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基礎送分專題三 不等式
不等式的性質及解法
[題組練透]
1．(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)設a>b，a，b，c∈R，則下列式子正確的是( )
A．ac2>bc2 B.>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：選C 若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；若b<0，則<1，故B錯；不論c取何值，都有a－c>b－c，故C正確；若a，b都小于0，則a2
0，q：<0，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0?(1－x2)(|x|－2)<0，當x≥0時，可化為(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.
當x<0時，可化為(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－12，所以由p?q，但qp，故選A.
4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實數a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.∪{2}
解析：選B 當a2－4＝0時，解得a＝2或a＝－2，當a＝2時，不等式可化為4x－1≥0，解集不是空集，不符合題意；當a＝－2時，不等式可化為－1≥0，此式不成立，解集為空集．當a2－4≠0時，要使不等式的解集為空集，則有解得－20在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個不等實數根，又知兩根之積為負，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范圍為.
答案：
[題后悟通]
快審題
1.看到有關不等式的命題或結論的判定，想到不等式的性質．
2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟．
準 解 題
1.明確解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數圖象確定一元二次不等式的解集．
(2)含指數、對數的不等式：利用指數、對數函數的單調性將其轉化為整式不等式求解．
2.掌握不等式恒成立問題的解題方法
(1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a；
f(x)g(x)對一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方．
(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數．利用分離參數法時，常用到函數單調性、基本不等式等．
避誤區(qū)
解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論.
簡單的線性規(guī)劃問題
[題組練透]
1．(2019屆高三重慶調研)若實數x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值為( )
A．3 B．4
C．5 D．7
解析：選B 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0并平移該直線，易知當直線經過點A(1,2)時，目標函數z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝21＋2＝4，故選B.
2．(2018廣州測試)若x，y滿足約束條件則z＝x2＋2x＋y2的最小值為( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選D 畫出約束條件對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標函數z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的幾何意義是平面區(qū)域內的點到定點(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內的點到定點(－1,0)的距離的最小值為，故zmin＝－1＝－.
3．(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件若z＝x＋2y的最大值為4，則實數m的值為( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．1
解析：選B 作出約束條件所對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知直線z＝x＋2y過A點時z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝20－2＝－2.
4．(2018合肥質檢)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產品都需要在A，B兩種設備上加工，生產一件甲產品需用A設備2小時，B設備6小時，生產一件乙產品需用A設備3小時，B設備1小時．A，B兩種設備每月可使用時間數分別為480小時、960小時，若生產的產品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為( )
A．320千元 B．360千元
C．400千元 D．440千元
解析：選B 設生產甲產品x件，生產乙產品y件，利潤為z千元，則每月利潤z＝2x＋y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線經過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150,60)時，z取得最大值，為360.
5．(2018全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________．
解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直線l0：y＝－x.
平移直線l0，當直線y＝－x＋過點(2,0)時，
z取最大值，zmax＝32＋20＝6.
答案：6
[題后悟通]
快 審 題
1.看到最優(yōu)解求參數，想到由最值列方程(組)求解．
2.看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其幾何意義．
3.看到最優(yōu)解型的實際應用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實際意義．
準 解 題
記牢三種常見的目標函數及其求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標函數的最值常將函數z＝ax＋by轉化為y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z＝kPM.
避 誤 區(qū)
1.忽視目標函數中y的系數的正負，而由直線截距的最值確定目標函數的最值．
2.求解含參數的線性規(guī)劃問題，首先要注意對參數取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數的值.
基本不等式及其應用
[題組練透]
1．已知正數a，b的等比中項是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選C 由正數a，b的等比中項是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，
所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，當且僅當a＝b＝2時取“＝”，
故m＋n的最小值為5.
2．已知P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點，則當＋取最小值時，a2的值為( )
A. B．2
C. D．3
解析：選C ∵P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥＝，
當且僅當b2＝2a2＝時取等號，故a2＝，選C.
3．設x>0，則函數y＝x＋－的最小值為________．
解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.當且僅當x＋＝，即x＝時等號成立．
答案：0
4．(2018石家莊質檢)已知直線l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)經過點(2,3)，則a＋b的最小值為________．
解析：因為直線l經過點(2,3)，
所以2a＋3b－ab＝0，
即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，當且僅當＝，即a＝3＋，b＝2＋時等號成立．
答案：5＋2
5．(2018洛陽統(tǒng)考)我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數學聯(lián)賽(河南初賽)，他們取得的成績(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數是81，乙班學生成績的平均數是86，若正實數a，b滿足a，G，b成等差數列且x，G，y成等比數列，則＋的最小值為________．
解析：由甲班學生成績的中位數是81，可知81為甲班7名學生的成績按從小到大的順序排列的第4個數，故x＝1.由乙班學生成績的平均數為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數列，可得G2＝xy＝4，由正實數a，b滿足a，G，b成等差數列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(a＋b)＝ ≥(5＋4)＝(當且僅當b＝2a時取等號)．故＋的最小值為.
