2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題4 統(tǒng)計與概率 第2講 大題考法——統(tǒng)計與概率學(xué)案.doc

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第2講　大題考法——統(tǒng)計與概率 考向一　統(tǒng)計與概率的綜合問題 【典例】 (2017全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) 天數(shù) 2 16 36 最高氣溫 [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1) (2)設(shè)六月份一天銷售這種(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． [審題指導(dǎo)] ①看到表格，想到表中最高氣溫與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 ②看到估計概率，想到頻率與概率的關(guān)系可得估計值 ③看到酸奶的利潤，想到進(jìn)貨成本與售價，注意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價處理 [規(guī)范解答]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25?， 2分 由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6， 4分 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. 5分 (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900?； 6分 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)， 則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300?； 7分 若最高氣溫低于20， 則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100?. 8分 所以Y的所有可能值為900,300，－100. 10分 Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8， 11分 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 12分 ?處注意結(jié)合題意將需求量不超過300瓶轉(zhuǎn)化為最高氣溫的關(guān)系問題，再利用頻率估計概率，易不理解題意失誤． ???處注意結(jié)合氣溫區(qū)間及需求量的關(guān)系，計算出Y值，易忽視賣不完的要降價處理． [技法總結(jié)]　求解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟 [變式提升] 1．(2018山西一模)某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1 kg的包裹收費10元；重量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元． 該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表： 包裹件數(shù)范圍 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件數(shù) (近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 (1)某人打算將A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件禮物隨機(jī)分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率； (2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用．前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？ 解　(1)由題意，寄出方式有以下三種可能： 情況 第一包裹 第二包裹 甲支付的 總快遞費 禮物 重量 (kg) 快遞 費(元) 禮物 重量 (kg) 快遞 費(元) 1 A 0.3 10 B，C 3.3 25 35 2 B 1.8 15 A，C 1.8 15 30 3 C 1.5 15 A，B 2.1 20 35 所有3種可能中，有1種可能快遞費未超過30元，根據(jù)古典概型概率計算公式，所示概率為． (2)將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得 包裹件 數(shù)范圍 0～ 100 101～ 200 201～ 300 301～ 400 401～ 500 包裹件數(shù) (近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下： 包裹件數(shù) (近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 350 450 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均攬件數(shù) 500.1＋1500.1＋2500.5＋3500.2＋4500.1＝260 故公司平均每日利潤的期望值為 2605－3100＝1 000(元)； 若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下： 包裹件數(shù) (近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 300 300 頻率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均攬件數(shù) 500.1＋1500.1＋2500.5＋3000.2＋3000.1＝235 故公司平均每日利潤的期望值為2355－2100＝975(元)．故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利． 考向二　回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題 【典例】　下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 附注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646． 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－． 解　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得＝4， (ti－)2＝28, ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89， 所以r≈≈0.99． 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103． ＝－≈1.331－0.1034≈0.92． 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t． 將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得 ＝0.92＋0.109＝1.82． 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸． [技法總結(jié)]　破解回歸分析問題的關(guān)鍵 (1)會依據(jù)表格及公式＝，＝－求線性回歸方程中的參數(shù)的值，注意不要代錯公式． (2)已知變量的某個值去預(yù)測相應(yīng)預(yù)報變量時，只需把該值代入回歸方程＝x＋中． [變式提升] 2．(2018龍巖二模)2017年5月，“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國“新四大發(fā)明”：高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購.2017年末，“支付寶大行動”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的使用. 某商家統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人贈送臺歷． (1)求獲得臺歷是三人中至少有一人的紅包超過5元的概率； (2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)x與商家每天的凈利潤y元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示，并作出了散點圖． x 12 16 26 29 25 22 30 y 60 100 150 270 240 210 330 ①直接根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝ec＋dx哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型．(a，b，c，d的值取整數(shù)) ②根據(jù)①的判斷，建立y關(guān)于x的回歸方程，并估計使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，商家當(dāng)天的凈利潤． 參考數(shù)據(jù)： (xi－)2 (xi－)(yi－) 22.86 194.29 268.86 3 484.29 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－． 解　(1)記事件“獲得臺歷的三人中至少有一人的紅包超過5元”為事件M,5名顧客中紅包超過5元的兩人分別記為A1，A2，不足5元的三人分別記為B1，B2，B3，從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人，共有抽取情況如下：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，共10種． 其中至少有一人的紅包超過5元的是前9種情況， 所以P(M)＝． (2)①根據(jù)散點圖可判斷，選擇y＝a＋bx作為每天的凈利潤的回歸方程類型比較適合． ②由最小二乘法求得系數(shù) ＝＝≈13， 所以＝－ ＝194.29－1322.86≈－103， 所以y關(guān)于x的回歸方程為＝－103＋13x． 當(dāng)x＝35時，商家當(dāng)天的凈利潤y＝352元， 故使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，預(yù)計商家當(dāng)天的凈利潤為352元． 考向三　獨立性檢驗與概率、統(tǒng)計的交匯問題 【典例】 (2017全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ， K2＝． 解　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62． 因此，事件A的概率估計值為0.62． (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2的觀測值＝≈15.705． 由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． [技法總結(jié)]　獨立性檢驗問題的解題步驟 (1)假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系； (2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表； (3)由公式K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)計算出K2的觀測值； (4)將K2的觀測值與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而得出統(tǒng)計推斷，這些臨界值，在考題中常會附在題后． [變式提升] 3．(2018六安二模)以“你我中國夢，全民建小康”為主題“社會主義核心價值觀”為主線，為了解A、B兩個地區(qū)的觀眾對2018年韓國平昌冬奧會準(zhǔn)備工作的滿意程度，對A、B地區(qū)的100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下： 非常滿意 滿意 合計 A 30 y B x z 合計 在被調(diào)查的全體觀眾中隨機(jī)抽取1名“非常滿意”的人是B地區(qū)的概率為0.45，且3z＝2y． (1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的A、B地區(qū)的人數(shù)各是多少？ (2)在(1)抽取的“滿意”的觀眾中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行座談，求至少有兩名是A地區(qū)觀眾的概率？ (3)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？ 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝ 解　(1)由題意，得＝0.45，∴x＝45，∴y＋z＝25， 因為3z＝2y，所以y＝15，z＝10． 則應(yīng)抽取A地區(qū)的“滿意”觀眾15＝3，抽取B地區(qū)的“滿意”觀眾10＝2． (2)所抽取的A地區(qū)的“滿意”觀眾記為a，b，c，所抽取的B地區(qū)的“滿意”觀眾記為1,2． 則隨機(jī)選出三人的不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，c,1)，(a，c,2)，(b，c,1)，(b，c,2)，(a，b，c)，(a,1,2)，(b,1,2)，(c,1,2), 共10個結(jié)果． 至少有兩名是A地區(qū)的結(jié)果有7個，其概率為． (3) 非常滿意 滿意 合計 A 30 15 45 B 45 10 55 合計 75 25 100 由表格K2＝＝≈3.030＜3.841，所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系．