y＝4x2. 7．已知雙曲線2x2－2y2＝1的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，P為動點(diǎn)，若PF1＋PF2＝6，求動點(diǎn)P的軌跡E的方程． 解：依題意雙曲線方程可化為－＝1， 則F1F2＝2. ∴PF1＋PF2＝6>F1F2＝2， ∴點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為＋＝1(a>b>0)． 由2a＝6,2c＝2得a＝3，c＝1. ∴b2＝a2－c2＝8. 則所求橢圓方程為＋＝1. 故動點(diǎn)P的軌跡E的方程為＋＝1. 8.如圖所示，A(m，m)和B(n，－n)兩點(diǎn)分別在射線OS，OT上移動，且＝－，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足＝＋. (1)求mn的值； (2)求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？ 解：(1)由＝(m，m)(n，－n)＝－2mn. 得－2mn＝－，即mn＝. (2)設(shè)P(x，y)(x>0)，由＝＋， 得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)， ∴ 整理得x2－＝4mn， 又mn＝， ∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2－＝1(x>0)． 它表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，實軸長為2，焦距為4的雙曲線x2－＝1的右支．