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應用題
A組——大題保分練
1.在一個矩形體育館的一角MAN內(如圖所示)，用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區(qū)域，已知B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點．
(1)若BC＝a＝10，求儲存區(qū)域△ABC面積的最大值；
(2)若AB＝AC＝10，在折線MBCN內選一點D，使DB＋DC＝a＝20，求儲存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值．
解：(1)設AB＝x，則AC＝ ，
所以S△ABC＝x＝≤ ＝50＝25，
當且僅當x2＝100－x2，即x＝5時取等號，
所以S△ABC取得最大值為25.
(2)由DB＋DC＝20知點D在以B，C為焦點的橢圓上．
因為S△ABC＝1010＝50，所以要使四邊形DBAC的面積最大，只需△DBC的面積最大，此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點．
由BC＝10得短半軸長為5，所以S△DBC的最大值為105＝50.
因此四邊形DBAC面積的最大值為100.
2.某地擬建一座長為640米的大橋AB，假設橋墩等距離分布，經設計部門測算，兩端橋墩A，B造價總共為100萬元，當相鄰兩個橋墩的距離為x米時(其中64
0，
所以當x＝80時，橋的總造價最低，此時橋墩數(shù)為－1＝7.
3．如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON＝60，現(xiàn)要鋪設三條下水管道OA，OB，AB(其中A，B分別在OM，ON上)，若下水管道的總長度為3 km.設OA＝a km，OB＝b km.
(1)求b關于a的函數(shù)表達式，并指出a的取值范圍；
(2)已知點P處有一個污水總管的接口，點P到OM的距離PH為 km，到點O的距離PO為 km，問下水管道AB能否經過污水總管的接口點P？若能，求出a的值，若不能，請說明理由．
解：(1)∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b.
∵∠MON＝60，由余弦定理，得
AB2＝a2＋b2－2abcos 60.
∴(3－a－b)2＝a2＋b2－ab.
整理，得b＝.
由a>0，b>0,3－a－b>0，及a＋b>3－a－b，a＋3－a－b>b，b＋3－a－b>a，得00.
令t＝tan α－1>0，則tan α＝(t＋1)，
所以MN＝.
由基本不等式得MN≥＝2，
當且僅當t＝，即t＝2時取“＝”．
此時tan α＝，由于<α<，故α＝.
答：當α＝時，MN的長度最小，為2千米．
法二：(三角函數(shù)) MN＝
＝＝
＝.
因為<α<，所以<2α－<，
故
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江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習
專題六
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