2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-2教案：2-2-2反證法.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-2教案：2-2-2反證法 主備課教師 阮東良 、 周多龍 、徐江波 項目 內(nèi)容 課題 2.2.2反證法 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1、 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法； 2、 了解反證法的思考過程、特點. 教學(xué)重、 難點 重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程. 難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 教學(xué)準(zhǔn)備 直尺、粉筆 教學(xué)過程 1. 討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次） 2. 提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”. 討論如何證明這個命題？ 3. 給出證法：先假設(shè)可以作一個⊙O過A、B、C三點， 則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上， 即O是l與m的交點。 但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾) ∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓. 二、講授新課： 1. 教學(xué)反證法概念及步驟： ① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么 ② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立. 證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立 應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）. 方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實. 注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識. 2. 教學(xué)例題： ① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？ 與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP， 則由垂徑定理：OP^AB，OP^CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分. ② 出示例2：求證是無理數(shù). （ 同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為） 證：假設(shè)是有理數(shù)，則不妨設(shè)（m,n為互質(zhì)正整數(shù)）， 從而：，，可見m是3的倍數(shù). 設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 ，可見n 也是3的倍數(shù). 這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）. ∴不可能，∴是無理數(shù). ③ 練習(xí)：如果為無理數(shù)，求證是無理數(shù). 提示：假設(shè)為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù)），即. 由，則也是有理數(shù)，這與已知矛盾. ∴ 是無理數(shù). 3. 小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確. 注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題） 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)： 2. 作業(yè)： 板書設(shè)計 教學(xué)反思 課后反思