2019屆高考數(shù)學一輪復習 第十一篇 復數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法訓練 理 新人教版.doc

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第4節(jié)直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法【選題明細表】知識點、方法題號綜合法與分析法1,3,4,5,7,8,9,13反證法2數(shù)學歸納法6,10,15推理與證明的綜合應用11,12,14基礎鞏固(時間:30分鐘)1.命題“如果數(shù)列an的前n項和Sn=2n2-3n,那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列”是否成立(B)(A)不成立 (B)成立(C)不能斷定(D)與n取值有關解析:因為Sn=2n2-3n,所以n=1時a1=S1=-1,當n2時,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1時適合an,且an-an-1=4,故an為等差數(shù)列,即命題成立.故選B.2.用反證法證明某命題時,對結論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”正確的反設為(B)(A)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)(B)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)a,b,c都是奇數(shù)(D)a,b,c都是偶數(shù)解析:a,b,c恰有一個是偶數(shù)說明有且只有一個是偶數(shù).其否定有a,b,c均為奇數(shù)或a,b,c至少有兩個偶數(shù).故選B.3.設a=-,b=-,c=-,則a,b,c的大小順序是(A)(A)abc (B)bca(C)cab (D)acb解析:因為a=-=,b=-=,c=-=,又因為+0,所以abc.故選A.4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設abc,且a+b+c=0,求證0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0解析:ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故選C.5.設0x0,b0,a,b為常數(shù),+的最小值是(C)(A)4ab (B)2(a2+b2)(C)(a+b)2 (D)(a-b)2解析:(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.當且僅當x=時,等號成立.故選C.6.用數(shù)學歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,要利用歸納假設證n=k+1時的情況,只需展開(A)(A)(k+3)3 (B)(k+2)3(C)(k+1)3 (D)(k+1)3+(k+2)3解析:假設當n=k時,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.當n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設,只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可.故選A.7.(2016蘭州調(diào)研)已知a,b是不相等的正數(shù),x=,y=,則x,y的大小關系是.解析:因為(ab)a+b22(a+b)a+b+2a+b,即xy.答案:xy8.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中nN*,設cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關系為.解析:由已知條件得cn=an-bn=-n=,所以cn隨n的增大而減小,所以cn+1cn.答案:cn+10,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,則(A)(A)PQ(B)P0,所以P2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x1,所以Q2.于是PQ.故選A.10.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1條直線將平面分成1+1個區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+n)=1+=個區(qū)域.故選C.11.(2017邯鄲模擬)設a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是.(填序號)解析:若a=,b=,則a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,則ab1,故推不出;對于,反證法:假設a1且b1,則a+b2與a+b2矛盾,因此假設不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案:12.若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間-1,1內(nèi)至少存在一點c,使f(c)0,則實數(shù)p的取值范圍是.解析:法一(補集法)令解得p-3或p,故滿足條件的p的范圍為(-3,).法二(直接法)依題意有f(-1)0或f(1)0,即2p2-p-10或2p2+3p-90,得-p1或-3pbcd0且a+d=b+c,求證:+.證明:要證+,只需證(+)2(+)2,即a+d+2b+c+2,因a+d=b+c,只需證,即adbc,設a+d=b+c=t,則ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)0,故adbc成立,從而+成立.14.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計算結果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結論.解:(1)選擇式,計算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)法一三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.證明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.法二三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.證明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=+-sin (cos 30cos +sin 30sin )= -cos 2+ (cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin cos -sin2=-cos 2+cos 2+sin 2-sin 2- (1-cos 2)=1-cos 2-+cos 2=.15.數(shù)列an滿足a1=,an+1=.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設數(shù)列an的前n項和為Sn,證明Sn0),則F(x)=-1=0).函數(shù)F(x)為(0,+)上的減函數(shù),所以F(x)F(0)=0,即ln(x+1)0),從而ln(1+),1-1-ln(1+),an=1-1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以Sn(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+1-ln(n+2)+ln(n+1),所以Snn-ln().