2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解分類變量、22列聯(lián)表、隨機(jī)變量K2的意義.2.通過對典型案例的分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想方法．(重點(diǎn))3.通過對典型案例的分析，了解兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．分類變量和列聯(lián)表 (1)分類變量 變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高條形圖 (1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． (2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) 定義 利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn) 公式 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 具體步驟 ①確定α，根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值Ka ②計(jì)算K2，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值K. ③下結(jié)論，如果K≥K0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系” 思考：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法的思想有何相似之處？ [提示]　 反證法 假設(shè)檢驗(yàn) 要證明結(jié)論A 要確認(rèn)“兩個變量有關(guān)系” 在A不成立的前提下進(jìn)行推理 假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下計(jì)算K2 推出矛盾，意味著結(jié)論A成立 由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2很大，則在一定可信程度上說明假設(shè)不合理 沒有找到矛盾，不能對A下任何結(jié)論，即反證法不成功 根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過K2的大小來判斷“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立有多大把握 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念． (　　) (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法． (　　) (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小 (　　) [解析]　(1)　變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，象這樣的變量稱為分類變量，有時(shí)可以把分類變量的不同取值用數(shù)字表示，但這時(shí)的數(shù)字除了分類以外沒 有其他含義，而函數(shù)中的變量分為自變量與因變量，都是數(shù)的集合，有它們各自的意義． (2)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法，但不能說它就是反證法． (3)√　獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個分類變量有關(guān)系的可信度的判斷，其結(jié)論是有多大的把握確認(rèn)兩個分類變量有關(guān)系，可以通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上進(jìn)行運(yùn)算，再進(jìn)行判斷． [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．下面是22列聯(lián)表 y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 7 20 27 總計(jì) b 41 100 則表中a，b處的值為(　　) A．94,96　　　　　　 B．52,40 C．52,59 D．59,52 C　[a＝73－21＝52，b＝a＋7＝52＋7＝59.] 3．調(diào)查男女學(xué)生購買食品時(shí)是否看出廠日期與性別有無關(guān)系時(shí)，最有說服力的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032243】 A．期望 B．方差 C．正態(tài)分布 D．獨(dú)立性檢驗(yàn) D　[要判斷兩個事件是否相關(guān)時(shí)，用獨(dú)立性檢驗(yàn)．] 4．下面的等高條形圖可以說明的問題是________(填序號)． 圖321 ①“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的； ②“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同； ③此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方； ④“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握． [答案]?、? [合 作 探 究攻 重 難] 等高條形圖的應(yīng)用 　為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽性數(shù) 陰性數(shù) 總計(jì) 鉛中毒病人 29 7 36 對照組 9 28 37 總計(jì) 38 35 73 試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？ [解]　等高條形圖如圖所示： 其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系． [規(guī)律方法]　 1．利用等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟： (1)統(tǒng)計(jì)：收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果． (2)列表：列出22列聯(lián)表，計(jì)算頻率、粗略估計(jì)． (3)繪圖：繪制等高條形圖，直觀分析． 2．在等高條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例.兩個比例的值相差越大，X與Y有關(guān)系成立的可能性就越大． [跟蹤訓(xùn)練] 1．某學(xué)校對高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系． [解]　作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 總計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 總計(jì) 426 594 1 020 在考前心情緊張的群體中，性格內(nèi)向的約占61%，在考前心情不緊張的群體中，性格內(nèi)向的約占20%.繪制相應(yīng)的等高條形圖如圖所示： 圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例大，可以認(rèn)為考前緊張與性格類別有關(guān)． 由K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn) 　某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則我們能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系？ 物理優(yōu)秀 化學(xué)優(yōu)秀 總分優(yōu)秀 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 228 225 267 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 143 156 99 注：該年級此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人. 【導(dǎo)學(xué)號：95032244】 [思路探究]　首先分別列出數(shù)學(xué)成績與物理、化學(xué)、總分的22列聯(lián)表，再正確計(jì)算K2的觀測值，然后由K2的值作出判斷． [解]　(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的22列聯(lián)表如下： 物理優(yōu)秀 物理非優(yōu)秀 總計(jì) 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 228 b 360 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 143 d 880 總計(jì) 371 b＋d 1 240 ∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869. 代入公式可得K2的觀測值為k1≈270.114. (2)按照上述方法列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的22列聯(lián)表如下： 化學(xué)優(yōu)秀 化學(xué)非優(yōu)秀 總計(jì) 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 225 135 360 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 156 724 880 總計(jì) 381 859 1 240 代入公式可得K2的觀測值k2≈240.611. 綜上，由于K2的觀測值都大于10.828，因此說明都能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系． [規(guī)律方法]　 1．利用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 (1)列表：列出22列聯(lián)表． (2)求值：求出K2的觀測值k. (3)判斷：與臨界值比較，得出事件有關(guān)的可能性大小作出判斷． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，它具有隨機(jī)性，所以只能利用列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和等高條形圖粗略判斷兩個分類變量是否有關(guān)系．而K2給出了不同樣本容量的數(shù)據(jù)的統(tǒng)一評判標(biāo)準(zhǔn)．