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第11章 算法復數(shù)推理與證明 第5講
A組 基礎關
1．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n≥m，n∈N*)成立時，其初始值m至少應取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8.故選B.
2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明“1－＋－＋…＋＝2”時，若已假設n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時等式成立，則還需要用歸納假設再證n＝________時等式成立( )
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
答案 B
解析 由于n為正偶數(shù)，所以若已假設n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時等式成立，則還需要用歸納假設再證n＝k＋2時等式成立．
3．對于不等式
(n≥2，n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1時，左邊應增加的項是( )
A.＋＋…＋
B.＋＋…＋－
C.＋＋…＋
D.＋＋…＋－－
答案 B
解析 假設n＝k時不等式成立．
左邊＝＋＋＋…＋，
則當n＝k＋1時，
左邊＝＋＋…＋＋＋…＋，
所以由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊增加了＋＋…＋－.
8．設平面內有n(n≥3)條直線，它們任何2條不平行，任何3條不共點，若k條這樣的直線把平面分成f(x)個區(qū)域，則k＋1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 k＋1
解析 f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，…，
f(2)－f(1)＝4－2＝2，
f(3)－f(2)＝7－4＝3，
f(4)－f(3)＝11－7＝4，
f(5)－f(4)＝16－11＝5，…
歸納推理，得出f(n)－f(n－1)＝n，f(n)＝f(n－1)＋n，
所以n＝k＋1時f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
9．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有(Sn－1)2＝anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.
答案
解析 由(S1－1)2＝S，得S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.
猜想Sn＝.
10．用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋>－，假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是________________________．
答案?。?－
解析 觀察不等式中分母的變化便知．
B組 能力關
1．用數(shù)學歸納法證明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1時，為了使用假設，應將5k＋1－2k＋1變形為( )
A．5(5k－2k)＋32k B．(5k－2k)＋45k－2k
C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－35k
答案 A
解析 假設n＝k時命題成立，即5k－2k能被3整除．
當n＝k＋1時，
5k＋1－2k＋1＝55k－22k
＝5(5k－2k)＋52k－22k
＝5(5k－2k)＋32k.
2．設平面內有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________(用n表示)．
答案 5 (n＋1)(n－2)
解析 由題意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以歸納出每增加一條直線， 交點增加的個數(shù)為原有直線的條數(shù)．所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，猜測得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)．有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)，所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．
3．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是________．
答案 4k＋2
解析 用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是＝2(2k＋1)．故答案為4k＋2.
4．已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求證：當n∈N*時，an0，
又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，
所以ak＋11時，對x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即當a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，
∴l(xiāng)n (1＋x)≥不恒成立．
綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．
2．(2018綿陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝，xn＋1＝f(xn)，且x1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調性，并證明你的結論．
解 由x1＝及xn＋1＝，得
x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6，猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．
下面用數(shù)學歸納法證明x2n>x2n＋2.
①當n＝1時，已證命題成立．
②假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時命題成立，
即x2k>x2k＋2，
易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
所以當n＝k＋1時命題也成立．
結合①②知，命題x2n>x2n＋2對于任何n∈N*成立．
故數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．
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