2018年秋高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評3 三角恒等變換 新人教A版必修4.doc

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章末綜合測評(三)　三角恒等變換 (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．cos275＋cos215＋cos 75cos 15的值等于(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．1＋ C　[∵cos 75＝sin 15， ∴原式＝sin215＋cos215＋sin 15cos 15 ＝1＋sin 30＝1＋＝.] 2．化簡cos2－sin2得(　　) A．sin 2α B．－sin 2α C．cos 2α D．－cos 2α A　[原式＝cos 2 ＝cos＝sin 2α.] 3．若sin xtan x<0，則等于(　　) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x B　[因為sin xtan x<0， 所以x為第二、三象限角，所以cos x<0， 所以＝＝|cos x| ＝－cos x．] 4．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，則△ABC是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352364】 A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形 B　[∵sin Asin B＝cos2＝， ∴2sin Asin B＝1＋cos C， 又∵A＋B＋C＝π，∴cos C＝－cos(A＋B) ＝sin Asin B－cos Acos B， ∴2sin Asin B＝1＋sin Asin B－cos Acos B， ∴sin Asin B＋cos Acos B＝1，即cos(A－B)＝1， 又－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，故選B.] 5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan 2α的值為(　　) A．－ B． C． D．－ A　[tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－.] 6．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β在第三象限，則cos的值等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352365】 A． B． C．－ D．－ A　[由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝， 得sin β＝－. ∵β在第三象限，∴cos β＝－， ∴cos＝＝＝.] 7．已知cos＝，－＜α＜0，則sin＋sin α等于(　　) A．－ B．－ C． D． A　[sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝sin＝－cos＝－＝－.] 8．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則sin的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352366】 A. B. C. D. A　[∵sin α＋cos α＝sin＝， ∴sin＝，∵α∈(0，π)，∴α＋∈， ∴α＋∈， ∴cos＝－＝－. sin＝sin＝sincos－cossin＝－＝.] 9．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，則a，b，c的關(guān)系是 (　　) A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝a＋b D．c＝ab C　[由根與系數(shù)的關(guān)系得： tan α＋tan＝－， tan αtan＝， tan ＝ ＝＝1，得c＝a＋b.] 10．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352367】 A．－ B．－ C． D． B　[∵a⊥b， ∴ab＝4sin＋4cos α－＝0， 即2sin α＋6cos α＝， 即sin α＋cos α＝， sin ＝sin αcos＋cos αsin ＝－sin α－cos α ＝－(sin α＋cos α) ＝－＝－.] 11．若ω≠0，函數(shù)f(x)＝圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離是，則ω的值是(　　) A． B．2 C．2 D．1 D　[f(x)＝＝ ＝tan， 由題意知函數(shù)f(x)的周期為2＝π， 所以＝π，所以ω＝1.] 12．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618.這一數(shù)值也可表示為m＝2sin 18，若m2＋n＝4，則＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352368】 A．8　　　　 B．4 C．2　　　　 D．1 C　[∵m＝2sin 18，若m2＋n＝4，則n＝4－m2＝4－4sin218＝4(1－sin218)＝4cos218， ∴＝＝＝＝2.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．已知2tan αsin α＝3，－＜α＜0，則cos的值是________． 0　[∵2tan αsin α＝3， ∴2sin α＝3， ∴2sin2α＝3cos α， ∴2(1－cos2α)＝3cos α， 即2cos2α＋3cos α－2＝0， 解得cos α＝或cos α＝－2(舍)． 又α∈，∴α＝－， ∴cos＝cos＝0.] 14．設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上一點，且cos α＝，則tan 2α＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352369】 　[因為α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，所以x＜0， 因為cos α＝＝，所以x＝－3， 所以tan α＝＝－， 所以tan 2α＝＝.] 15．已知α滿足sin α＝，那么coscos的值為________． 　[∵cos＝cos＝sin， ∴coscos＝sincos＝sin＝cos 2α ＝(1－2sin2α)＝＝.] 16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝cos＋cos，有下列說法： ①y＝f(x)的最大值為； ②y＝f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)； ③y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減； ④將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向左平移個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合． 其中正確說法的序號是________．(把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上) 【導(dǎo)學(xué)號：84352370】 ①②③　[∵f(x)＝cos＋cos ＝cos－sin ＝cos， ∴f(x)max＝，即①正確． T＝＝＝π，即②正確． f(x)的遞減區(qū)間為2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， k＝0時，≤x≤，即③正確． 將函數(shù)y＝cos 2x向左平移個單位得 y＝cos≠f(x)， 所以④不正確．] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知cos θ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352371】 [解]　因為cos θ＝，θ∈(π，2π)， 所以sin θ＝－，tan θ＝－， 所以sin ＝sin θcos－cos θsin ＝－－＝－， tan＝ ＝＝. 18．(本小題滿分12分)已知α為鈍角，β為銳角，且sin α＝，sin β＝，求cos. [解]　因為α為鈍角，β為銳角，sin α＝， sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＋＝. 又＜α＜π，0＜β＜， 所以0＜α－β＜π，0＜＜， 所以cos＝＝. 19．(本小題滿分12分)已知α，β為銳角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求sin的值； (2)求cos β的值． [解]　(1)∵α為銳角，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴sin＝sin αcos＋cos αsin ＝＋＝. (2)∵α，β為銳角，∴α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝得，sin(α＋β)＝＝， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝＋＝. 20．(本小題滿分12分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x,2－cos x)，函數(shù)f(x)＝mn，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最大值． (2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352372】 [解]　(1)因為m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)， 所以f(x)＝mn＝cos x(2＋sin x)＋sin x(2－cos x) ＝2(sin x＋cos x)＝4sin， 所以函數(shù)f(x)的最大值為4. (2)因為f(x)＝4sin＝1， 所以sin＝， 因為x∈， 所以x＋∈， 所以cos＝－， 所以cos＝cos ＝cos－sin ＝－－＝－. 21．(本小題滿分12分)已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，且滿足sin2(A＋C)＝sin Bcos B，cos(C－A)＝－2cos 2A. (1)試判斷△ABC的形狀； (2)已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x(x∈R)，求f(A＋45)的值． [解]　(1)∵sin2(A＋C)＝sin Bcos B， ∴sin2B＝sin Bcos B， ∵sin B≠0，∴sin B＝cos B，∴tan B＝， ∵0＜B＜180，∴B＝60， 又cos(C－A)＝－2cos 2A， 得cos(120－2A)＝－2cos 2A， 化簡得sin 2A＝－cos 2A，解得tan 2A＝－， 又0＜A＜120，∴0＜2A＜240， ∴2A＝120，∴A＝60，∴C＝60， ∴△ABC為等邊三角形． (2)∵f(x)＝sin x－cos x ＝2 ＝2(sin xcos 60－cos xsin 60) ＝2sin(x－60)， ∴f(A＋45)＝2sin 45＝. 22．(本小題滿分12分)如圖1，矩形ABCD的長AD＝2，寬AB＝1，A，D兩點分別在x，y軸的正半軸上移動，B，C兩點在第一象限，求OB2的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352373】 圖1 [解]　過點B作BH⊥OA，垂足為H. 設(shè)∠OAD＝θ，則∠BAH＝－θ， OA＝2cos θ， BH＝sin＝cos θ， AH＝cos＝sin θ， ∴B(2cos θ＋sin θ，cos θ)， OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2θ ＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin. 由0＜θ＜，知＜2θ＋＜， 所以當(dāng)θ＝時，OB2取得最大值7＋4.