利用它能精確判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的可靠程度． [跟蹤訓(xùn)練] 2．為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣有關(guān)”？ [解]　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： 理科 文科 總計(jì) 有興趣 138 73 211 無興趣 98 52 150 總計(jì) 236 125 361 根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測值 k＝≈1.87110－4. 因?yàn)?.87110－4＜2.706， 所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，不能認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣有關(guān)”． 獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．從容量為400人的中年人與容量為100人的老年人中抽出50人去體檢某項(xiàng)健康指標(biāo)，若采取分層抽樣方法，應(yīng)從中抽取老年人為多少人？ [提示]　100＝10(人)． 2．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)： 總成績好 總成績不好 總計(jì) 數(shù)學(xué)成績好 478 a 490 數(shù)學(xué)成績不好 399 24 423 總計(jì) b c 913 你能求出a，b，c的值嗎？該問題中有幾個分類變量？它們的取值分別是什么？ [提示]　a＝12，b＝877，c＝36.該問題中有“總成績”和“數(shù)學(xué)成績”兩個分類變量；“總成績”的取值有“總成績好”與“總成績不好”兩個值，“數(shù)學(xué)成績”的取值也有“好”與“不好”兩個值． 3．在探究2中，你認(rèn)為文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系嗎？ [提示]　由探究2計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值： k＝≈6.233>5.024， ∵P(k≥5.024)≈0.025， ∴在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系． 　為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B. (1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率． (2)下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2) 表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 頻數(shù) 30 40 20 10 表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85] 頻數(shù) 10 25 20 30 15 完成下面22列聯(lián)表 皰疹面積小于70 mm2 皰疹面積不小于70 mm2 合計(jì) 注射藥物A a＝ b＝ 注射藥物B c＝ d＝ 合計(jì) n＝ [解]　(1)甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為p＝＝. (2)22列聯(lián)表如下． 皰疹面積小于70 mm2 皰疹面積不小于70 mm2 合計(jì) 注射藥物A a＝70 b＝30 100 注射藥物B c＝35 d＝65 100 合計(jì) 105 95 n＝200 母題探究：1.(改變問法)典例2中條件不變，改變問法：是否有99%的把握認(rèn)為注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異？ [解]　k＝≈24.56. 由于K2＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 2．(改變問法)在典例2(2)中完成如圖322所示的頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大?。? 圖322 [解]　如圖所示 圖Ⅰ　注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖 圖Ⅱ　注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖 可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)． [規(guī)律方法]　 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，是對實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，通過這種分析得出的結(jié)論對實(shí)際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用． 2．近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、概率等知識綜合，頻率分布表、頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合在一起是常見的考查形式，一般需要根據(jù)條件列出22列聯(lián)表，計(jì)算K2的觀測值，從而解決問題． [跟蹤訓(xùn)練] 3．某學(xué)生對其親屬30人的飲食進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖323所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主) 圖323 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 總計(jì) 50歲以下 50歲以上 總計(jì) (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析． [解]　(1)22列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 總計(jì) 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 總計(jì) 20 10 30 (2)因?yàn)閗2＝＝10>6.635， P(K2>6.635)＝0.01， 所以可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．與表格相比，能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)總體狀況的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032245】 A．列聯(lián)表　　　　　　　 B．散點(diǎn)圖 C．殘差圖 D．等高條形圖 D　[對于A，列聯(lián)表需要計(jì)算K2的值，不是直觀的分析； 對于B，散點(diǎn)圖體現(xiàn)的是變量間相關(guān)性的強(qiáng)弱； 對于C，殘差圖體現(xiàn)預(yù)報(bào)變量與實(shí)際值之間的差距， 對于D，等高條形圖能直觀地反映兩個分類變量是否有關(guān)系．] 2．對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，下列說法正確的是(　　) A．k越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B．k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小 D．k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大 B　[k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大，k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。甝 3．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示： 死亡 存活 總計(jì) 第一種劑量 14 11 25 第二種劑量 6 19 25 總計(jì) 20 30 50 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是________． 假設(shè)電離輻射的劑量與人體受損程度無關(guān)　[根據(jù)假設(shè)性檢驗(yàn)的概念知，應(yīng)“假設(shè)電離輻射的劑量與人體受損程度無關(guān)”．] 4．下列說法正確的有________(填序號). 【導(dǎo)學(xué)號：95032246】 ①分類變量的取值僅表示個體所屬的類別，它們的取值一定是離散的； ②分類變量的取值也可以用數(shù)字來表示，但這時(shí)的數(shù)字除了分類以外沒有其他的含義； ③22列聯(lián)表是兩個分類變量的頻數(shù)匯總統(tǒng)計(jì)表； ④22列聯(lián)表和等高條形圖都能反映出兩個分類變量間是否相互影響． ①②③④　[由分類變量的定義可知①②正確；由22列聯(lián)表的定義可知③正確；22列聯(lián)表和等高條形圖都能展示樣本的頻率特征，若在一個分類變量所取值的群體中，另一個分類變量所取值的頻率相差較小，則說明這兩個變量不相互影響，否則就相互影響．故④正確．] 5．在國家未實(shí)施西部開發(fā)戰(zhàn)略前，一新聞單位在應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)抽取1 000人問卷，只有80人志愿加入西部建設(shè)．而國家公布實(shí)施西部開發(fā)戰(zhàn)略后，隨機(jī)抽取1 200名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生問卷，有400人志愿加入國家西部建設(shè)． 問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為實(shí)施西部開發(fā)戰(zhàn)略的公布對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響？ [解]　根據(jù)題意，列出22列聯(lián)表： 志愿者 非志愿者 總計(jì) 開發(fā)戰(zhàn)略公布前 80 920 1 000 開發(fā)戰(zhàn)略公布后 400 800 1 200 總計(jì) 480 1 720 2 200 由公式計(jì)算K2統(tǒng)計(jì)量得： k＝≈205.22. 因?yàn)?05.22>10.828，因此在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為實(shí)施西部開發(fā)戰(zhàn)略的公布對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響．