答案：
[題后悟通]
快審題
看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”．
準 解 題
掌握基本不等式求最值的3種解題技巧
(1)湊項：通過調整項的符號，配湊項的系數，使其積或和為定值．
(2)湊系數：若無法直接運用基本不等式求解，通過湊系數后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．
(3)換元：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．
避誤區(qū)
運用基本不等式時，一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指“正數”；“二定”指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件．若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到.
一、選擇題
1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．－3
解析：選D 由題意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
2．若x>y>0，m>n，則下列不等式正確的是( )
A．xm>ym B．x－m≥y－n
C.> D．x>
解析：選D A不正確，因為同向同正不等式相乘，不等號方向不變，m可能為0或負數；B不正確，因為同向不等式相減，不等號方向不確定；C不正確，因為m，n的正負不確定．故選D.
3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：選D ∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
4．(2018成都一診)若關于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，則實數a的取值范圍為( )
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,1] D．[0，＋∞)
解析：選B 法一：當x＝0時，不等式為1≥0恒成立；
當x＞0時，x2＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x2＋1)?2a≥－，又－≤－2，當且僅當x＝1時取等號，所以2a≥－2?a≥－1，所以實數a的取值范圍為[－1，＋∞)．
法二：設f(x)＝x2＋2ax＋1，函數圖象的對稱軸為直線x＝－a.
當－a≤0，即a≥0時，f(0)＝1＞0，所以當x∈[0，＋∞)時，f(x)≥0恒成立；
當－a＞0，即a＜0時，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝ －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.綜上，實數a的取值范圍為[－1，＋∞)．
5．已知函數f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，則實數a的取值范圍為( )
A．(－∞，0) B．[－2,2]
C．(－∞，2] D．[0,2]
解析：選C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得當x≤0時，2x－1≥－1，即2x≥0，顯然成立；又x＞0時，x2－ax≥－1，即為a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，當且僅當x＝1時，取得最小值2，可得a≤2，綜上可得實數a的取值范圍為(－∞，2]．
6．若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：選C 法一：因為<<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因為ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.
法二：由<<0，可知b0，所以<，故①正確；
②中，因為b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤；
③中，因為b－>0，所以a－>b－，故③正確；
④中，因為ba2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數，所以ln b2>ln a2，故④錯誤．
由以上分析，知①③正確．
7．(2018長春質檢)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：選B 由4x＋y＝xy，得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B.
8．如果實數x，y滿足不等式組目標函數z＝kx－y的最大值為6，最小值為0，則實數k的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
則A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)，
因為目標函數z＝kx－y的最小值為0，
所以目標函數z＝kx－y的最小值可能在A或B處取得，
所以若在A處取得，則k－2＝0，得k＝2，此時，z＝2x－y在C點有最大值，z＝23－0＝6，成立；
若在B處取得，則k＋1＝0，得k＝－1，此時，z＝－x－y，
在B點取得最大值，故不成立，故選B.
9．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為( )
甲
乙
原料限額
A/噸
3
2
12
B/噸
1
2
8
A．15萬元 B．16萬元
C．17萬元 D．18萬元
解析：選D 設生產甲產品x噸，乙產品y噸，獲利潤z萬元，由題意可知
z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
直線z＝3x＋4y過點M時取得最大值，
由得∴M(2,3)，
故z＝3x＋4y的最大值為18，故選D.
10．已知實數x，y滿足約束條件若y≥kx－3恒成立，則實數k的取值范圍是( )
A. B.
C．(－∞，0]∪ D.∪[0，＋∞)
解析：選A 由約束條件
作出可行域如圖中陰影分部所示，
則A，B(3，－3)，C(3,8)，
由題意得
解得－≤k≤0.
所以實數k的取值范圍是.
11．若兩個正實數x，y滿足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，則實數n的取值范圍是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
解析：選B 因為不等式x＋－n2－＜0有解，
所以min＜n2＋，
因為x＞0，y＞0，且＋＝1，
所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，
當且僅當＝，即x＝，y＝5時取等號，
所以min＝，
故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，
所以實數n的取值范圍是∪(1，＋∞)．
12．(2019屆高三福州四校聯(lián)考)設x，y滿足約束條件其中a＞0，若的最大值為2，則a的值為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 設z＝，則y＝x，當z＝2時，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點為，當直線x＝a過點時，a＝，又此時直線y＝x的斜率的最小值為－，即－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為，故選C.
二、填空題
13．(2018岳陽模擬)不等式≥1的解集為________．
解析：不等式≥1可轉化成－1≥0，即≥0，
等價于解得≤x＜2，
故不等式的解集為.
答案：
14．(2018全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________．
解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知當直線x＋y＝z過點A時z取得最大值．
由得點A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為xx＜－1或x＞，則關于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集為________．
解析：由題意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
所以且a＜0，
所以
所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化為
－a(lg x)2＋blg x＋a＜0，
即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0.
所以(lg x)2－lg x－2＜0，
所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100.
答案：
16．設x＞0，y＞0，且2＝，則當x＋取最小值時，x2＋＝________.
解析：∵x＞0，y＞0，∴當x＋取最小值時，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，當且僅當＝，即x＝2y時取等號，∴當x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.
答案：12
（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 第一層級 基礎送分 專題三 不等式講義 理（普通生含解析）.doc
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