2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練（一）理.doc

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壓軸題提分練(一) 1．(2018威海模擬) 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點P(，)，動直線l：y＝kx＋m交橢圓C于不同的兩點A，B，且＝0(O為坐標原點)． (1)求橢圓C的方程． (2)討論3m2－2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請說明理由． 解析：(1)由題意可知＝，所以a2＝2c2＝2(a2－b2)，即a2＝2b2，① 又點P(，)在橢圓上，所以有＋＝1，② 由①②聯(lián)立，解得b2＝1，a2＝2， 故所求的橢圓方程為＋y2＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝0， 可知x1x2＋y1y2＝0. 聯(lián)立方程組 消去y化簡整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由Δ＝16k2m2－8(m2－1)(1＋2k2)＞0，得1＋2k2＞m2，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，③ 又由題知x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 整理為(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 將③代入上式，得(1＋k2)－km＋m2＝0. 化簡整理得＝0，從而得到3m2－2k2＝2. 2．(2018南寧二中模擬)設函數(shù)f(x)＝－a2ln x＋x2－ax(a∈R)． (1)試討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)設φ(x)＝2x＋(a2－a)ln x，記h(x)＝f(x)＋φ(x)，當a＞0時，若方程h(x)＝m(m∈R)有兩個不相等的實根x1，x2，證明h′＞0. 解析：(1)由f(x)＝－a2ln x＋x2－ax，可知f′(x)＝－＋2x－a＝＝. 因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，所以， ①若a＞0，當x∈(0，a)時，f′(x)＜0函數(shù)f(x)單調遞減，當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調遞增； ②若a＝0時，f′(x)＝2x＞0在x∈(0，＋∞)內恒成立，函數(shù)f(x)單調遞增； ③若a＜0，當x∈(0，－)時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調遞減，當x∈(－，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調遞增． (2)證明：由題可知h(x)＝f(x)＋φ(x)＝x2＋(2－a)x－aln x(x＞0)， 所以h′(x)＝2x＋(2－a)－＝＝. 所以當x∈(0，)時，h′(x)＜0；當x∈(，＋∞)時，h′(x)＞0；當x＝時，h′()＝0. 欲證h′()＞0，只需證h′()＞h′()，又h″(x)＝2＋＞0，即h′(x)單調遞增，故只需證明＞. 設x1，x2是方程h(x)＝m的兩個不相等的實根，不妨設為0＜x1＜x2， 則 兩式相減并整理得a(x1－x2＋ln x1－ln x2)＝x－x＋2x1－2x2， 從而a＝， 故只需證明＞， 即x1＋x2＞.(*) 因為x1－x2＋ln x1－ln x2＜0， 所以(*)式可化為ln x1－ln x2＜， 即ln＜. 因為0＜x1＜x2，所以0＜＜1， 不妨令t＝，所以得到ln t＜，t∈(0,1)． 記R(t)＝ln t－，t∈(0,1)，所以R′(t)＝－＝≥0，當且僅當t＝1時，等號成立，因此R(t)在(0,1)單調遞增． 又R(1)＝0，因此R(t)＜0，t∈(0,1)， 故lnt＜，t∈(0,1)得證， 從而h′()＞0得證．